余 寧,阮 毅,麥麗菊
(廣東省機(jī)械研究所,廣東廣州 510635)
諧波齒輪傳動裝置具有體積小、承載能力大、傳動精度高等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)器人等諸多領(lǐng)域。雙圓弧齒廓同普通的齒形相比,不僅可以增加齒輪的嚙合對數(shù),而且還可以有效地改善普通齒輪嚙合時易產(chǎn)生尖點(diǎn)和干涉的情況,從而進(jìn)一步提高諧波傳動裝置的嚙合性能[1-3]。本文作者以雙圓弧齒廓諧波傳動為研究對象,對諧波傳動裝置中的柔輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì),并且利用MATLAB軟件對與之嚙合的剛輪的齒形進(jìn)行設(shè)計(jì)[4]。
以設(shè)計(jì)減速比為i=80,模數(shù)m=0.3,輸入轉(zhuǎn)矩為72 N·m的諧波減速器為例,求解諧波減速器的柔輪和剛輪齒形參數(shù)。由諧波減速器傳動比的公式可得,柔輪齒數(shù)為Z1=160,剛輪齒數(shù)為Z2=162。
根據(jù)嚙合情況,柔輪理論齒高h(yuǎn)=2m與標(biāo)準(zhǔn)漸開線圓柱齒輪相同,但其嚙合深度卻不同,其嚙合深度hd1為(1 . 2~1.3) m。柔輪與剛輪全齒高不等于嚙合深度,因此柔輪的全齒高可在一定范圍波動,同時齒根高h(yuǎn)f可比齒頂高h(yuǎn)a略大,以預(yù)留嚙合間隙Ca及增大齒根彎曲強(qiáng)度[5]。最后雙圓弧諧波齒輪柔輪全齒高可初定為(1.8~2.2)m,柔輪齒頂高 ha可以取為(0.7~1.0)m,齒根高h(yuǎn)f為(1.1~1.5)m,齒頂間隙Ca為(0.2~0.35)m。
在雙圓弧齒廓中,柔輪與剛輪的相對運(yùn)動軌跡不受齒廓形式的影響,壓力角的大小只影響齒輪的受力情況和齒輪強(qiáng)度,因此根據(jù)諧波傳動的特點(diǎn),諧波傳動圓弧齒廓的壓力角α0一般取25°。
齒廓圓弧半徑差Δρ會影響傳動靈敏度,數(shù)值應(yīng)根據(jù)齒輪的制造及裝配精度還有齒輪模數(shù)來確定。若半徑差Δρ太小,則會靈敏反應(yīng)各個位置的變化,使誤差變大;若Δρ太大,則會導(dǎo)致齒輪跑和緩慢。對于小模數(shù)的軟齒面雙圓弧齒輪,齒廓圓弧半徑差Δρ常取[6]:
齒厚比K是節(jié)圓上齒槽寬度Sf與齒厚Sa的比值,即K=Sf/Sa。齒厚比的大小主要影響雙圓弧輪齒的彎曲強(qiáng)度,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一般取K為1.1~1.3。
在壓力角不變的情況下,齒廓圓弧半徑ρ減小,力的作用點(diǎn)離危險(xiǎn)截面更近,齒根彎曲疲勞強(qiáng)度增強(qiáng);反之,齒面接觸疲勞強(qiáng)度提高。因而對于軟齒面雙圓弧齒輪,通常取柔輪凸齒廓圓弧半徑 ρa(bǔ)=(1.15~1.5)m。而柔輪凸齒廓圓弧半徑ρf根據(jù)齒廓圓弧半徑差Δρ與ρa(bǔ)關(guān)系取值。
根據(jù)上述參數(shù)選擇原則,確定本設(shè)計(jì)柔輪齒廓參數(shù)如表1所示。
表1 柔輪輪齒齒廓參數(shù)
由于柔輪的非齒廓參數(shù)并不是設(shè)計(jì)的重點(diǎn),所以直接給出其參數(shù)值如表2所示。
表2 柔輪非齒廓尺寸參數(shù)
圖1 柔輪齒廓參數(shù)
計(jì)算得出柔輪凸齒圓心偏移量Xa和la:
根據(jù)兩圓心連線交于點(diǎn)B,得凹齒圓心偏移量:
共軛剛輪齒廓參數(shù)主要通過分析柔輪變形情況,得出變形量的變化函數(shù)式,之后運(yùn)用包絡(luò)法得到參數(shù)間的變量關(guān)系,最后采用數(shù)值法解變量方程組得到[7-9]。
諧波傳動的兩個定律如下:
(1)諧波傳動的轉(zhuǎn)速比只與相互運(yùn)動的兩條特征曲線的周長有關(guān),而與其形狀無關(guān)。
(2)共軛齒廓在嚙合過程中的運(yùn)動情況是由所選用的齒形和運(yùn)動時的特征曲線共同決定的。
諧波齒輪傳動計(jì)算中的幾點(diǎn)假設(shè)如下:
(1)剛輪和柔輪兩共軛特征曲線SR和SG,在波發(fā)生器裝入柔輪后發(fā)生變形,但柔輪特征曲線總周長不變,即變形前后SR周長不變,只是形狀發(fā)生變化。
(2)假設(shè)傳動過程中齒形不發(fā)生變化,但是齒槽中部發(fā)生變化。
(3)假設(shè)中線呈規(guī)律性變化。
(4)柔輪每個輪齒的對稱線都與特征曲線SR的切線相垂直,而且每個輪齒所對應(yīng)的特征曲線SR的弧長都對應(yīng)相等。
在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上,將輪齒去除后的柔輪、剛輪的曲線分別成為柔輪、剛輪的特征曲線SR、SG,如圖2所示。
圖2 諧波傳動柔輪與剛輪特征曲線嚙合示意圖
2.2.1 建立坐標(biāo)系
為了說明柔輪與剛輪的共軛過程,建立描繪柔輪特征曲線SR的極坐標(biāo)SR(ρR,φR)、描繪剛輪特征曲線SG的極坐標(biāo)SG(ρG,φG)、描繪共軛齒廓的3個直角坐標(biāo)系CR(xR,yR)、CG(xG,yG)、C0(x0,y0)。并設(shè)定這些坐標(biāo)系初始位置是極軸ρR(0)、 ρG(0),縱坐標(biāo)yR、yG、y0全部重合,如圖3所示。
圖3 坐標(biāo)系示意圖
(1)極坐標(biāo)SR(ρR,φR):坐標(biāo)原點(diǎn)為柔輪特征曲線SR的中心,即波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心上,極軸為ρR波發(fā)生器的長軸。
(2)極坐標(biāo)SG(ρG,φG):坐標(biāo)原點(diǎn)為柔輪特征曲線SG的中心,即剛輪的回轉(zhuǎn)中心,極軸ρG為縱線(鉛垂線)。
(3)直角坐標(biāo)系CR(xR,yR):坐標(biāo)原點(diǎn)定于柔輪特征曲線上,縱軸yR是柔輪輪齒齒廓的對稱線,其坐標(biāo)原點(diǎn)是輪齒的對稱線與特征曲線的交點(diǎn)。
(4)直角坐標(biāo)系CG(xG,yG):坐標(biāo)原點(diǎn)定于剛輪特征曲線上,縱軸是剛輪輪齒齒廓對稱線,坐標(biāo)原點(diǎn)與諧波傳動裝置的回轉(zhuǎn)中心重合。
(5)直角坐標(biāo)系C0(x0,y0):固定基礎(chǔ)坐標(biāo)系,縱軸為鉛垂線,原點(diǎn)與諧波傳動裝置的回轉(zhuǎn)中心重合。
2.2.2 建立微分方程組
將柔輪齒廓轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程:
式中:R1為柔輪齒廓圓弧半徑 ρa(bǔ),xc1為橫坐標(biāo)偏移量-la,yc1為縱坐標(biāo)偏移量Xa,θ1為柔輪凸齒廓半徑所對應(yīng)的角度。
剛輪特征曲線方程SG:ρG=rG
柔輪特征曲線方程SR: ρR=rR+ω0cos2φ
式中:φ為柔輪非變形端的轉(zhuǎn)角,ω0為柔輪徑向變形量系數(shù),rG和rR為剛輪和柔輪的半徑。
使用包絡(luò)法求剛輪齒廓,各參數(shù)表達(dá)式如下:
柔輪特征曲線SR對應(yīng)弧長的中心角:
剛輪特征曲線SG對應(yīng)弧長的中心角:
剛輪固定時,相應(yīng)特征曲線SR、SG對應(yīng)弧對應(yīng)的中心角之差:
剛輪固定時,相應(yīng)CR、CG兩坐標(biāo)夾角:
式中,μ為柔輪對稱軸線相對于徑矢轉(zhuǎn)過的角度,ω為柔輪的徑向變形量。
由變換矩陣得:
最終得到:
式中φ與參數(shù)θ間的關(guān)系以隱函數(shù)的方式給出,它們的關(guān)系不能用初等函數(shù)表達(dá),求解剛輪理論齒廓需要采用數(shù)值法。
由于剛輪齒廓變量中φ與θ只能用數(shù)值法求解,計(jì)算過程單一但計(jì)算量大,因而使用Matlab編程計(jì)算,該程序也可作為通用的剛輪共軛齒廓求解程序。
數(shù)值法求解流程如下:
(1)設(shè)定θ的范圍,將其離散化成N個點(diǎn),每個點(diǎn)都有一個對應(yīng)的解;
(2)當(dāng)θ為第n個點(diǎn)時,根據(jù)包絡(luò)方程關(guān)系式,運(yùn)用二分法不斷縮小解的范圍;
(3)當(dāng)解的范圍小于設(shè)定范圍后,認(rèn)為該范圍中點(diǎn)值即為該次θ的解;
(4)重復(fù)上述步驟得到一系列的θ解;
(5)最后根據(jù)θ與其他變量的關(guān)系得到剛輪齒廓參數(shù)。
由上述剛輪共軛齒廓求解,編寫MATLAB程序,并將數(shù)據(jù)代入程序中,得到剛輪雙圓弧齒廓中兩個圓弧曲線的圓心和半徑參數(shù),用數(shù)值法得到的一系列的數(shù)據(jù)點(diǎn)通過擬合得到的效果圖如圖4所示。由圖4可以看出,采用該方法獲得的剛輪齒廓曲線連續(xù)性非常好。
圓弧1圓心和半徑(單位:mm):
圓弧2圓心和半徑(單位:mm):
Xc=1.067 9 Yc=37.171 0 Rc=0.762 8
圖4 剛輪齒廓曲線擬合圖
分析雙圓弧齒在諧波傳動中嚙合時的優(yōu)越性,對柔輪的特征曲線求解,得到其特征曲線的方程。在確定柔輪齒形的基礎(chǔ)上,通過建立坐標(biāo)系,根據(jù)共扼原理,進(jìn)行坐標(biāo)變換,求出與柔輪齒相嚙合的剛輪齒的方程。通過MATLAB軟件進(jìn)行編程,在將原始數(shù)據(jù)輸入到程序中,求解出剛輪齒形上的點(diǎn),然后進(jìn)行擬合,最后得出相應(yīng)的剛輪齒廓曲線。