劉 成, 葉正寅

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

本文對(duì)比了活塞理論、考慮激波膨脹波的活塞理論、Euler方程對(duì)氣動(dòng)力的計(jì)算結(jié)果，研究了在顫振計(jì)算過(guò)程中氣動(dòng)力非線(xiàn)性的主要來(lái)源，并對(duì)影響非線(xiàn)性效應(yīng)的主要因素進(jìn)行了分析。

1 考慮激波膨脹波的活塞理論

活塞理論(Piston Theory, PT)是由動(dòng)量定理和等熵關(guān)系式推導(dǎo)得到的氣動(dòng)力表達(dá)式。在超聲速、高超聲速非定常氣動(dòng)力計(jì)算中，活塞理論具有良好的精度。其表達(dá)式如下：

(1)

(2)

式中，p為當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)，p∞、a∞、v∞分別為來(lái)流壓強(qiáng)、聲速、速度，vn為非定常下洗速度，w為位移。

在超聲速流場(chǎng)中，物面的振動(dòng)變形會(huì)產(chǎn)生一系列的激波膨脹波，從而導(dǎo)致氣動(dòng)力計(jì)算出現(xiàn)非線(xiàn)性特征。從活塞理論的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看，并沒(méi)有顯式地考慮激波和膨脹波的存在，為此，本文建立了考慮激波膨脹波的活塞理論(Shock Expansion-Piston Theory, SE-PT)。

激波角β與氣流偏轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系為：

(3)

式中Ma1為波前馬赫數(shù)。求得β后再根據(jù)斜激波關(guān)系式可求得波后氣動(dòng)參數(shù)：

(4)

(5)

(6)

式中，Man,1、ρ1、p1為波前馬赫數(shù)的垂直分量、波前密度、波前壓強(qiáng)，Man,2、ρ2、p2為波后馬赫數(shù)的垂直分量、波后密度、波后壓強(qiáng)。

對(duì)于膨脹波來(lái)說(shuō)，結(jié)合普朗特-邁耶函數(shù)v(Ma)和氣流偏轉(zhuǎn)角θ即可求得波后馬赫數(shù)，公式可寫(xiě)為：

θ=v(Ma2)-v(Ma1)

(7)

式中，Ma1為波前馬赫數(shù)，Ma2為波后馬赫數(shù)。再由膨脹波關(guān)系式求出波后氣動(dòng)參數(shù)：

(8)

(9)

式中，ρ1、p1為波前密度、波前壓強(qiáng)，ρ2、p2為波后密度、波后壓強(qiáng)。

這樣，在壁板的每一步振動(dòng)中，都調(diào)用激波膨脹波關(guān)系式，得到當(dāng)?shù)氐膲簭?qiáng)，并結(jié)合活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力，即為考慮激波膨脹波的活塞理論(SE-PT)。

在顫振分析中，壁板模態(tài)m一般選取為如下形式：

(10)

式中，A表示廣義位移，i表征模態(tài)階數(shù)，2l為壁板長(zhǎng)度?？梢钥吹?，模態(tài)振型為高階光滑的連續(xù)函數(shù)，滿(mǎn)足正交性，符合幾何邊界條件的要求。這種模態(tài)分解方法，在壁板顫振分析中取得極大成功。但對(duì)本文的研究?jī)?nèi)容來(lái)說(shuō)，正弦形式的模態(tài)卻不是最合適的，原因有兩點(diǎn)：

1) 本文首先建立了考慮激波膨脹波的活塞理論，而激波膨脹波關(guān)系式不適應(yīng)于求解光滑曲面的氣動(dòng)載荷；

2) 本文探究的是氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng)，與壁板結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)形狀無(wú)關(guān)。

因此，需要重新設(shè)計(jì)模態(tài)振型。新模態(tài)主要需考慮兩點(diǎn)因素：便于激波膨脹波關(guān)系式的使用，滿(mǎn)足幾何邊界條件?；谶@樣的考慮,我們將模態(tài)振型構(gòu)造為折線(xiàn)形狀。設(shè)壁板長(zhǎng)度為2l，模態(tài)表達(dá)式如下：

(11)

采用式(11)表征的模態(tài)，可近似應(yīng)用激波膨脹波關(guān)系式計(jì)算變形后的定常氣動(dòng)載荷，且該模態(tài)保留了壁板結(jié)構(gòu)的主要幾何特征，得到的氣動(dòng)力分析結(jié)果是具有普遍性意義的。

取計(jì)算狀態(tài)為Ma=3，輸入如圖1所示的掃頻位移信號(hào)，比較SE-PT理論與Euler方程的氣動(dòng)力系數(shù)F求解結(jié)果，如圖2所示，可見(jiàn)二者符合良好，證明所采用的考慮激波膨脹波的活塞理論在氣動(dòng)力預(yù)測(cè)方面具有良好的精度。

圖1 掃頻位移信號(hào)Fig.1 Sweep signal

圖2 掃頻信號(hào)下的氣動(dòng)力響應(yīng)Fig.2 Aerodynamic response of sweep signal

2 一階活塞理論在壁板振動(dòng)中的應(yīng)用

計(jì)算狀態(tài)取為Ma=3，研究對(duì)象為壁板，一階模態(tài)為前述的折線(xiàn)形狀，輸入頻率50 Hz的正弦位移信號(hào)，如圖3所示。分別采用一階活塞理論(PT)、考慮激波膨脹波的一階活塞理論(SE-PT)、Euler方程計(jì)算氣動(dòng)力系數(shù)，結(jié)果如圖4所示?？梢郧逦乜闯觯琒E-PT理論與Euler方程的求解結(jié)果符合良好，氣動(dòng)力響應(yīng)的非線(xiàn)性特征較為明顯，而一階活塞理論只能預(yù)測(cè)氣動(dòng)力的線(xiàn)性部分。將氣動(dòng)力響應(yīng)做頻譜分析，得到的幅頻特性曲線(xiàn)如圖5所示，從中可以看出，氣動(dòng)力響應(yīng)的一階諧波分量與二階諧波分量的幅值比約為1:0.5，而一階分量與三階諧波分量的比值約為1:0.02，基本可以忽略。也就是說(shuō)，氣動(dòng)力響應(yīng)的非線(xiàn)性特征主要是出現(xiàn)了二階諧波分量。

圖3 50 Hz位移信號(hào)Fig.3 50 Hz displacement signal

圖4 氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.4 Comparison between aerodynamic responses

圖5 氣動(dòng)力響應(yīng)幅頻特性曲線(xiàn)Fig.5 Amplitude-frequency curve of aerodynamic response

將一階活塞理論中加入激波膨脹波關(guān)系式，得到的非定常氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果與Euler方程相同，因此得出，氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征是激波膨脹波帶來(lái)的。

上述設(shè)計(jì)的壁板模態(tài)形狀前后具有對(duì)稱(chēng)性，因此將壁板從中間位置分為兩部分——前半部分和后半部分，同時(shí)也將壁板表面氣動(dòng)力分為前后兩部分，分別作出兩部分的氣動(dòng)力響應(yīng)曲線(xiàn)以及幅頻特性曲線(xiàn)，如圖6、圖7所示?？梢?jiàn)，壁板前后兩部分的氣動(dòng)力一階、二階諧波分量均相同，二階分量?jī)H占一階分量的9%左右。而根據(jù)圖5，整個(gè)壁板的氣動(dòng)力二階諧波分量約占一階分量的50%，非線(xiàn)性分量占比顯著增加。

圖6 前后表面氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.6 Comparison between aerodynamic responses for former and latter parts

圖7 前后表面氣動(dòng)力幅頻特性曲線(xiàn)Fig.7 Amplitude-frequency curves of aerodynamic responses for former and latter parts

表1展示了氣動(dòng)力一階、二階諧波分量的相位大小。對(duì)一階諧波分量來(lái)說(shuō)，前后兩部分的相位差較大，近似于反向，而前后表面的二階分量幾乎同相位。正是因?yàn)楸诎迩昂蟛糠值囊浑A分量反相、二階分量同相，所以?xún)蓚€(gè)表面9%的非線(xiàn)性分量在求和后占比達(dá)到了50%，非線(xiàn)性效應(yīng)顯著增強(qiáng)。進(jìn)一步探究一階諧波分量反相的原因?；钊碚摰囊浑A項(xiàng)可寫(xiě)為如下形式：

(12)

該式的第一項(xiàng)為變形分量，第二項(xiàng)為振動(dòng)分量，由此將物面振動(dòng)產(chǎn)生的氣動(dòng)力分解為變形導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量和振動(dòng)導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量?jī)刹糠郑罢哒扔诒诎逑鄬?duì)于來(lái)流的迎角，后者正比于壁板的橫向振動(dòng)速度。對(duì)于壁板的前后兩部分來(lái)說(shuō)，氣流的迎角相反而橫向振動(dòng)速度相同，所以總的氣動(dòng)力中變形分量前后抵消，而振動(dòng)分量則加強(qiáng)，同時(shí)在低速振動(dòng)中，變形氣動(dòng)力分量占主導(dǎo)地位。因此前后部分的一階氣動(dòng)力幾乎是反相位的。

表1 前后表面氣動(dòng)力分量的相位Table 1 Phrases of aerodynamic harmonic components for former and latter part

3 一階活塞理論在具有雙側(cè)來(lái)流的物面振動(dòng)中的應(yīng)用

取長(zhǎng)度為l的無(wú)厚度板，繞前端點(diǎn)做俯仰運(yùn)動(dòng)，俯仰位移如圖8所示，得到的氣動(dòng)力系數(shù)響應(yīng)如圖9所示。一階活塞理論的求解結(jié)果與SE-PT理論、Euler方程的結(jié)果符合良好，說(shuō)明此時(shí)的氣動(dòng)力響應(yīng)中不存在高階諧波分量。輸入單一頻率(50 Hz)的廣義位移，得到的氣動(dòng)力響應(yīng)如圖10所示，頻譜分析的幅頻特性曲線(xiàn)如圖11?？梢?jiàn)，氣動(dòng)力響應(yīng)只有一階諧波分量，一階活塞理論的計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的。

圖8 掃頻位移信號(hào)Fig.8 Sweep signal

圖9 掃頻信號(hào)下氣動(dòng)力響應(yīng)Fig.9 Aerodynamic response of sweep signal

圖10 正弦位移信號(hào)Fig.10 Sinusoidal signal

圖11 正弦信號(hào)下氣動(dòng)力響應(yīng)Fig.11 Aerodynamic response of sinusoidal signal

對(duì)壁板這種只有單側(cè)來(lái)流的物面振動(dòng)來(lái)說(shuō)，氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征明顯。而在雙側(cè)來(lái)流的物面振動(dòng)中，卻沒(méi)有非線(xiàn)性分量。下面對(duì)這一現(xiàn)象做進(jìn)一步的研究。把雙側(cè)來(lái)流的物面分為上表面和下表面，分別計(jì)算它們的氣動(dòng)力響應(yīng)。圖12展示了氣動(dòng)力的時(shí)域響應(yīng)曲線(xiàn)，圖13展示了氣動(dòng)力的幅頻特性曲線(xiàn)。

圖12 上下表面氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖Fig.12 Comparison between aerodynamic responses for upper and lower surfaces

圖13 上下表面氣動(dòng)力幅頻曲線(xiàn)Fig.13 Amplitude-frequency curves of aerodynamic responses for upper and lower surfaces

對(duì)上、下單個(gè)表面來(lái)說(shuō)，氣動(dòng)力出現(xiàn)了明顯的二階諧波分量，其與一階諧波分量的幅值比約為9%。表2展示了上、下表面各階諧波分量的相位關(guān)系，可以看到，一階分量相位相同，二階分量相位相反，這就使得在計(jì)算總的氣動(dòng)力時(shí)，二階諧波分量相互抵消，呈現(xiàn)出良好的線(xiàn)性特征。激波膨脹波帶來(lái)了氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng)，在物面振動(dòng)過(guò)程中上表面出現(xiàn)激波時(shí)，下表面往往出現(xiàn)膨脹波，反之亦然。激波與膨脹波對(duì)氣動(dòng)力的影響相反，這是導(dǎo)致總的非線(xiàn)性效應(yīng)相互抵消的物理原因。

表2 上、下表面氣動(dòng)力分量的相位Table 2 Phrases of aerodynamic harmonic components for upper and lower surfaces

4 高階活塞理論

圖14對(duì)比了50 Hz廣義位移輸入信號(hào)下不同階活塞理論的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果，可見(jiàn)，二階活塞理論基本能預(yù)測(cè)出氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征。Cheng和Mei[15]研究了不同階活塞理論計(jì)算壁板振動(dòng)極限環(huán)幅值的區(qū)別，從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，一階活塞理論不夠精確，二階與三階活塞理論的差別在0.5%以?xún)?nèi)。Fridmann[2]對(duì)比了微幅振動(dòng)下不同階活塞理論得到的壁板表面氣動(dòng)力系數(shù)，發(fā)現(xiàn)二階活塞理論、三階活塞理論、Euler方程的計(jì)算結(jié)果一致。

圖15對(duì)比了不同階考慮激波膨脹波的活塞理論氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果，由于激波膨脹波關(guān)系式的引入，一階理論就已經(jīng)能夠很好地呈現(xiàn)出氣動(dòng)力的非線(xiàn)性特征。

圖14 不同階活塞理論的氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Fig.14 Aerodynamic response comparison between different-order piston theories

圖15 考慮激波膨脹波活塞理論的氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比Fig.15 Aerodynamic response comparison between piston theories considering shock and expansion waves

對(duì)比二階活塞理論、考慮激波膨脹波的一階活塞理論與Euler方程在不同位移信號(hào)下的氣動(dòng)力求解結(jié)果，如圖16所示，三者符合良好，證明壁板顫振中氣動(dòng)力的非線(xiàn)性因素主要是由激波膨脹波帶來(lái)的，而活塞理論的二階項(xiàng)基本可以反映出這種非線(xiàn)性。

實(shí)際工程中的壁板顫振分析可能面臨著很寬的結(jié)構(gòu)頻率范圍，而活塞理論在不同的頻率范圍下呈現(xiàn)出不同的計(jì)算效果。為了澄清這方面的機(jī)制，分析了頻率對(duì)氣動(dòng)力非線(xiàn)性的影響。

取三個(gè)不同頻率(50 Hz、200 Hz、500 Hz)的位移信號(hào)，分別采用一階、二階活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力系數(shù)。圖17是氣動(dòng)力的時(shí)域響應(yīng)，圖18是對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線(xiàn)。三個(gè)頻率下氣動(dòng)力出現(xiàn)了不同程度的非線(xiàn)性效應(yīng)，二階諧波分量與一階諧波分量幅值比分別為0.503、0.042、0.172，可以看到，氣動(dòng)力的非線(xiàn)性程度與頻率有很大關(guān)系。進(jìn)一步做出二階諧波與一階諧波分量幅值比隨頻率變化的曲線(xiàn)圖，如圖19(a)，圖中另外畫(huà)出了幅值比為0.05的虛線(xiàn)?？梢钥闯?，當(dāng)振動(dòng)頻率較高或者較低時(shí)，氣動(dòng)力的非線(xiàn)性效應(yīng)變強(qiáng)，而在中間某段頻率(200～300 Hz)內(nèi)，非線(xiàn)性分量占比很低，此時(shí)氣動(dòng)力可以近似看做是線(xiàn)性的。

探究在中頻段內(nèi)氣動(dòng)力的非線(xiàn)性分量占比很低的原因。觀(guān)察氣動(dòng)力的一階、二階諧波分量幅值隨頻率的變化(圖19b)。由前面的分析可知，一階諧波可分為變形導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量和振動(dòng)導(dǎo)致的氣動(dòng)力分量，前者與振動(dòng)頻率無(wú)關(guān)，后者與振動(dòng)頻率成線(xiàn)性增大關(guān)系，二者的綜合作用，使得氣動(dòng)力的一階諧波分量幅值隨頻率線(xiàn)性增大。圖19(b)中的虛線(xiàn)展示了這一規(guī)律。實(shí)線(xiàn)代表的是二階諧波分量幅值隨頻率的變化關(guān)系，可以看到是先減小后增大的。因此在中間頻段二階分量的占比降低，氣動(dòng)力的線(xiàn)性效應(yīng)增強(qiáng)。

圖16不同位移信號(hào)下氣動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比圖
Fig.16Serodynamicresponsecomparisonfordifferentdisplacementsignals

(a) 50 Hz (b) 200 Hz (c) 500 Hz

(a) Amplitude ratio vs. frequency (b) Amplitude vs. frequency

進(jìn)一步探究二階諧波的幅值隨頻率先減小后增大的原因。下式為活塞理論的二階分量：

圖20 氣動(dòng)力二階諧波變形分量和振動(dòng)分量幅值隨頻率變化Fig.20 Deformation andvibration components of 2nd aerodynamic harmonics vs. frequency

5 結(jié) 論

本文選取超聲速來(lái)流的計(jì)算狀態(tài)，忽略壁面黏性效應(yīng)，對(duì)比了活塞理論、考慮激波膨脹波的活塞理論、Euler方程的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果，探究了壁板顫振中氣動(dòng)力非線(xiàn)性的主要來(lái)源，同時(shí)研究了具有雙側(cè)氣流的物面振動(dòng)氣動(dòng)力的線(xiàn)性性質(zhì)，解釋了振動(dòng)頻率影響氣動(dòng)力非線(xiàn)性效應(yīng)的原因，得到的主要結(jié)論如下：

(1) 超聲速物面振動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的激波膨脹波是氣動(dòng)力非線(xiàn)性的主要來(lái)源；

(2) 一階活塞理論適應(yīng)于高超聲速翼面氣動(dòng)彈性分析，其原因是上下表面的非線(xiàn)性分量相互抵消，氣動(dòng)力的線(xiàn)性效應(yīng)增強(qiáng)；而在只有單側(cè)來(lái)流的壁板顫振分析中，模態(tài)變形量的對(duì)稱(chēng)性使得氣動(dòng)力的線(xiàn)性分量降低，非線(xiàn)性分量升高，此時(shí)需采用高階活塞理論來(lái)模擬這種非線(xiàn)性效應(yīng)；

(3) 活塞理論中的高階項(xiàng)表征的是激波膨脹波帶來(lái)的非線(xiàn)性效應(yīng)，它隨振動(dòng)頻率的增加先減弱后增強(qiáng)，其原因是非線(xiàn)性項(xiàng)中的變形氣動(dòng)力分量和振動(dòng)氣動(dòng)力分量相位相反，前者幅值不隨頻率變化，后者隨頻率增加而增大，在中間某段頻域內(nèi)二者的幅值近似相等，非線(xiàn)性效用相互抵消，只有此時(shí)氣動(dòng)力才可以看作是線(xiàn)性的。