一道浙江高考理科數(shù)學(xué)題的高等數(shù)學(xué)背景探究

謝冠瀚

最近拜讀文獻(xiàn)[1]，受益匪淺，作者用了8種方法求解一道2015年浙江高考理科數(shù)學(xué)填空題，整個(gè)過程行云流水，一氣呵成，讀后深受啟發(fā)，但是，筆者覺得這8種方法都沒有指出此題深刻的背景知識(shí)，以下筆者給出此題的一個(gè)高等數(shù)學(xué)的背景，僅供同行交流探討，我們先回顧該考題：

題目已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=1/2，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=5/2，且對(duì)任意的x，y∈R，|b-（xe1+ ye2）|>|b-（xoe1+y0e2）|=|（xo，Yo∈R），則xo=____，Yo=____，|b|____.

正如文獻(xiàn)[1]指出，這是一道向量和代數(shù)的綜合題，具有一定的難度，但是我們從題目條件中出現(xiàn)的兩個(gè)向量差的絕對(duì)值|b- （xe1+ ye2）|可以看出：它表示兩個(gè)向量（一個(gè)是定向量b，另一個(gè)是動(dòng)向量xe1+ ye2）的“距離”，而題目中的“1”表示它們的距離為1.利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從已知條件聯(lián)想到這個(gè)問題的本質(zhì)就是希爾伯特空間的逼近定理，事實(shí)上，利用這個(gè)逼近定理求解此題，顯得異常簡單，為此，先回憶一下希爾伯特空間的逼近定理，

定理1 設(shè)X為希爾伯特空間，且M為X的閉線性子空間，則任給xo∈X，存在唯一的Yo∈M，使得p（xo， M）=|xo-Yo|，且xo -Yo⊥M.其中，p（xo， M）表示點(diǎn)xo到M的距離，|xo- Yo|表示xo和Yo的距離.

注意到R3是一個(gè)特殊的希爾伯特空間，而xoy平面是R3的一個(gè)閉線性子空間，因此定理1有如下的特殊情形：

定理2 設(shè)ao是R3中的一個(gè)始點(diǎn)在原點(diǎn)的非零向量，且ao不在xoy平面上，則存在xoy平面上唯一一個(gè)向量bo，使得ao的終點(diǎn)到xoy平面的距離等于|ao-bo|，且有（a0 - bo）⊥xoy平面.

下面用希爾伯特空間的逼近定理求解上述高考題.

評(píng)注 希爾伯特空間中的逼近定理在高中數(shù)學(xué)并不陌生，例如我們熟悉的點(diǎn)到直線的距離公式其實(shí)也是希爾伯特空間的逼近問題之一，

參考文獻(xiàn)

[1]董泉發(fā).一道高考題的多種解法及其背景研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016，1（6）：36-37