與球相關(guān)的“切”“接”問(wèn)題的解決方法

苗本彩 張林德

與球相關(guān)的內(nèi)切與外接問(wèn)題是近幾年高考熱點(diǎn)之一，綜合化傾向尤為明顯，其求解需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼，究其原因，主要是學(xué)生沒(méi)有形成解題的模式和套路，以至于遇到類(lèi)似的題目便產(chǎn)生畏懼心理，下面對(duì)球與幾何體的切接問(wèn)題展開(kāi)探究，以求更好地把握此類(lèi)問(wèn)題的解決思路.

1 補(bǔ)形法

因正方體、長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求得，故將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，便可借助外接球?yàn)橥粋€(gè)的特點(diǎn)求得.

分析 球心如何確定？主要依據(jù)是球的界面性質(zhì)：過(guò)截面圓心與截面垂直的直線必過(guò)球心，球心在過(guò)BC中點(diǎn)的平面BCD的垂線上，且在過(guò)BD中點(diǎn)M的平面ABD的垂線上，兩面垂直，所以兩垂線交點(diǎn)為N（圖4），于是半徑可定，但較麻煩，另外，如果注意到CD⊥AD，AD⊥AB，聯(lián)想到長(zhǎng)方體中的棱的特征，不難有補(bǔ)體的想法（圖5）.答案：A.

2 截面法

解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)做截面來(lái)解決，如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作.

例5 已知底面邊長(zhǎng)為a正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個(gè)頂點(diǎn)在球O₁上，又知球O₂與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球O₁與球O₂的體積之比與表面積之比1.

分析先畫(huà)出過(guò)球心的截面圖，再來(lái)探求半徑之間的關(guān)系，如圖9、圖10，由題意得兩球心O₁，O₂是重合的，過(guò)正三棱柱的一條側(cè)棱AA₁和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，

3 構(gòu)造直角三角形法

首先確定球心位置，借助外接球的性質(zhì)——球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點(diǎn)到底面中心的距離構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求半徑.

5 向量法

例9 己知在三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=2PB=2PC=2，求該三棱錐外接球的表面積.

分析本題的關(guān)鍵是求出外接球的半徑r，除了補(bǔ)形法或軸截面法外，還可用向量法求半徑.

球的切接問(wèn)題變化多端，但最終轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體（正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正三棱錐）的問(wèn)題處理，這是不變的規(guī)則.