吳子奇，王 治，史冬巖，王青山，姚熊亮

（1.哈爾濱工程大學 a.船舶工程學院；b.機電工程學院，哈爾濱150001；2.中南大學 機電工程學院，長沙410083）

矩形板結(jié)構(gòu)作為主要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航空航天、機械、建筑、造船、橋梁等領(lǐng)域，在實際工程中，除了等厚度矩形板以外，變厚度板也有著廣泛的應(yīng)用價值，特別是在一些特殊的土建水利等方面。因此研究變厚度板的靜動態(tài)特性具有較為重要的工程價值，使設(shè)計者在進行變厚度結(jié)構(gòu)設(shè)計時能夠了解其靜動態(tài)特性。

從現(xiàn)有研究文獻來看，在以往的研究中，對于等厚度結(jié)構(gòu)的研究成果較為豐碩，其中主要的研究方法包括辛本征值展開法、無網(wǎng)格數(shù)值解法、離散積分法等，但是上述方法中的推導過程與求解過程都較為繁瑣，邊界條件較為單一，對于一般邊界條件下的靜動態(tài)特性無法計算；對于變厚度中厚板靜動態(tài)特性的研究，從現(xiàn)有文獻來看其主要的研究方法包括雙重傅立葉級數(shù)[9]、半解析解法[10-13]、二次樣條函數(shù)[14]、廣義微分求積法[15]、辛幾何法[16]和能量法[17]，對這些方法進行總結(jié)不難發(fā)現(xiàn)，大部分的方法都只局限于簡單的經(jīng)典邊界條件，對于一般邊界條件并不能進行求解，且求解過程較為繁瑣。文獻[18]提出了一種改進傅立葉級數(shù)方法，建立了一般邊界條件下矩形薄板的靜動態(tài)法分析模型，與傳統(tǒng)的傅里葉級數(shù)相比收斂性有較大改善，且精度較高。

本文基于現(xiàn)有文獻研究的不足，利用改進傅立葉級數(shù)研究方法，建立了一般邊界條件下等厚度與變厚度矩形板結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性分析模型。首先將結(jié)構(gòu)的橫向位移與旋轉(zhuǎn)角度函數(shù)用改進傅立葉級數(shù)進行展開，并且對其進行能量描述。其次將函數(shù)展開的未知傅立葉級數(shù)系數(shù)作為廣義向量，利用Rayleigh-Ritz方法進行求解，得到一個標準特征值問題。通過這個特征方程組，就能簡便得到結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性。本文建立的模型能夠?qū)τ诘群穸扰c變厚度中厚板結(jié)構(gòu)在一般邊界條件下的靜動態(tài)特性進行求解。最后通過大量的數(shù)值算例對本文方法進行了驗證，證明了本文方法的合理性，而且具有良好的計算精度和收斂速度。

1 矩形厚板彎曲振動理論模型

1.1 結(jié)構(gòu)物理模型

本文所研究的變厚度Mindlin矩形板模型如圖1所示，在直角坐標系（x，y，z）中，長為a，寬為b，厚度為h（x）的變厚度中厚矩形板。對于板結(jié)構(gòu)中的任一質(zhì)點，其橫向振動位移函數(shù)采用w來描述，其單位為m；轉(zhuǎn)角位移函數(shù)采用ψx和ψy來表示，其單位為m。板的一般邊界條件可以采用沿各邊均勻分布的線性位移（kil，i取值為 x、y，l的取值為0、a、b，在后面不再進行描述）和旋轉(zhuǎn)約束彈簧（Kil）來模擬。由于結(jié)構(gòu)在邊界處還存在扭矩，因此為了更加精確地對其進行求解，在邊界處還引入扭轉(zhuǎn)彈簧類型（Kijl）來對其扭矩效果進行模擬，各種經(jīng)典的邊界條件可以通過改變彈簧剛度值的大小而簡單實現(xiàn)。當沿邊界分布的兩類約束彈簧剛度值均為無窮大時，則為固支（C）邊界條件。通過將兩類約束彈簧剛度值設(shè)定為0時，則簡單地實現(xiàn)自由（F）邊界條件。簡支（S）邊界條件則可以通過將邊界上線位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值分別設(shè)置為無窮大和極小數(shù)而簡便實現(xiàn)。對于邊界上的線位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度的單位分別為N/m2和Nm/rad。板結(jié)構(gòu)的邊界條件采用逆指針順序來進行描述，順序如下：y=0、x=a、y=b、x=0。在本文計算中，無窮大的剛度值取為1×1014，而極小剛度值取為零。

1.2 結(jié)構(gòu)運動關(guān)系與本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)線性小彈性變形理論，結(jié)構(gòu)應(yīng)變分量與結(jié)構(gòu)位移變量之間的關(guān)系可以定義為：

根據(jù)胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系定義為：

其中：

E為結(jié)構(gòu)彈性楊氏模量，單位為Pa，μ為材料的泊松比，κ為剪切修正因子。

在物理模型的描述中可知，對于結(jié)構(gòu)的一般邊界條件模擬是依據(jù)設(shè)置在邊界處的三類彈簧剛度來進行模擬，因此一般彈性邊界可以表示為

其中：kx0（kxa）、ky0（kyb）分別代表 x=0（a）和 y=0（b）邊上橫向線性位移彈簧剛度系數(shù)，單位 N/m2；Kx0（Kxa）、Ky0（Kyb）分別代表 x=0（a）和 y=0（b）邊上旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)，單位 N/rad；Kxy0（Kxya）、Kyx0（Kyxb）分別代表 x=0（a）和 y=0（b）扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度系數(shù)，單位 Nm/rad。

1.3 位移容許函數(shù)

在本文方法中，構(gòu)造合適的位移容許函數(shù)對本文的研究有著很重要的關(guān)系。在以往的求解方法中，結(jié)構(gòu)容許函數(shù)往往是根據(jù)相同邊界下的梁函數(shù)進行設(shè)置，因此，不同的邊界條件，需要自定義不同邊界下的梁函數(shù)。這就會導致，當邊界條件發(fā)生改變時需要設(shè)置不同類型的梁函數(shù)，當函數(shù)發(fā)生改變，整個求解過程需要重新推導與編程計算，不具有通用性，工作量繁瑣。結(jié)構(gòu)的容許函數(shù)除了設(shè)置成梁函數(shù)以外，還可以用簡單、正交多項式和三角函數(shù)進行表示。當容許函數(shù)為多項式時，將容許函數(shù)展開為低階多項式時，不能滿足結(jié)構(gòu)在高階次的振動求解；展開為高階多項式時，由于數(shù)值計算截斷誤差的原因會引起數(shù)值不穩(wěn)定。當容許函數(shù)為傳統(tǒng)傅立葉三角級數(shù)時，級數(shù)取無窮項時能夠構(gòu)成一個完整的無限維度向量空間，通過數(shù)值截斷進行計算時，該容許函數(shù)具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和一定的計算精度，也許可以克服多項式或者梁函數(shù)存在的問題。然而，傳統(tǒng)的傅立葉級數(shù)在邊界處會存在收斂性問題，除了簡單的經(jīng)典邊界以外。因為，當容許函數(shù)展開為傳統(tǒng)傅立葉三角級數(shù)時，其位移導數(shù)在邊界處可能存在不連續(xù)現(xiàn)象，因此，可能導致不連續(xù)或者收斂速度極慢，不能滿足結(jié)構(gòu)的振動控制微分方程。為了克服這些難點，一種改進的傅立葉級數(shù)表達已經(jīng)被提出，并且被應(yīng)用到一般彈性邊界下正交各向異性矩形薄板[18]的彎曲自由振動和環(huán)扇形板[19]的面內(nèi)振動分析。在本文中，進一步將該方法擴展到變厚度中厚板結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性分析中。因此，為了滿足任意邊界條件下的厚板結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)與旋轉(zhuǎn)函數(shù)被包含正弦三角級數(shù)的改進傅立葉級數(shù)。

在Mindlin板理論，位移分量假設(shè)由下式給出：

對于一般邊界條件下中厚矩形板結(jié)構(gòu)來說，其橫向振動和轉(zhuǎn)角位移函數(shù)可以采用二維改進傅里葉級數(shù)方法來進行表示：

1.4 能量泛函與求解步驟

在采用改進傅里葉級數(shù)建立了中厚矩形板的位移函數(shù)之后，需要對位移函數(shù)的未知傅里葉展開系數(shù)進行求解。由于本文所建立的位移函數(shù)足夠光滑，位移函數(shù)的弱解（近似解）和強解（精確解）在數(shù)學意義上是等效的。因此，本文采用基于能量原理的Rayleigh-Ritz法來求解未知傅里葉展開系數(shù)。變厚度板的應(yīng)變勢能為：

將（1）、（2）式代入（15）式，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能可以表示為：

儲存在邊界的彈簧勢能可以表示為：

當為一般彈性邊界條件時，將彈簧考慮為無質(zhì)量質(zhì)點，此時結(jié)構(gòu)的整體動能為

在理論模型的推導中，板的厚度h（ x，y）一般地表示為一個空間坐標函數(shù)。為了描述的統(tǒng)一和計算的方便，將空間坐標函數(shù)都采用一維或二維傅里葉級數(shù)來表示。由于板厚度的空間坐標函數(shù)為h（ x，y），板結(jié)構(gòu)的厚度函數(shù)可以表示為二維傅里葉余弦級數(shù)

其中，傅里葉展開系數(shù)可以從下式進行計算：

為了簡便起見，本文以沿x方向線性變化的中厚矩形板作為研究對象，假定厚度變化函數(shù)為

從而，板結(jié)構(gòu)的厚度函數(shù)通過（19）式可以表示為一維的傅里葉余弦級數(shù)

其中，傅里葉展開系數(shù)根據(jù)（20）式可以計算得到

對施加在Mindlin矩形板上的外載荷所作功Wext可以表示為如下形式：

本文中將在兩種不同類型的載荷下對Mindlin矩形板進行靜態(tài)特性分析，這兩種載荷形式分別為均布壓強和線性壓強。

其中：x1≤x≤x2，y1≤y≤y2為壓強載荷作用有效區(qū)域。

為了得到結(jié)構(gòu)位移函數(shù)的未知展開傅立葉系數(shù)，本文采用Rayleigh-Ritz方法進行求解。因為Rayleigh-Ritz方法作為一種數(shù)值近似解法，具有求解原理明晰、操作簡單、計算效率高等優(yōu)點。通過結(jié)構(gòu)的應(yīng)變勢能、彈簧勢能、動能以及外力功，結(jié)構(gòu)的拉格朗日能量泛函可以表示為

將（10）-（12）式代入（26）式，對未知的傅立葉展開系數(shù)求極小值

結(jié)構(gòu)的振動問題將轉(zhuǎn)換為一個求特征值與特征向量的簡單數(shù)學問題，將其矩陣化可以表示為

進行靜態(tài)分析時，令（28）式中ω=0，則矩形板結(jié)構(gòu)的橫向彎曲振動位移的傅里葉系數(shù)向量可表示為：

得到位移的傅立葉系數(shù)后，代入（12）式即可得到矩形板的橫向振動位移，通過對矩形板位移進行一系列數(shù)學操作即可得到其它感興趣的物理量，諸如對位移求導能得到此時矩形板的速度和加速度等。

2 數(shù)值結(jié)果與分析

在本節(jié)中，將采用上一小節(jié)的理論模型，對不同邊界下變厚度中厚板的靜動態(tài)特性進行求解，將本文方法得到的計算結(jié)果與文獻解及有限元計算結(jié)果進行對比驗證，以驗證本文方法的合理性。由于本文方法在計算過程中對級數(shù)進行階段計算，所以首先對本文方法的收斂性進行分析；其次，對等厚度與變厚度下的靜動態(tài)特性進行了研究分析。

2.1 本文方法收斂性研究

表1 不同截斷數(shù)下CCCC勻厚中厚矩形板前8階頻率參數(shù)ΩTab.1 Frequency parameters Ω for CCCC moderately thick plates with uniform thickness and different truncate numbers

2.2 等厚度Mindlin矩形板靜動態(tài)特性分析

本小節(jié)將對經(jīng)典邊界條件與彈性邊界下的等厚度Mindlin矩形板進行靜動態(tài)特性分析，靜態(tài)特性主要分析Mindlin矩形板受局部壓強下的位移變形，動態(tài)特性包括經(jīng)典邊界與一般彈性邊界下的模態(tài)分析。在本小節(jié)所有算例計算中，矩形板的材料參數(shù)E=2×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度為7800 kg/m3，矩形板結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定為a=4 m，b=2 m；h/b=0.1，0.15，0.2。此外，由于缺少相關(guān)文獻數(shù)據(jù)，為檢驗本方法的正確性，本小節(jié)的結(jié)果同有限元軟件ABAQUS計算所得數(shù)據(jù)進行了比較，采用ABAQUS求解時矩形板所使用的單元類型為S4R單元，物理結(jié)構(gòu)參數(shù)與邊界條件與本文方法保持一致，網(wǎng)格尺寸為0.01 m×0.01 m。 其中表2-3 中（x1，x2，y1，y2）表示外界載荷作用在矩形板的范圍，例如（2，3，1，2）表示外界載荷作用于矩形板的范圍為x=2，x=3以及y=1，y=2所圍成的矩形區(qū)域。

表2 均布壓強P=1000 Pa作用于Mindlin矩形板下的最大變形 單位：mTab.2 The max structural deformation for moderately thick plates with uniform thickness and different boundary condition under load P=1000 Pa

表3 Mindlin矩形板在線性壓強P（x）=100x+1 Pa作用下的最大變形 單位：mTab.3 The max structural deformation for moderately thick plates with uniform thickness and different boundary condition under load P(x)=100x+1 Pa

表2列出了均布壓強在各種經(jīng)典邊界條件任意組合下在不同跨度比h/b、不同作用區(qū)域下結(jié)構(gòu)的最大變形。表3列出了線性壓強在各種經(jīng)典邊界條件任意組合下在不同跨度比h/b、不同作用區(qū)域下結(jié)構(gòu)的最大變形。通過表2～3比較發(fā)現(xiàn)本文方法同有限元軟件ABAQUS所得計算結(jié)果吻合良好，說明了本方法的正確性。同時也可以看出邊界條件的變化對矩形板的變形影響很大，此外相同的邊界條件和載荷形式及其大小，由于載荷作用的位置變化也會引起板結(jié)構(gòu)最大變形的不同。圖2與圖3給出了 Mindlin 矩形板在 FCSC 邊界條件下，均布壓強載荷作用范圍分別為（0，4，0，3）和（2，3，1，2）時Mindlin矩形板的最大變形圖。由兩組圖形對比可知，兩組圖形中的矩形板受外界載荷后變形一致，進一步說明了本文方法的正確性。

接下來對等厚度中厚板的動態(tài)特性進行研究，由（28）式可知，模態(tài)特性可以通過求解一個標準的線性方程組簡單得到。表4給出了不同經(jīng)典邊界條件及長寬比下結(jié)構(gòu)前8階固有頻率參數(shù)，文獻解及有限元分析結(jié)果作為參照值也在表4中列出，通過表4可知，本文方法的計算結(jié)果與文獻解及有限元分析結(jié)果吻合良好。表5給出了彈性邊界條件方板結(jié)構(gòu)前6階頻率參數(shù)，邊界處的彈性參數(shù)為kx0=kxa=ky0=kyb=Γw與Kx0=Kxa=Ky0=Kyb=Γx，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)與旋轉(zhuǎn)彈簧保持一致，有限元分析結(jié)果作為參考值也列在表6中。通過表6可知，本文的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合良好，因此本文方法對于任意邊界條件下的等厚度Mindlin求解是可行的。

表4 不同邊界條件下勻厚中厚矩形板前8階頻率參數(shù)ΩTab.4 Frequency parameters Ω for moderately thick plates with uniform thickness and different boundary conditions

表5 彈性邊界條件下方板結(jié)構(gòu)前6階無量剛化固有頻率參數(shù)ΩTab.5 Frequency parameters Ω for moderately square thick plates with uniform thickness and elastic rotation support

續(xù)表5

2.3 變厚度Mindlin矩形板靜動態(tài)特性分析

表6 均布壓強P=1000 Pa作用于Mindlin矩形板下的最大變形單位：mTab.6 The max structural deformation for moderately thick plates with variable thickness and different boundary condition under load P=1000 Pa unit：m

表7 Mindlin矩形板在線性壓強P（x）=100x+1 Pa作用下的最大變形 單位：mTab.7 The max structural deformation for moderately thick plates with variable thickness and different boundary condition under load P(x)=100x+1 Pa unit：m

表8 不同邊界條件下變厚度中厚矩形板前8階頻率參數(shù)ΩTab.8 Frequency parameters Ω for variable thickness square plates with different boundary condition and length-with ratio

表9 彈性邊界條件下方板結(jié)構(gòu)前6階無量剛化固有頻率參數(shù)ΩTab.9 Frequency parameters Ω for moderately square thick plates with variable thickness and elastic rotation support

3 結(jié) 論

本文基于傅立葉級數(shù)方法建立了任意邊界條件下變厚度Mindlin板的靜動態(tài)特性分析模型。該方法主要是將結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)利用改進傅立葉級數(shù)形式進行展開。在結(jié)構(gòu)的邊界處采用三類彈簧均勻布置來模擬任意邊界支撐條件。將未知系數(shù)作為廣義變量，結(jié)合Rayleigh-Ritz法對未知傅立葉展開系數(shù)求極值，將矩形厚板的彎曲振動問題轉(zhuǎn)換為一個簡單求解標準特征值問題。通過大量的數(shù)值算例，驗證了本文方法的正確性和可靠性，并得出以下結(jié)論：

（1）任意邊界條件下的變厚度Mindlin板位移容許函數(shù)可表示為一種通用的改進傅立葉三角級數(shù)形式；

（2）對級數(shù)進行截斷后，隨著截斷項數(shù)的增加，計算結(jié)果快速收斂，并且數(shù)值穩(wěn)定性很好；

（3）對于不同邊界下的變厚度Mindlin板的靜動態(tài)特性可以實現(xiàn)快速分析，無需重新推導與編程；

（4）除了單向線性變厚度，本文方法還可以很容易求解雙向非線性厚度變化的結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性，具有良好的擴展性。