基本不等式變形技巧的應(yīng)用

■江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué) 劉長(zhǎng)柏

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用,利用基本不等式時(shí),要對(duì)已知條件進(jìn)行靈活變形,使問題出現(xiàn)積(或和)為定值,以便解決問題,現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數(shù)

例1求函數(shù)的值域。

解：(1)當(dāng)x＞1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)y的最小值為3。

(2)當(dāng)x＜1時(shí),所以1-x＞0=(x-1)++1=+1≤+1=-1,當(dāng)且僅當(dāng)1-x=,即x=0時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)y的最大值為-1,

綜上,y的值域?yàn)?-∞,-1]∪[3,+∞)。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí),必須分類討論,要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正數(shù)。

技巧二：巧變常數(shù)

例2已知,求函數(shù)y=x(1-2x)的最大值。

解：因?yàn)?＜x＜,所以x＞0。

y=x(1-2x)=≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即時(shí),等號(hào)成立,y的最大值為。

點(diǎn)評(píng)：形如f(x)=x(1-a x)或f(x)=x2(1-a x2),常有兩種變形方法,一是巧乘常數(shù),二是巧提常數(shù),應(yīng)用時(shí)要靈活運(yùn)用。

技巧三：分離常數(shù)

例3已知,則f(x)=有( )。

解：f(x)==,當(dāng)且僅當(dāng),即x=3時(shí),函數(shù)有最小值,故選D。

點(diǎn)評(píng)：通過加減常數(shù),分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法,這里一定要加減好“常數(shù)”,以利于問題的解決。

技巧四：活用常數(shù)

例4若x,y∈R+且滿足,求x+y的最小值。

解：由x,y∈R+且,得x+y=(x+y)+20≥+20=36,當(dāng)且僅當(dāng),即x=12且y=24時(shí),等號(hào)成立,所以x+y的最小值是36。

點(diǎn)評(píng)：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換,整理后得到基本不等式的形式,減少了使用基本不等式的次數(shù),有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩。