溫江濤， 孫潔娣， 于 洋， 閆常弘

(1.燕山大學(xué) 河北省測(cè)試計(jì)量技術(shù)及儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

現(xiàn)代大型機(jī)電設(shè)備通常包含眾多旋轉(zhuǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)，滾動(dòng)軸承作為核心部件，其健康程度影響著旋轉(zhuǎn)機(jī)械的穩(wěn)定性[1]。當(dāng)滾動(dòng)軸承產(chǎn)生故障時(shí)，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)機(jī)械設(shè)備運(yùn)行效率降低，甚至發(fā)生重大的生產(chǎn)事故[2]，因此進(jìn)行機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)非常必要，目前基于振動(dòng)信號(hào)的滾動(dòng)軸承監(jiān)測(cè)系統(tǒng)應(yīng)用最為廣泛[3]。

傳統(tǒng)工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)多采用有線連接方式，存在供電及接線復(fù)雜、安裝成本高、安裝復(fù)雜度大等問(wèn)題。近年來(lái)，工業(yè)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展打破了這種有線連接模式。無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)具有眾多優(yōu)點(diǎn)，安裝布置簡(jiǎn)便，可移動(dòng)性強(qiáng)，低能耗[4]；但當(dāng)其應(yīng)用在基于振動(dòng)信號(hào)的機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中時(shí)，為了采集高速旋轉(zhuǎn)的軸承信號(hào)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)必須工作在實(shí)時(shí)高速采樣模式下，長(zhǎng)時(shí)間監(jiān)控產(chǎn)生的大量振動(dòng)信號(hào)需要占用很大的存儲(chǔ)空間；而這些數(shù)據(jù)傳送至主機(jī)又將耗費(fèi)大量能量并占用較大通信帶寬。無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在計(jì)算能力、能量供應(yīng)、存儲(chǔ)空間等方面受限，因此從數(shù)據(jù)采集源頭上減少數(shù)據(jù)量是解決以上問(wèn)題的最佳途徑。

一些傳統(tǒng)壓縮算法被引入到了基于無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)信號(hào)壓縮中[5]，但這種處理模式存在一個(gè)共性問(wèn)題，即數(shù)據(jù)壓縮之前，傳感器需根據(jù)奈奎斯特定理要求采集原始高維信號(hào)，然后在節(jié)點(diǎn)處理器上運(yùn)行復(fù)雜的壓縮算法，總體來(lái)看節(jié)點(diǎn)負(fù)擔(dān)并未降低，因此傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)壓縮方法是次優(yōu)的。近年來(lái)發(fā)展的壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論[6]，將傳統(tǒng)的對(duì)信號(hào)的采樣變?yōu)閷?duì)信息的采樣，為實(shí)現(xiàn)從源頭上的測(cè)量信號(hào)壓縮提供了理論支持，將其應(yīng)用在低功耗數(shù)據(jù)壓縮采集方面具有巨大的優(yōu)勢(shì)。

研究人員在將壓縮感知理論與機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)結(jié)合方面也進(jìn)行了一些有益的探索。Zhou等[7]提出了一種新型的直流電機(jī)故障診斷技術(shù)，通過(guò)壓縮感知的方法將不同的故障特征向量從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中提取出來(lái)，并作為參考，與實(shí)時(shí)提取的振動(dòng)信號(hào)特征向量進(jìn)行比較，從而進(jìn)行故障診斷。Zhang等[8]將原始故障振動(dòng)信號(hào)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，利用KSVD訓(xùn)練對(duì)應(yīng)的故障冗余字典，將壓縮感知采集到的低維測(cè)量數(shù)據(jù)用故障字典進(jìn)行重構(gòu)，通過(guò)判斷重構(gòu)誤差實(shí)現(xiàn)故障識(shí)別。Wang等[9]研究了并行類快速迭代閾值收縮算法，并將其應(yīng)用于了基于無(wú)線通信的遠(yuǎn)距離機(jī)械健康檢測(cè)系統(tǒng)，獲得了較好效果。Wang等[10]提出一種通過(guò)部分重構(gòu)信號(hào)實(shí)現(xiàn)故障識(shí)別的方法，利用傳統(tǒng)壓縮及投影矩陣對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行壓縮，在重構(gòu)算法中設(shè)置較小的稀疏度，若重構(gòu)信號(hào)頻率與某種理論故障特征頻率相吻合，則說(shuō)明軸承發(fā)生了對(duì)應(yīng)的故障。Du等[11]提出壓縮感知與換向倍頻算法相結(jié)合的特征識(shí)別方法，將原始數(shù)據(jù)用感知矩陣進(jìn)行低維投影，并利用換向倍頻交替方向乘子算法直接在壓縮域進(jìn)行特征提取。

軸承故障振動(dòng)信號(hào)是典型非平穩(wěn)信號(hào)[12]，具有內(nèi)在的冗余性，因而是可壓縮的。前文所述的研究成果主要是基于傳統(tǒng)壓縮感知的稀疏性假設(shè)，而并未考慮信號(hào)的其他結(jié)構(gòu)特性以及稀疏表示方法的影響。稀疏表示作為壓縮感知的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，信號(hào)的稀疏性對(duì)重構(gòu)效果影響較大。傳統(tǒng)基于固定正交基字典的稀疏表示方法雖然構(gòu)造簡(jiǎn)單，但是并未結(jié)合信號(hào)本身特點(diǎn)，所以對(duì)不同信號(hào)稀疏表示效果不佳[13]。軸承振動(dòng)信號(hào)在變換域上不僅具有稀疏性，還具有某些結(jié)構(gòu)特征，而傳統(tǒng)的壓縮感知重構(gòu)方法通常僅利用了信號(hào)稀疏特性，如果能在重構(gòu)算法中引入結(jié)構(gòu)稀疏模型，那么重構(gòu)性能將會(huì)有所提高。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種小波包字典優(yōu)化與塊稀疏貝葉斯方法結(jié)合的軸承狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法。該方法采用隨機(jī)稀疏矩陣對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)實(shí)現(xiàn)壓縮采集，觀測(cè)值被傳輸至主機(jī)之后，利用生成的小波包稀疏表示字典及塊貝葉斯方法實(shí)現(xiàn)了重構(gòu)。通過(guò)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)的測(cè)試，驗(yàn)證了該方法的良好的重構(gòu)性能。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 壓縮感知概述

壓縮感知將數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)壓縮兩個(gè)步驟通過(guò)矩陣觀測(cè)結(jié)合到一起，原始信號(hào)經(jīng)過(guò)矩陣投影之后得到少量的觀測(cè)值，但卻保留了原始信號(hào)的絕大部分信息，壓縮感知重構(gòu)算法可以利用這些觀測(cè)值重構(gòu)原始信號(hào)[14]。將壓縮感知應(yīng)用于無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，可以將數(shù)據(jù)處理負(fù)擔(dān)從節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移至服務(wù)器端，解決節(jié)點(diǎn)資源受限的問(wèn)題。壓縮感知的基本框架可以表示成以下形式，

y=Φx+v

(1)

式中：x∈RN×1代表原始高維信號(hào)；Φ∈RM×N代表測(cè)量矩陣；一般M<

(2)

式中：N為原信號(hào)長(zhǎng)度；M為觀測(cè)信號(hào)長(zhǎng)度。

在實(shí)際應(yīng)用中，Φ一般選取各種隨機(jī)矩陣，常用的隨機(jī)矩陣有隨機(jī)高斯矩陣，隨機(jī)伯努利矩陣，隨機(jī)稀疏矩陣。本文選擇隨機(jī)稀疏矩陣作為測(cè)量矩陣，隨機(jī)稀疏矩陣在每一行有少量的1，其余位置都是0，運(yùn)算簡(jiǎn)單，易于存儲(chǔ)及硬件實(shí)現(xiàn)。通常情況下原始信號(hào)在時(shí)域上是非稀疏的，在變換域可以進(jìn)行稀疏表示[14]，

x=Ψθ

(3)

式中：Ψ∈RN×N代表稀疏表示字典；θ是變換域系數(shù)，在CS框架中，要求θ是稀疏的。如果Ψ選取得當(dāng)，θ中較大的系數(shù)會(huì)非常少，如果θ中只有K個(gè)數(shù)值較大，其他為零，那么原始信號(hào)是K-稀疏的。

一般來(lái)說(shuō)，θ中會(huì)有很多接近于零的系數(shù)可以忽略，而這種忽略對(duì)信號(hào)重構(gòu)的影響是微乎其微的。將式(3)代入到式(1)中可得

y=ΦΨθ+v=Θθ+v

(4)

式中：Θ∈RM×N是感知矩陣。式(4)即為一般情況下CS的表達(dá)形式。由于y是低維信號(hào)，x是高維信號(hào)，因此通過(guò)觀測(cè)向量y和感知矩陣Θ來(lái)求解θ相當(dāng)于解一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，通常是先解θ，然后通過(guò)Ψ進(jìn)一步求解x，這樣原始信號(hào)就得以重構(gòu)。

典型的解決非線性規(guī)劃的算法有三類[15]：基于凸松弛的算法，基于貪婪迭代的算法以及基于迭代閾值思想的算法。

1.2 塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

上述三類重構(gòu)算法并沒(méi)有考慮到信號(hào)本身的特性，而多數(shù)信號(hào)在變換域具有額外的結(jié)構(gòu)特性，最常見(jiàn)的是重構(gòu)信號(hào)中較大的非零系數(shù)有聚集特性，這種信號(hào)稱為塊稀疏信號(hào)[16]。塊稀疏信號(hào)可以看作一系列系數(shù)塊的串聯(lián)

(5)

式中：x[i]是第i個(gè)系數(shù)塊；d為信號(hào)塊長(zhǎng)度。信號(hào)x中每個(gè)塊都有同樣的長(zhǎng)度，若有k個(gè)系數(shù)塊數(shù)值比較大，且k

塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Block Sparse Bayesian learning，BSBL)基于貝葉斯方法，充分利用了原始信號(hào)在變換域上塊稀疏的特點(diǎn)，并且引入了塊內(nèi)相關(guān)性的概念進(jìn)一步提高重構(gòu)性能。BSBL具有較好的重構(gòu)性能，在腦電及心電信號(hào)的無(wú)線體域網(wǎng)壓縮處理中已有應(yīng)[17-18]。

BSBL框架中每一個(gè)系數(shù)塊x[i]看作是滿足參數(shù)化的多維高斯分布[19]

p(xi;ri,Bi)～N(0,γi,Bi),i=1,2,…,m

(6)

式中：γi和Bi均為未知參數(shù)，γi為非負(fù)參數(shù)，控制原始信號(hào)塊稀疏的程度。Bi為正定矩陣，用于確認(rèn)每一個(gè)系數(shù)塊內(nèi)部相關(guān)性。假設(shè)各個(gè)系數(shù)塊之間不相關(guān)，則x的先驗(yàn)概率可以表示為

p(x;{γi,Bi}i)～N(0,∑0)

(7)

式中：Σ0=diag{Υ1B1,…,Υ1B1}。噪聲向量也滿足參數(shù)化的高斯先驗(yàn)分布p(v,λ)～N(0,λI)，λ是一個(gè)正值的標(biāo)量，是噪聲分布控制參數(shù)。基于貝葉斯公式x的后驗(yàn)概率表示為

(8)

式(8)中等式右邊的兩個(gè)參數(shù)表示為

μx=∑0ΦT(λI)+Φ∑0ΦT)-1y

(9)

(10)

2 小波包字典優(yōu)化的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)壓縮感知重構(gòu)方法

2.1 整體設(shè)計(jì)

主要包含傳感器節(jié)點(diǎn)采集，數(shù)據(jù)無(wú)線傳輸網(wǎng)絡(luò)，服務(wù)器數(shù)據(jù)處理三個(gè)部分，工作原理如圖1所示。

傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)利用測(cè)量矩陣對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，得到低維觀測(cè)數(shù)據(jù)；采集的數(shù)據(jù)經(jīng)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)傳輸至服務(wù)器。服務(wù)器端利用小波包優(yōu)化后的稀疏表示字典及塊貝葉斯重構(gòu)算法對(duì)壓縮采集到的振動(dòng)信號(hào)實(shí)現(xiàn)重構(gòu)，并可通過(guò)后續(xù)處理實(shí)現(xiàn)故障診斷。

圖1 本文提出的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)壓縮感知采集方法原理框圖Fig.1 Schematic of rotating machine vibration signal acquisition of proposed method

2.2 小波包字典優(yōu)化的稀疏表示

為了更好的進(jìn)行軸承振動(dòng)信號(hào)的稀疏表示，本文結(jié)合固定字典和訓(xùn)練字典兩種方式，提出了小波包字典優(yōu)化(Wavelet Packet Dictionary Optimization，WPDO)方法。該方法先構(gòu)造小波包變換矩陣作為初始字典，然后基于K-SVD字典訓(xùn)練方法，針對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)自身特點(diǎn)進(jìn)行字典優(yōu)化。本文采用的稀疏基即為經(jīng)過(guò)優(yōu)化的小波包字典。

2.2.1 K-SVD算法原理

K-SVD算法基于K均值算法，并且進(jìn)一步將K均值算法一般化，將數(shù)據(jù)表示成多個(gè)字典原子的線性組合，通過(guò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)生成稀疏表示冗余字典[20]。這種結(jié)合了信號(hào)自身特點(diǎn)的優(yōu)化字典可以對(duì)同類型信號(hào)進(jìn)行高稀疏程度表示。K-SVD算法的目標(biāo)如下：

(11)

K-SVD字典訓(xùn)練分為兩個(gè)階段，先進(jìn)行稀疏編碼，通過(guò)固定字典D，求解非線性規(guī)劃得到一個(gè)稀疏度滿足要求的最佳系數(shù)矩陣X；再進(jìn)入字典更新階段，利用奇異值分解方法，逐次更新字典矩陣D和系數(shù)矩陣X。通過(guò)兩個(gè)階段的迭代執(zhí)行直到系數(shù)矩陣X滿足要求，即可得到最佳的字典矩陣D。

2.2.2 小波包字典優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)方法

本文提出的WPDO方法共分為兩個(gè)階段：初始字典構(gòu)造及字典原子更新。具體的字典構(gòu)造過(guò)程，如圖2所示。

選取適當(dāng)?shù)男〔ò瘮?shù)，提取低通濾波序列和高通濾波序列，根據(jù)小波包分解層數(shù)及信號(hào)長(zhǎng)度對(duì)濾波器序列用零值進(jìn)行擴(kuò)充，用循環(huán)移位方法構(gòu)造高通濾波矩陣和低通濾波矩陣，合并矩陣構(gòu)造出某個(gè)節(jié)點(diǎn)的小波包變換方陣。將構(gòu)造好的方陣按對(duì)角線排列，構(gòu)造出某一層的小波包變換分塊對(duì)角矩陣。依次構(gòu)造各層的小波包變換分塊對(duì)角矩陣，最后將各個(gè)分塊對(duì)角矩陣相乘，形成最終的小波包變換矩陣。

圖2 小波包初始字典構(gòu)造流程Fig.2 Flowchart of initial WP dictionary construction

由小波包變換性質(zhì)可知，利用該方法構(gòu)造的小波包變換矩陣為正交矩陣，它是小波包分解的矩陣形式，其轉(zhuǎn)置矩陣是小波包重構(gòu)的矩陣形式，將重構(gòu)矩陣作為初始小波包字典，作為后續(xù)處理的輸入。

第二階段為字典原子更新，小波包變換雖然具有一定普適性，但結(jié)合軸承振動(dòng)信號(hào)自身特點(diǎn)能夠進(jìn)一步提高信號(hào)稀疏的程度，因此對(duì)初始字典進(jìn)行優(yōu)化，第二階段流程，如圖3

圖3 小波包字典優(yōu)化方法流程Fig.3 Training flowchart of wavelet packet dictionary optimization

對(duì)大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)以及初始小波包字典，進(jìn)行K-SVD訓(xùn)練，根據(jù)迭代次數(shù)更新初始小波包字典，得到優(yōu)化字典。

綜上所述，WPDO算法可通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn)：

步驟1：根據(jù)先驗(yàn)信息確定擬采用的小波包基函數(shù)。

步驟2：構(gòu)造小波包分解矩陣及小波包重構(gòu)矩陣，將小波包重構(gòu)矩陣作為初始小波包字典。

步驟3：設(shè)置訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，初始小波包字典，K-SVD參數(shù)。

步驟4：采用K-SVD算法對(duì)初始小波包字典進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化字典。

2.3 塊稀疏貝葉斯重構(gòu)算法的實(shí)現(xiàn)

BSBL框架需要對(duì)信號(hào)塊稀疏性、塊內(nèi)相關(guān)性、噪聲分布概率模型中涉及到的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，而這些參數(shù)是未知且相互依賴的，最佳的解決辦法就是利用期望值最大算法(Expectation-Maximization, EM)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。BSBL框架與EM算法結(jié)合形成BSBL-EM算法，具有良好的重構(gòu)性能，滿足軸承振動(dòng)信號(hào)高精度重構(gòu)的要求。BSBL-EM算法的各個(gè)參數(shù)學(xué)習(xí)規(guī)則如下：

(12)

(13)

(14)

2.4 本文方法的主要過(guò)程

本文提出的基于小波包字典優(yōu)化的旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法按照以下步驟進(jìn)行：

步驟1：利用軸承振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)庫(kù)中訓(xùn)練樣本，采用WPDO算法生成稀疏表示字典；

步驟2：生成稀疏隨機(jī)矩陣并實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮采樣，生成觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)將觀測(cè)數(shù)據(jù)傳輸至服務(wù)器端。

步驟3：服務(wù)器端結(jié)合WPDO構(gòu)造的稀疏表示字典，利用BSBL-EM算法作為重構(gòu)方法，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。

步驟4：用重構(gòu)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取及故障診斷。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心[21]。下面以型號(hào)為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承測(cè)得信號(hào)為例介紹本文方法的處理過(guò)程。軸承負(fù)載為0～3 hp，運(yùn)行速度為1 730～1 797 r/min。信號(hào)類型為正常數(shù)據(jù)，軸承內(nèi)圈，外圈和滾動(dòng)體故障數(shù)據(jù)。軸承故障形式為電火花加工產(chǎn)生的單點(diǎn)故障，故障直徑為0.53 cm，故障深度為0.28 cm。傳感器安裝在軸承驅(qū)動(dòng)端，采樣頻率為12 kHz。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容主要包括：①本文方法與傳統(tǒng)稀疏表示方法的比較；②對(duì)WPDO方法參數(shù)的影響進(jìn)行分析；③對(duì)比本文重構(gòu)算法與其他重構(gòu)算法的性能；④信號(hào)塊結(jié)構(gòu)對(duì)重構(gòu)性能的影響分析。

重構(gòu)性能評(píng)價(jià)主要采用歸一化均方根誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)和皮爾遜相關(guān)系數(shù)衡量，如式(15)及(16)所示，NMSE用來(lái)描述重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的差異，皮爾遜相關(guān)系數(shù)則用于衡量重構(gòu)信號(hào)和原信號(hào)的波形相似程度。

(15)

(16)

3.1 小波包字典優(yōu)化與傳統(tǒng)稀疏表示方法的比較

壓縮感知常用的稀疏表示方法是采用固定字典，本文對(duì)比的稀疏表示方法有離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)，離散小波變換(Discrete Wavelet Transform，DWT)，小波包變換(Wavelet Packet Transformation，WPT)。

對(duì)比試驗(yàn)采用的原始數(shù)據(jù)為內(nèi)圈故障信號(hào)，分為4組，運(yùn)行負(fù)載從0～3 hp。每組數(shù)據(jù)中選擇80%作為訓(xùn)練樣本，20%作為測(cè)試數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)采用固定其他參數(shù)，只改變稀疏變換字典的方式，隨機(jī)選取一段數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。WPDO算法參數(shù)設(shè)置：K-SVD系數(shù)向量稀疏程度T0為100，迭代次數(shù)為10。測(cè)量矩陣為稀疏隨機(jī)矩陣，矩陣每行中1的個(gè)數(shù)為列數(shù)的40%，重構(gòu)算法統(tǒng)一采用BSBL-EM。

隨機(jī)選取一段測(cè)試數(shù)據(jù)，以75%的壓縮率采集信號(hào)，分別使用各種不同稀疏表示方法進(jìn)行重構(gòu)的信號(hào)，結(jié)果如圖4所示。

圖4 原始信號(hào)以及采用不同稀疏表示方法重構(gòu)的信號(hào)Fig.4 Comparison of original and reconstructed signals with different methods

從圖4中可以看出在高壓縮率的情況下，利用DCT，DWT以及WPT進(jìn)行稀疏表示的重構(gòu)信號(hào)失真程度較大，而采用WPDO方法重構(gòu)的信號(hào)相比原始信號(hào)失真程度較小。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證用WPDO方法重構(gòu)的效果，將壓縮率在10%～90%范圍變化時(shí)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，其他參數(shù)保持不變。圖5為不同稀疏表示方法重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的NMSE。圖6為不同方法重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)。

圖5 不同稀疏表示方法重構(gòu)信號(hào)的NMSEFig.5 NMSEs of reconstructed signals with different sparsification methods

圖6 不同稀疏表示方法重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Fig.6 Correlation coefficients of reconstructed signals with different sparsification methods

由圖5和圖6種可以看出，基于DWT稀疏表示的重構(gòu)信號(hào)失真程度最高，尤其在中低壓縮率下較其他方法更為明顯，這是由于小波變換對(duì)高頻系數(shù)不再分解，導(dǎo)致最終分解信號(hào)稀疏度不夠。基于DCT和WPT進(jìn)行稀疏表示的重構(gòu)性能在多數(shù)壓縮率下都非常接近，并且在中低壓縮率下重構(gòu)性能也很好。本文WPDO稀疏方法在中低壓縮率下與DCT及WPT重構(gòu)性能較為接近，但在高壓縮率下表現(xiàn)出更好的重構(gòu)性能，重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)的相關(guān)程度相比DCT和WPT稀疏表示提高10%以上。

3.2 小波包字典優(yōu)化參數(shù)對(duì)重構(gòu)性能的影響

影響WPDO性能的主要因素包括訓(xùn)練樣本數(shù)量L，小波包基函數(shù)，K-SVD系數(shù)向量稀疏程度T0，以下分別討論這些因素對(duì)重構(gòu)性能的影響。采用的原始數(shù)據(jù)為軸承滾動(dòng)體故障信號(hào)，運(yùn)行負(fù)載，其他情況同實(shí)驗(yàn)3.1。測(cè)量矩陣為稀疏隨機(jī)矩陣，重構(gòu)算法為BSBL-EM。每次實(shí)驗(yàn)過(guò)程中變化其中一個(gè)參數(shù)，固定其他三個(gè)參數(shù)。

訓(xùn)練樣本數(shù)選取400～1 000，小波包基函數(shù)為sym6，稀疏程度T0為100，算法迭代次數(shù)10。圖7給出壓縮率為60%時(shí)，經(jīng)不同數(shù)量樣本訓(xùn)練后的字典重構(gòu)后的信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，圖中基準(zhǔn)線為采用未經(jīng)優(yōu)化的初始小波包矩陣進(jìn)行重構(gòu)的相關(guān)系數(shù)。

圖7 不同樣本量訓(xùn)練字典重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Fig.7 Correlation coefficients using different amount training samples

從圖7中可以看出，采用經(jīng)過(guò)優(yōu)化的小波包矩陣作為稀疏表示矩陣，重構(gòu)性能有較大改善，但是隨著訓(xùn)練樣本數(shù)量的增多，重構(gòu)性能并未大幅度提高，甚至有所波動(dòng)。這是因?yàn)橹灰?xùn)練樣本足夠的穩(wěn)定，沒(méi)有較大的噪聲或者其它干擾信號(hào)，少量的樣本就已經(jīng)可以充分描述某一類信號(hào)的特征，樣本數(shù)量增加就不會(huì)大幅度提高重構(gòu)性能。而WPDO算法基于K-SVD，在字典更新階段具有隨機(jī)選擇的特性，因此，同樣的參數(shù)可能會(huì)訓(xùn)練出兩個(gè)不同的字典，重構(gòu)性能可能會(huì)有小幅度波動(dòng)。

下面研究不同小波包基函數(shù)對(duì)重構(gòu)性能的影響，分別選擇db4，db6，sym4，sym6，訓(xùn)練樣本數(shù)為1 000，K-SVD系數(shù)向量的稀疏程度T0為100，算法迭代次數(shù)10。對(duì)每種優(yōu)化字典分別在壓縮率為10%～90%的情況下進(jìn)行重構(gòu)，其他參數(shù)保持不變。圖8為采用不同小波包基函數(shù)優(yōu)化字典重構(gòu)后的信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)對(duì)比圖。

圖8 WPDO中采用不同小波包基函數(shù)優(yōu)化字典的重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)相關(guān)系數(shù)對(duì)比Fig.8 Reconstructed signals correlation coefficients of WPDO with different wavelet packet base functions

從圖8中可以看出小波包基函數(shù)的選擇對(duì)重構(gòu)性能影響很小，即本文提出的WPDO算法對(duì)小波包基函數(shù)選擇不敏感。

下面研究K-SVD系數(shù)向量的稀疏程度T0對(duì)重構(gòu)性能的影響，T0范圍從50～150變化，選取訓(xùn)練樣本數(shù)為1 000，小波包基函數(shù)為sym6，算法迭代次數(shù)10。圖9為壓縮率為40%情況下,T0為50和150時(shí)，各自的重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)。

圖9 T0為50和150時(shí)重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)Fig.9 Original and reconstructed signals when T0 is 50 and 150

圖10為T0從50～150變化，壓縮率為40%時(shí)重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)對(duì)比圖。

圖10 不同的T0重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)相關(guān)性比較Fig.10 Correlation comparison with different T0

從圖9、10中可以看出T0的設(shè)置對(duì)重構(gòu)性能影響不大，重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)相關(guān)系數(shù)均在90%以上。這是因?yàn)橛?xùn)練樣本數(shù)據(jù)是典型的故障振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，不同次采集數(shù)據(jù)的特征較為一致，因此能用很少的字典原子對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，所以T0值影響不大。

3.3 塊稀疏貝葉斯重構(gòu)方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本節(jié)主要研究塊稀疏貝葉斯方法的重構(gòu)性能與傳統(tǒng)算法的比較，選取四種最具代表性的算法重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比：基追蹤(Basis Pursuit，BP)[6]，正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)[22]，最小角回歸算法(The Least Absolute Shrinkage and Selectionator Operator，LASSO)[23]，以及迭代軟閾值算法(Iterative Soft-Thresholding，IST)[24]，IST的閾值設(shè)定為0.8。實(shí)驗(yàn)采用的原始數(shù)據(jù)為軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)，運(yùn)行負(fù)載，數(shù)據(jù)分配，參數(shù)設(shè)置情況同實(shí)驗(yàn)3.1，WPDO算法中小波包基函數(shù)為sym6，測(cè)量矩陣為稀疏隨機(jī)矩陣，壓縮率為10%～90%的范圍內(nèi)進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn)。圖11、圖12為稀疏表示方法為WPDO及WPT下，不同重構(gòu)算法重構(gòu)后信號(hào)的相關(guān)系數(shù)比較。

圖11 WPDO稀疏時(shí)不同算法重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Fig.11 Correlation coefficients of reconstructed signals with WPDO sparisification

圖12 WPT稀疏時(shí)不同算法重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)Fig.12 Correlation coefficients of reconstructed signals with WPT sparisification

從圖12中可以看出，使用本文提出的WPDO進(jìn)行稀疏表示較WPT稀疏方法重構(gòu)性能整體有所提高。當(dāng)壓縮率低于50%時(shí)，WPDO方法在這些重構(gòu)算法中都可以獲得較好的重構(gòu)效果，適用性較強(qiáng)；而高壓縮率下，BSBL-EM方法重構(gòu)性能優(yōu)于其他方法。采用WPT稀疏表示進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，除了BSBL-EM之外，其他方法性能下降明顯，主要由于WPDO方法對(duì)WPT字典進(jìn)行了優(yōu)化，使得信號(hào)在變換域稀疏程度大大提高，因此即使壓縮程度較高，也能通過(guò)重構(gòu)算法進(jìn)行大部分信息的恢復(fù)。BSBL-EM算法不僅利用了信號(hào)具有稀疏性這一特點(diǎn)，還利用了系數(shù)的塊結(jié)構(gòu)特性，使得信號(hào)在高壓縮率情況下重構(gòu)性能有所提高。

3.4 信號(hào)塊結(jié)構(gòu)對(duì)重構(gòu)性能的影響

本節(jié)研究塊的大小對(duì)重構(gòu)性能的影響。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)同實(shí)驗(yàn)3.1。

信號(hào)塊長(zhǎng)度取值范圍為5～100，稀疏變換方法采用WPDO變換，壓縮率為60%。實(shí)驗(yàn)采用NMSE和相關(guān)系數(shù)作為重構(gòu)性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。圖13為不同塊長(zhǎng)度的重構(gòu)性能。

圖13 BSBL-EM算法中不同塊長(zhǎng)度的重構(gòu)性能Fig.13 Effect of block sizes in BSBL-EM

從圖13中可以看出，不同的信號(hào)塊長(zhǎng)度對(duì)重構(gòu)性能的影響非常小，NMSE和相關(guān)系數(shù)都在1%范圍內(nèi)浮動(dòng)，說(shuō)明BSBL-EM算法對(duì)信號(hào)塊的大小不敏感。

3.5 本文方法對(duì)故障信號(hào)特征的影響

軸承故障中信號(hào)的特征頻率作為一種非常重要的指標(biāo)，常被用于故障識(shí)別，此部分研究了經(jīng)本文方法處理的故障信號(hào)中，故障特征頻率是否能夠較好的保留。實(shí)驗(yàn)中采用的軸承型號(hào)為SKF6205，其主要參數(shù)，如表1所示。

表1 SKF6205軸承主要參數(shù)

實(shí)驗(yàn)采樣頻率12 kHz，采用的原始信號(hào)為1 750 r/min轉(zhuǎn)速下采集的長(zhǎng)度為4 000的內(nèi)圈故障信號(hào)，根據(jù)式(17)計(jì)算得到內(nèi)圈故障特征頻率為157.9 Hz。

(17)

通常壓縮率越大，則壓縮采集后的數(shù)據(jù)量越少，采集中可能產(chǎn)生的信息損失越大，因此此處給出壓縮率為80%情況下本文方法的信號(hào)重構(gòu)效果，并分別對(duì)原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)的特征頻率進(jìn)行提取，以驗(yàn)證本文方法對(duì)故障信號(hào)特征的保存情況。本文采用EEMD分解結(jié)合包絡(luò)譜的方法進(jìn)行特征頻率分析。圖14給出原始信號(hào)內(nèi)圈故障的分析結(jié)果。

圖14 (a)為原始信號(hào)經(jīng)EEMD分解得到的6個(gè)imf分量及其對(duì)應(yīng)的分量頻譜，從中可看出imf5中包含特征頻率159 Hz，圖14(b)為imf1經(jīng)過(guò)Hilbert包絡(luò)解調(diào)得到的包絡(luò)線及其包絡(luò)譜。從包絡(luò)譜中可以清晰的看到特征頻率159 Hz、二倍頻315 Hz及多倍頻譜線。

圖15為本文方法在壓縮率CR=80%情況下重構(gòu)信號(hào)的EEMD分析結(jié)果。

圖14 原始內(nèi)圈故障信號(hào)特征頻率Fig.14 Characteristic frequencies of original inner-race fault

圖15 壓縮率80%的重構(gòu)內(nèi)圈故障信號(hào)特征頻率Fig.15 Characteristic frequencies of reconstructed inner-race fault with CR=80%

從圖15(a)可以看出imf5分量頻譜中含有故障頻率159 Hz，但幅值有所減小，這是因?yàn)殡S著CR增加，會(huì)產(chǎn)生極少量有用信息損失，導(dǎo)致重構(gòu)精度略有下降，這相當(dāng)于降低了重構(gòu)信號(hào)的信噪比，導(dǎo)致imf5中頻率能量分散，降低了特征頻率幅值，但特征頻率在imf5中仍然占比較大，從圖15(b)中可以清晰看到特征頻率的基頻及其倍頻的存在。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文重構(gòu)方法可以有效的保留軸承故障信號(hào)的特征頻率，即使在較高壓縮率的情況下仍然保證不丟失原始信號(hào)中的重要特征。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于小波包字典優(yōu)化的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知重構(gòu)方法。結(jié)合旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)自身特點(diǎn)、小波包字典及K-SVD訓(xùn)練優(yōu)勢(shì)，生成了小波包優(yōu)化字典，使得信號(hào)通過(guò)獲得更加稀疏的表示；并結(jié)合振動(dòng)信號(hào)變換域系數(shù)的塊特性，提出采用塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)框架的期望值最大算法實(shí)現(xiàn)了壓縮采集信號(hào)的高精度重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的小波包優(yōu)化字典的稀疏表示方法具有多方面的優(yōu)勢(shì)，且與BSBL-EM算法結(jié)合后的重構(gòu)性能比傳統(tǒng)方法有明顯提高。