用樣本估計(jì)總體的六種題型

文 /李培華

樣本在一定程度上反映總體，能對(duì)總體作出估計(jì)和推測(cè).用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想.中考的常見(jiàn)類(lèi)型有以下六種.

類(lèi)型1 估計(jì)總體的數(shù)量

例1為了估計(jì)池塘里有多少條魚(yú)，從池塘里捕撈了1000條魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等有標(biāo)記的魚(yú)完全混合于魚(yú)群以后，再捕撈200條，若其中有標(biāo)記的魚(yú)有10條，則估計(jì)池塘里有魚(yú)______條．

填20 000．

類(lèi)型2 直接求樣本的數(shù)量

例2某市對(duì)九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“綜合素質(zhì)”評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí).現(xiàn)隨機(jī)抽取500名學(xué)生的評(píng)價(jià)結(jié)果作為樣本進(jìn)行分析，繪制了如圖1所示的統(tǒng)計(jì)圖.已知圖1中從左到右的五個(gè)長(zhǎng)方形的高之比為2∶3∶3∶1∶1，據(jù)此估算該市80 000名九年級(jí)學(xué)生中“綜合素質(zhì)”評(píng)價(jià)結(jié)果為A的學(xué)生約為_(kāi)_____人．

圖1

解：該市80 000名九年級(jí)學(xué)生中“綜合素質(zhì)”評(píng)價(jià)結(jié)果為A的學(xué)生約為

答案為16 000.

類(lèi)型3 間接求樣本的數(shù)量

例3某商店進(jìn)行“迎五一，大促銷(xiāo)”摸獎(jiǎng)活動(dòng)，凡是有購(gòu)物小票的顧客均可摸球一次，摸到的是白球即可獲獎(jiǎng)．規(guī)則如下：一個(gè)不透明的袋子中裝有10個(gè)黑球和若干個(gè)白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋子中搖勻，重復(fù)此過(guò)程．共有300人摸球，其中獲獎(jiǎng)的共有180人，由此估計(jì)袋子中白球大約有_____個(gè).

解：設(shè)袋子中白球有x個(gè).

解得x=15.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是分式方程的解.袋子中白球大約有15個(gè).

填15．

類(lèi)型4 估算樣本的加權(quán)平均數(shù)

例4老王的魚(yú)塘里年初養(yǎng)了某種魚(yú)2000條，到年底捕撈出售，為了估計(jì)魚(yú)的總產(chǎn)量，從魚(yú)塘里捕撈了三次，得到如下表的數(shù)據(jù)：

第一次捕撈第二次捕撈第三次捕撈魚(yú)的條數(shù)1 0 2 5 1 5平均每條魚(yú)的質(zhì)量1.7千克1.8千克2.0千克

若老王放養(yǎng)這種魚(yú)的成活率是95%，請(qǐng)問(wèn)：

（1）魚(yú)塘里這種魚(yú)平均每條重約多少千克；

（2）魚(yú)塘里這種魚(yú)的總產(chǎn)量是多少千克？

答：魚(yú)塘里這種魚(yú)平均每條重約1.84千克.

（2）魚(yú)的總重量為2000×95%×1.84=3496千克．

答：魚(yú)塘里這種魚(yú)的總產(chǎn)量是3496千克．

類(lèi)型5 用樣本的平均數(shù)估算總體的平均數(shù)

例5某市對(duì)初中畢業(yè)生進(jìn)行了一項(xiàng)技能測(cè)試，有4萬(wàn)名考生的得分都是不小于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取3000個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下表：

數(shù)據(jù)x個(gè)數(shù)平均數(shù)7 0≤x≤7 9 8 0 0 7 8 8 0≤x≤8 9 1 3 0 0 8 5 9 0≤x≤9 9 9 0 0 9 2

請(qǐng)根據(jù)表格中的信息，估計(jì)這4萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為（ ）.

A．92 B．85 C．83 D．78

∴這4萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為85.

選B．

類(lèi)型6 用樣本的方差估算總體的方差

例6某校九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展踢毽子比賽活動(dòng)，每班派5名同學(xué)參加，按團(tuán)體總分多少排列名次，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)每人踢100個(gè)以上（含100）為優(yōu)秀，下表是成績(jī)最好的甲班和乙班5名學(xué)生的比賽數(shù)據(jù)（單位：個(gè)）．

甲班乙班1號(hào)1 0 0 8 9 2號(hào)9 8 1 0 0 3號(hào)1 1 0 9 5 4號(hào)8 9 1 1 9 5號(hào)1 0 3 9 7總分5 0 0 5 0 0

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)兩班總分相等.此時(shí)有同學(xué)建議，可以通過(guò)考查數(shù)據(jù)中的其他信息作為參考.請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：

（1）計(jì)算兩班的優(yōu)秀率；

（2）求兩班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）兩班比賽數(shù)據(jù)的方差哪一個(gè)小？

（2）甲班5名學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)為100（個(gè)）；

乙班5名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為97（個(gè)）.

（[100-100）2+（98-100）2+（110-100）2+（89-100）2+（103-100）2]=46.8，

（89-100）2+（100-100）2+（95-100）2+（119-100）2+（97-100）2]=103.2.

答：甲班的方差比乙班的方差小.