，

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

Lundberg提出經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型之后，在保險(xiǎn)精算領(lǐng)域，眾多學(xué)者對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行改進(jìn)和推廣，使其更符合保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)現(xiàn)狀。文獻(xiàn)[1]最早將保費(fèi)收取過(guò)程推廣為復(fù)合二項(xiàng)模型，將保費(fèi)收取過(guò)程離散化，給出關(guān)于破產(chǎn)概率及盈余在破產(chǎn)前及破產(chǎn)瞬間的聯(lián)合分布的若干結(jié)果。隨后，中外學(xué)者對(duì)復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[2]將索賠過(guò)程推廣為復(fù)合二項(xiàng)模型。文獻(xiàn)[3]用復(fù)合二項(xiàng)模型的破產(chǎn)概率來(lái)近似經(jīng)典連續(xù)時(shí)間復(fù)合泊松模型的破產(chǎn)概率，討論了具有幾何索賠量的復(fù)合二項(xiàng)模型的相關(guān)結(jié)果。文獻(xiàn)[4]將保費(fèi)收取過(guò)程與索賠過(guò)程同時(shí)推廣為復(fù)合二項(xiàng)過(guò)程。文獻(xiàn)[5-6]利用生成函數(shù)推導(dǎo)出復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率。此外，隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，保險(xiǎn)公司可用資金擴(kuò)張且行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)激烈，使保險(xiǎn)公司對(duì)外投資具有了可能性及必要性。文獻(xiàn)[7]最早引入馬爾科夫鏈利率，用遞推方程歸納法給出了有限時(shí)間的破產(chǎn)概率上界。文獻(xiàn)[8-10]在此基礎(chǔ)上，對(duì)考慮投資情況的破產(chǎn)模型進(jìn)行了進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[11]考慮離散情況下，將期初保費(fèi)收取進(jìn)行短期投資，得到新模型的破產(chǎn)概率。文獻(xiàn)[12]在考慮通貨膨脹率等隨機(jī)因素干擾的情況下，將盈余資本進(jìn)行投資并推廣得到新的雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型。文獻(xiàn)[13]考慮帶有常利率及相依結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上研究破產(chǎn)概率。文獻(xiàn)[14-17]在離散時(shí)間下引入馬爾科夫鏈利率，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率進(jìn)行進(jìn)一步研究。本研究在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，引入第二個(gè)險(xiǎn)種，將單一險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型推廣為多險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型，將經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型改進(jìn)為雙險(xiǎn)種復(fù)合雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，采用馬爾科夫鏈利率預(yù)期未來(lái)收益，利用全概率公式等數(shù)學(xué)工具得到破產(chǎn)概率積分表達(dá)式，運(yùn)用鞅方法得到破產(chǎn)概率上界。

1 模型的描述

考慮帶馬爾科夫鏈利率的離散時(shí)間雙險(xiǎn)種復(fù)合雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型：

(1)

其中，Un為保險(xiǎn)公司在n時(shí)刻的盈余。對(duì)于險(xiǎn)種Ⅰ，每單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生理賠的概率為p1，不發(fā)生理賠的概率為q1。用{εn}n≥1表示險(xiǎn)種Ⅰ第n個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的理賠發(fā)生情況，即P(εn=1)=p1,P(εn=0)=q1。理賠額{Xn}n≥1是取正值的獨(dú)立同分布于X的隨機(jī)變量，其中X的分布函數(shù)FX(x)=P(X≤x)。類(lèi)似地，對(duì)于險(xiǎn)種Ⅱ，每單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生理賠的概率為p2，不發(fā)生理賠的概率為q2。用{ξn}n≥1表示險(xiǎn)種Ⅱ第n個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的理賠發(fā)生情況，即P(ξn=1)=p2,P(ξn=0)=q2。理賠額{Yn}n≥1是取正值的獨(dú)立同分布于Y的隨機(jī)變量，其中Y的分布函數(shù)FY(x)=P(Y≤y)。初始盈余為u，每單位時(shí)間內(nèi)保費(fèi)收取情況隨機(jī)，時(shí)刻n是否收取保費(fèi)用δn表示，保費(fèi)收取發(fā)生概率為p3，不發(fā)生的概率為q3，即P(δn=1)=p3,P(δn=0)=q3，保費(fèi)收取率為c。

設(shè)利率{In,n=0,1,2,…}是一個(gè)馬爾科夫鏈。對(duì)所有的n=0,1,2,…，In可以取任意的一個(gè)可能值i0,i1,…,iN，這些可能值構(gòu)成一個(gè)集合，稱(chēng)為馬爾科夫鏈{In,n=0,1,2,…}的狀態(tài)空間，用I={i0,i1,…,iN}來(lái)表示。則對(duì)所有的n=0,1,2,…和所有的狀態(tài)is,it,…,itn-1，有

P(In+1=it|In=is,In-1=itn-1,…,I0=it0)=P(In+1=it|In=is)=pst≥0 ，

定義破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{n:n>0,Un<0|U0=u,I0=is} ；

有限時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率

假定保費(fèi)的收取和索賠均發(fā)生在期末，則風(fēng)險(xiǎn)模型的盈余過(guò)程為

當(dāng)n≥1時(shí)，

Un=Un-1(1+In)+cδn-Xnεn-Ynξn

(2)

其中U0=u。

2 主要結(jié)果

引理1令Mn=Xnεn+Ynξn，{Mn}n≥1是取正值的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。設(shè)Mn的分布函數(shù)為FM(m)，則

證明： {Mn}n≥1是取正值的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。因此，當(dāng)m<0時(shí)，F(xiàn)M(m)=0。

當(dāng)m=0時(shí)，

FM(0)=P(Mn=0)=P(εn=0)P(ξn=0)=q1q2。

當(dāng)m>0時(shí)，

FM(m) =P(Mn≤m)=P(εn=0)P(ξn=0)+P(εn=1)P(ξn=0)P(Xn≤m)

得證。

由引理1，式(2)的盈余過(guò)程即為

(3)

定理1破產(chǎn)概率φ(u;is)滿足以下積分表達(dá)式：

證明：由式(3)可知

U1=u(1+I1)+cδ1-M1，

因此，

P(U1<0|I0=is,I1=it,M1=m)

=q3P(u(1+it)-m<0|I0=is,I1=it,M1=m)

+p3P(u(1+it)+c-m<0|I0=is,I1=it,M1=m)

假設(shè)

對(duì)m進(jìn)行如下分情況討論：

① 0≤m≤u(1+it)時(shí)，

=E(φn(u(1+it)+cδ1-m；it))=q3φn(u(1+it)-m;it)+p3φn(u(1+it)+c-m;it) ；

②u(1+it)

=q3+p3φn(u(1+it)+c-m;it) ；

對(duì)以上三部分利用全概率公式可得：

證畢。

定義1對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{Un}，若E(M1-cδ1)<0，且存在一個(gè)常量R0>0，滿足E(eR0(M1-cδ1))=1，則稱(chēng)R0為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明：風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{Vn}的現(xiàn)實(shí)意義為n時(shí)刻盈余值貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值，因此可知，風(fēng)險(xiǎn)模型(3)的破產(chǎn)概率等價(jià)于風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{Vn,n=1,2,…}的破產(chǎn)概率，即

對(duì)于式(3)的風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程{Un}，可令

(4)

則

(5)

令Wn=Mn-cδn，即第n階段保險(xiǎn)公司凈損失額，分布函數(shù)為FW(w)。

式(4)、(5)分別簡(jiǎn)化為

(6)

(7)

另假定E(W1)<0，存在ρs>0滿足

E(eρsW1(1+I1)-1|I0=is))=1,s=0,1,…,N，

對(duì)于?s=0,1,…,N，構(gòu)造函數(shù)

則

因此，ls(r)是一個(gè)凸函數(shù)，且ρs是方程ls(r)=0在(0,∞)上的唯一正根。

又由詹森不等式可知，

即ls(R0)<0。因此，可得R0≤ρs。

現(xiàn)定義對(duì)于所有的s=0,1,…,N，

(8)

因此，對(duì)于所有的s=0,1,…,N，ls(R1)≤0，

E(eR1W1(1+I1)-1|I0=is)≤1 。

(9)

令Sn=e-R1Vn，則

因此，根據(jù)詹森不等式及式(9)可得，

即證得常數(shù)R1>0使得{e-R1Vn}是一個(gè)上鞅。

定理2對(duì)所有的s=0,1,…,N，

φ(u,is)≤e-R1u，u≥0且e-R1u≤e-R0u。

證明：令Ts=min{n:Vn<0|I0=is}，則Ts是一個(gè)停時(shí)且n∧Ts=min(n,Ts)是一個(gè)有限停時(shí)，對(duì)所得上鞅應(yīng)用最優(yōu)停時(shí)定理，可得

E(Sn∧Ts)≤E(S0)=e-R1u，

則

e-R1u≥E(Sn∧Ts)≥E(Sn∧TsI(Ts≤n))=E(STsI(Ts≤n))

=E(e-R1VTsI(Ts≤n))≥E(I(Ts≤n))=φn(u,is) 。

當(dāng)n→∞時(shí)，可得

φ(u,is)≤e-R1uu≥0 。

(10)

由式(8)可知R1≥R0，即

e-R1u≤e-R0u，

證畢。

由上述論述可知，R0是定義的沒(méi)有考慮風(fēng)險(xiǎn)投資情況的模型(1)的調(diào)節(jié)系數(shù)，即{e-R0Un}是一個(gè)鞅，根據(jù)停時(shí)定理可得模型(1)的Lundberg不等式為φ(u,is)≤e-R0u；將考慮風(fēng)險(xiǎn)投資情況的模型(3)中n時(shí)刻盈余值貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值得到模型(4)后，該模型存在R1使得{e-R1Vn}是一個(gè)上鞅，同理利用停時(shí)定理可得模型(4)的Lundberg不等式為φ(u,is)≤e-R1u；n時(shí)刻盈余值的正負(fù)情況與其貼現(xiàn)值的正負(fù)情況相同，因此考慮風(fēng)險(xiǎn)投資情況的模型(3)的Lundberg不等式也為φ(u,is)≤e-R1u。

又根據(jù)函數(shù)的凹凸性、極值定理及詹森不等式的相關(guān)性質(zhì)可知，R1≥R0，進(jìn)一步可得e-R1u≤e-R0u，即考慮投資情況的模型(3)的破產(chǎn)概率上界小于不考慮投資情況的模型(1)的破產(chǎn)概率上界，保險(xiǎn)公司進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資可降低風(fēng)險(xiǎn)。

3 結(jié)論

本文主要研究了帶有馬爾科夫鏈利率的離散時(shí)間雙險(xiǎn)種復(fù)合雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，是對(duì)已有文獻(xiàn)中相關(guān)離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的拓展。

先從險(xiǎn)種、保費(fèi)收取、索賠三個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)，并通過(guò)建立馬爾科夫鏈引入隨機(jī)利率，得到更為復(fù)雜的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的表達(dá)式，并利用遞推法及全概率公式進(jìn)一步推導(dǎo)出破產(chǎn)概率的積分表達(dá)式。隨后研究破產(chǎn)概率上界，通過(guò)等價(jià)變換得到新的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，在構(gòu)造函數(shù)的基礎(chǔ)上利用詹森不等式證明該風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是一個(gè)上鞅，通過(guò)運(yùn)用停時(shí)定理推導(dǎo)出破產(chǎn)概率上界。研究還發(fā)現(xiàn)所討論的帶隨機(jī)利率的離散時(shí)間雙險(xiǎn)種復(fù)合雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率上界優(yōu)于經(jīng)典離散時(shí)間模型的Lundberg上界，即保險(xiǎn)公司進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資將有效降低破產(chǎn)概率。接下來(lái)的研究將主要集中于保險(xiǎn)公司進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資的實(shí)證研究，旨在為保險(xiǎn)公司的現(xiàn)實(shí)經(jīng)營(yíng)提供更具價(jià)值的參考。