林英姿 劉 覽 劉思宏 呂尊敬

(吉林建筑大學(xué) 市政與環(huán)境工程學(xué)院,長(zhǎng)春 130118)

0 引言

在城市給水管網(wǎng)系統(tǒng)中,作為全面掌握給水管網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)以及正確調(diào)度給水系統(tǒng)的重要參數(shù)[1-2],且是直接反映城市供水服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)之一的水壓,在對(duì)其進(jìn)行布置壓力監(jiān)測(cè)裝置時(shí),要求監(jiān)測(cè)裝置監(jiān)測(cè)到的壓力能夠反映節(jié)點(diǎn)流量變化,便于監(jiān)控管網(wǎng)漏失和爆管事故.隨著模糊聚類理論完善和發(fā)展,越來(lái)越多的被運(yùn)用到給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置當(dāng)中去[3-5].把壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)的聚類分析轉(zhuǎn)化成一個(gè)帶約束的非線性規(guī)劃問題,通過基于目標(biāo)函數(shù)聚類算法對(duì)其優(yōu)化求解,得到數(shù)據(jù)集的最優(yōu)模糊劃分和聚類中心,可使壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)的布置較為均勻且具有代表性.

基于上述所說,本文利用FCM聚類算法進(jìn)行城市給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置,得出一種較為完整的城市給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化選址的方法.

1 FCM聚類算法

1969年,Ruspini系統(tǒng)的提出了關(guān)于數(shù)據(jù)集模糊劃分概念的模糊聚類算法后[6],Zadeh[7]和Tarmura[8]學(xué)者也相繼提出基于相似關(guān)系和模糊關(guān)系的聚類方法.在模糊聚類研究方面,隨著與各類群智能算法、圖論等技術(shù)進(jìn)行交叉融合,學(xué)者們陸續(xù)提出了許多種方法[9-11].在其中運(yùn)用最廣、設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、參數(shù)較少的是基于目標(biāo)函數(shù)的聚類算法,而在此類聚類算法中比較典型[12-13]的為模糊C-均值聚類法(FCM).1974年,Dunn首次提出FCM模糊聚類算法[14],Bezdek則在1981年進(jìn)一步完善了該算法[15].隨著FCM算法的不斷完善,該算法在各個(gè)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用,列如國(guó)外學(xué)者Kannan的基于FCM算法的圖像醫(yī)學(xué)分割[16],我國(guó)的楊浩把FCM算法應(yīng)用于電力負(fù)荷分析研究[17]等.

設(shè)待聚類分析的樣本集有n個(gè)元素為X={X1,X2,X3,…,Xn},每個(gè)樣本Xk(k=1,2,…,n)都有s個(gè)特性Xk=(Xk1,Xk2,…,Xks),稱為Xk的模式矢量,相對(duì)應(yīng)的為特征空間的一點(diǎn).若將樣本集X劃分為c個(gè)類別,那么c個(gè)類別中擁有全部的n個(gè)樣本,且引入模糊劃分矩陣U=[μik]c×n(也稱為隸屬度矩陣).

其中，μik(1≤i≤c,1≤k≤n)為第k個(gè)樣本Xk的第i個(gè)類別的隸屬度,Bezdek把模糊c均值模糊聚類算法描述為:

(1)

約束條件:

m∈[1，∞)

0≤μik≤1,1≤i≤c,1≤k≤n

式中,U為模糊劃分矩陣U=[μik]c×n,μik∈[0,1],U中每個(gè)元素代表隸屬度;P為聚類中心矩陣P=(p1,p2,…,pc),pi(i=1,2,…,c),為第i類的聚類中心;m為模糊加權(quán)指數(shù),通常取m=2;dik為樣本Xk與第i類的聚類中心pi之間的歐式距離;

FCM算法就是最小化優(yōu)化解目標(biāo)函數(shù)Jm(X,U,P)的過程,因?yàn)榫仃嘦中各列都是獨(dú)立的,因此:

(2)

上式極值用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)求解:

(3)

若樣本集X、聚類類別c和模糊權(quán)重值m都已知,運(yùn)用迭代算法對(duì)min{Jm(U,P)}求解出最佳模糊分類矩陣U和聚類中心P:

(4)

(5)

(6)

2 FCM聚類算法應(yīng)用于管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置

當(dāng)實(shí)際的給水管網(wǎng)處于某供水工況并正常工作時(shí),管網(wǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的水壓值會(huì)受到許多不同因素的影響,其中最敏感的外界影響因素為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量.當(dāng)某個(gè)節(jié)點(diǎn)流量發(fā)生變化時(shí),各個(gè)管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水壓必然發(fā)生變化,但節(jié)點(diǎn)流量變化時(shí)對(duì)各個(gè)節(jié)點(diǎn)水壓的影響程度是各不相同的.在對(duì)城市管網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置時(shí),應(yīng)首先建立城市管網(wǎng)水力模型,并對(duì)模型進(jìn)行校正.聚類對(duì)象為給水管網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn),對(duì)象特性為各個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)流量的變化程度,利用FCM聚類算法對(duì)管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行聚類分析,求出給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn).

在FCM聚類算法參數(shù)中,管網(wǎng)有n個(gè)節(jié)點(diǎn),在j節(jié)點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)流量Q增加一微小節(jié)點(diǎn)變化流量ΔQj,則整個(gè)給水管網(wǎng)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力都會(huì)受到不同程度的影響,ΔHi則表示為被考察節(jié)點(diǎn)i處的水壓變化值,且j節(jié)點(diǎn)自身受ΔQj影響最大,j節(jié)點(diǎn)水壓變化值為ΔHj.i節(jié)點(diǎn)處利用ΔHi/ΔQj表示為單位節(jié)點(diǎn)流量變化產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)水壓變化率,即i節(jié)點(diǎn)水壓受其它節(jié)點(diǎn)流量變化影響的大小.但給水管網(wǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)流量大小相差懸殊,則各個(gè)ΔQj在各個(gè)Qj中所占的比例不同,所以各個(gè)節(jié)點(diǎn)水壓變化值ΔHi相差很大.基于此ΔHi/ΔQj可比性較差,固而選用ΔHi/ΔHj表示.即用ΔHi/ΔHj表示j節(jié)點(diǎn)流量變化對(duì)i節(jié)點(diǎn)水壓的影響程度,為了利于編程則記為,X(i,j)=ΔHi/ΔHj,且對(duì)ΔHi和ΔHj取微分:

(7)

式中,X(i,j)為j節(jié)點(diǎn)對(duì)i的影響系數(shù).

直接對(duì)管網(wǎng)進(jìn)行微觀分析,簡(jiǎn)化上式來(lái)求得X(i,j).在莫工況下進(jìn)行管網(wǎng)水力計(jì)算,求出該工況下的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力Hi,然后在j節(jié)點(diǎn)上增加微小流量ΔQj,其余節(jié)點(diǎn)流量不變,再對(duì)管網(wǎng)進(jìn)行水力計(jì)算,求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力Hi′.其影響系數(shù)可表示:

(8)

式中,Hi,Hj為在基準(zhǔn)工況下i,j的節(jié)點(diǎn)水壓;Hi′,Hj′為在i節(jié)點(diǎn)流量改變后i,j的節(jié)點(diǎn)水壓.

所有的節(jié)點(diǎn)影響系數(shù)X(i,j)用影響系數(shù)矩陣[X]n×n陣來(lái)表示, 且該矩陣的對(duì)角線上的元素X(i,k)=1,其余元素0

FCM聚類法應(yīng)用于管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)優(yōu)化布置步驟:

(1) 求出影響系數(shù)矩陣. 在基準(zhǔn)工況下,調(diào)用Epanet進(jìn)行水力計(jì)算,求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)水壓,然后根據(jù)上述在j節(jié)點(diǎn)上按一定比例增加節(jié)點(diǎn)流量ΔQj,其余條件不變,再次進(jìn)行調(diào)用Epanet進(jìn)行水力計(jì)算,根據(jù)上述公式(8)求出節(jié)點(diǎn)水壓影響系數(shù)矩陣.

(2) FCM算法初始化. 依據(jù)FCM聚類法,n為給水管網(wǎng)管段數(shù)目,且權(quán)重設(shè)定為m通常取2,迭代停止閥值ε,開始時(shí)設(shè)定聚類類別c(2≤c≤n),當(dāng)?shù)?jì)數(shù)器b=0,初始化聚類中心矩陣P0=[p10,p20,…,pc0],不同的聚類類別數(shù)c相對(duì)應(yīng)不同的聚類中心和模糊分類矩陣.第k管段對(duì)第i類別的隸屬度由模糊劃分矩陣U=[μik]c×n中μik的值來(lái)表示.該類的代表節(jié)點(diǎn)為每行中數(shù)值最大的μik對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn).基于此就可得到每一類劃分中的代表節(jié)點(diǎn).

(3) 計(jì)算歐式距離dij. 本文距離測(cè)度采用歐式距離,利用式(6)分別計(jì)算樣本xj到Pi(b)的歐式距離.

(4) 根據(jù)公式(4)計(jì)算μik(b).

(5) 根據(jù)公式(5)計(jì)算Pi(b+1).

(6) 若條件滿足‖P(b)-P(b+1)‖<ε,則算法停止迭代并輸出模糊劃分矩陣U和聚類中心P,若不滿足以上條件,則令b=b+1,返回步驟(3)繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算.

(7) 根據(jù)輸出的模糊劃分矩陣U和聚類中心P得出聚類方案和每一類的代表節(jié)點(diǎn).

(8) 最后判斷聚類類別c是否劃分合理,需要注意聚類中心是否相互距離之間離的太近,各類別之間差異性是否明顯,并借鑒壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置經(jīng)驗(yàn)法,若聚類合理,則輸出最佳聚類類別c,聚類方案和每一類中的代表節(jié)點(diǎn).若不合理,則轉(zhuǎn)到步驟(2),重新設(shè)置c值,并調(diào)用Epanet且根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算,直到滿足迭代停止條件,輸出最優(yōu)的節(jié)點(diǎn)模糊c劃分以及代表節(jié)點(diǎn).

3 工程實(shí)例

表1為J市管網(wǎng)基準(zhǔn)工況下節(jié)點(diǎn)流量表,不考慮兩水源節(jié)點(diǎn),對(duì)其中編號(hào)1～56的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行聚類分析,找出代表性的節(jié)點(diǎn).

表1 基準(zhǔn)工況下節(jié)點(diǎn)流量Table 1 Node traffic under baseline conditions (L·s-1)

具體計(jì)算為:首先計(jì)算基準(zhǔn)工況下節(jié)點(diǎn)壓力,然后依次在各個(gè)節(jié)點(diǎn)增加節(jié)點(diǎn)流量ΔQj=10%×Qj,然后調(diào)用Epanet進(jìn)行水力計(jì)算,根據(jù)公式(8)進(jìn)行計(jì)算求出影響系數(shù)矩陣.求出的影響系數(shù)矩陣為[X]56×56,對(duì)角線上元素X(i,k)=1,其余元素0

表2是由公式(4)求得的模糊劃分矩陣U=[μik]6×56,表3為公式(5)求解出的聚類中心矩陣P,表4為將節(jié)點(diǎn)聚類劃分c=6類的情況下得到節(jié)點(diǎn)分類.

表2 模糊劃分矩陣UTable 2 Fuzzy partition matrix U

表3 聚類中心矩陣PTable 3 Cluster center matrix P

表4 c=6時(shí)的節(jié)點(diǎn)分類Table 4 Node classification at c=6

在c=6時(shí),每個(gè)分類中的節(jié)點(diǎn)中隸屬度最大的最具代表性的節(jié)點(diǎn)且隸屬度見表5.

表5 c=6時(shí)代表性節(jié)點(diǎn)及隸屬度Table 5 Representative node and membership degree at c=6

用上述計(jì)算歐式距離公式計(jì)算當(dāng)c=6時(shí),各個(gè)節(jié)點(diǎn)到6個(gè)聚類中心的距離,表6為到各類聚類中心的最小歐式距離的節(jié)點(diǎn).

表6 c=6時(shí)代表性節(jié)點(diǎn)及歐式距離Table 6 Representative node and euclidean distance at c=6

當(dāng)c=6時(shí),經(jīng)過模糊分類矩陣,由隸屬度最大而劃分的代表節(jié)點(diǎn):43,49,17,19,29,11,而由聚類中心的最小歐式距離求得的代表節(jié)點(diǎn):43,49,21,19,29,11,可以看出得到的代表節(jié)點(diǎn)大致一致,17節(jié)點(diǎn)和21節(jié)點(diǎn)的歐式距離分別為0.229 4和0.225 2相差幾乎為零.由上述結(jié)果推出,當(dāng)聚類分類c=6時(shí),由FCM聚類算法求得的監(jiān)測(cè)點(diǎn)效果較為理想且分布比較均勻.某市管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置示意圖見圖1.

圖1 J市管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置示意圖Fig.1 Schematic diagram of J city pipe network pressure monitoring point layout

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過FCM聚類算法,以影響系數(shù)矩陣為基礎(chǔ),進(jìn)行J市給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)的優(yōu)化布置,經(jīng)過FCM聚類法最優(yōu)求解得出的壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)在城市管網(wǎng)分布中比較有代表性且較均勻,能夠較好地反映節(jié)點(diǎn)流量變化情況,據(jù)此實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)某市給水管網(wǎng)爆管、漏水等事故的發(fā)生.在實(shí)際操作中,還應(yīng)該結(jié)合人工經(jīng)驗(yàn)及現(xiàn)場(chǎng)條件等進(jìn)行布置,使壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)更具代表性和實(shí)際性.