甘肅 袁 琳

波利亞說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會(huì)解題”，如何將解題做到科學(xué)、規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，達(dá)到融會(huì)貫通、心領(lǐng)神會(huì)，是每個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的目標(biāo).

然而，筆者所屬貧困地區(qū)的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅因有限的教學(xué)資源而制約，而且因?qū)W生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)低、思維靈活性差而低效.從學(xué)生的解題實(shí)踐活動(dòng)中，不難發(fā)現(xiàn)解題往往缺乏導(dǎo)向性、完備性、系統(tǒng)性.常會(huì)出現(xiàn)以下幾種解題偏軌現(xiàn)象：

1.注重了試題條件的任性分析，忽視了試題結(jié)論的目標(biāo)導(dǎo)向.

2.注重了試題結(jié)論的目標(biāo)探索，忽視了試題條件的受限剖析.

3.雖然既注重了試題的條件，又注重了試題的結(jié)論，但是在條件與結(jié)論間難以建構(gòu)解題的通道口，在條件與條件間找不到連接點(diǎn).

解題偏軌的根本原因在于學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)不強(qiáng)，目標(biāo)思維欠缺，目標(biāo)分解斷層.為了培養(yǎng)學(xué)生的解題目標(biāo)意識(shí)，提高數(shù)學(xué)解題能力，在課堂的解題教學(xué)中，需加強(qiáng)解題的以下思維培養(yǎng)：

1.研判目標(biāo)的原本性.要理解目標(biāo)結(jié)論的內(nèi)涵是什么？外延是什么？通過觀察、類比、猜想、轉(zhuǎn)化等思維過程，認(rèn)清問題的結(jié)論所揭示的事實(shí)，理清問題的結(jié)論結(jié)構(gòu).

2.強(qiáng)化目標(biāo)的導(dǎo)向性.要解(證)某一結(jié)論，需解(證)哪些中間結(jié)論，要解(證)中間結(jié)論，還需解(證)哪些結(jié)論，逐層推進(jìn)，直至與已知對(duì)接.

3.提升解題的系統(tǒng)性.在一個(gè)縱橫交織的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、思維漩渦解題進(jìn)程中，要整理出解答問題的層次結(jié)構(gòu)，先后順序，就需將目標(biāo)結(jié)論與題設(shè)條件放在同一平臺(tái)，剖析條件與結(jié)論間具有的內(nèi)在因素，分析條件與條件間的串并關(guān)系，并有機(jī)地、有序地組合于一體，形成系統(tǒng)的解題思路.

如何將學(xué)生的解題目標(biāo)意識(shí)培養(yǎng)落實(shí)到具體的教學(xué)中去，又有哪些有效的途徑呢？筆者曾做過一些問卷調(diào)查、實(shí)踐嘗試及深度反思.現(xiàn)將個(gè)人的一些見解整理如下，以供同仁指正.

一、借助反置思維，探尋解題的目標(biāo)入口

反置思維就是把試題中的結(jié)論反置為條件，以結(jié)論為解題的抓手，并與題設(shè)的部分(或整體)條件有機(jī)結(jié)合，通過轉(zhuǎn)化、推演，得出一個(gè)題設(shè)條件的“結(jié)論”，或是不證自明的“結(jié)論”，這個(gè)“結(jié)論”便是解題的目標(biāo)入口.

在解題中，常遇到此情形：面對(duì)一個(gè)題設(shè)條件過于單一或過于復(fù)雜的問題，由于條件與待解(證)的結(jié)論之間的“代溝”過大，難以形成思維的共鳴，無法架構(gòu)思維的橋梁，從而使得問題解答找不到思路的基點(diǎn)，怎么辦呢？有一個(gè)行之有效的辦法——反置思維，或許能撥云見日，化解解題的疑難.

反置思維視角下的解題分析：該題所給的僅僅是一個(gè)問題的情景，顯性的約束條件少，思維的口子寬，從哪里下“刀”，切開這個(gè)“題糕”呢？這個(gè)第一“刀”是解題的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵點(diǎn).下面通過反置思維進(jìn)行挖掘解決問題的目標(biāo)入口.

二、滲透數(shù)學(xué)思想方法，打開解題目標(biāo)的通道

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的軀體，數(shù)學(xué)思想與方法是解題的指導(dǎo)法寶.合理、準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法來解題，有利于確立解題的方向，有利于高視角下分解與組合問題的主干結(jié)構(gòu)，有利于優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，為解題的目標(biāo)意識(shí)注入新的活力.

案例二：已知不等式ax2-2x+b>0的解集為(3,5)，則實(shí)數(shù)a,b的值分別為________.

三、引入思維導(dǎo)圖，構(gòu)建解題目標(biāo)的系統(tǒng)

數(shù)學(xué)解題的思維導(dǎo)圖就是運(yùn)用圖文并重的方法，把試題的各級(jí)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系，用相互隸屬與相關(guān)的層級(jí)圖表現(xiàn)出來，形成一個(gè)解題的思維的形象的系統(tǒng).

初對(duì)一個(gè)題設(shè)條件相對(duì)多，結(jié)論相對(duì)抽象的問題，或許我們的解題是迷茫的，不知所措，是從哪個(gè)條件著手呢？要解(證)目標(biāo)結(jié)論，得需解(證)哪些中間小目標(biāo)結(jié)論呢？不妨引入數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，從導(dǎo)圖中尋求解題的思維方向，建構(gòu)解題的層級(jí)目標(biāo)，形成解題的目標(biāo)系統(tǒng).繪制數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力，整合知識(shí)的能力，有利于提高學(xué)生思維的系統(tǒng)性、完備性，為數(shù)學(xué)解題的目標(biāo)意識(shí)的培養(yǎng)奠定一個(gè)堅(jiān)實(shí)的技術(shù)指導(dǎo).

那么，如何繪制思維導(dǎo)圖呢？首先，將結(jié)論作為解題的根圈，然后剖析給定的每個(gè)條件，提示其具有的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并作為解題的葉圈.接著，內(nèi)化條件，相互轉(zhuǎn)化，推出所需小目標(biāo)結(jié)論，以連線方式結(jié)成枝干.最后，理清各個(gè)枝干的內(nèi)外層級(jí)、因果關(guān)系、前后順序，有機(jī)地鑲嵌到根圈上，形成一個(gè)完整、完美、和諧的解題路線圖.

案例三：設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，求使得f(x)>0成立的x的取值范圍.

思維導(dǎo)圖視角下的解題分析：在繪制思維導(dǎo)圖時(shí)，首先要明確以下幾個(gè)解題的重要小目標(biāo)：

1.待解結(jié)論是抽象函數(shù)不等式的解集，這類問題的一般性解題的策略是什么？

此類問題的一般性解題策略為：利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，化抽象不等式為具體不等式，并運(yùn)用不等式的性質(zhì)加以解答.顯然，一般性解題的策略給出了解題的總目標(biāo)是做什么的，為解題指明了方向.

2.由條件“x>0,xf′(x)-f(x)<0”你能聯(lián)想到什么？它所揭示的問題的本質(zhì)是什么？在實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)的過程中，能起到什么作用呢？

3.條件“函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)”從“形”的角度而言，函數(shù)的奇偶性刻畫了函數(shù)的什么特性？在實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)的過程中，又能起到什么作用呢？

函數(shù)的奇偶性刻畫了函數(shù)圖象的對(duì)稱美，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由2中的條件僅能研究(0,+∞)的函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，而(-∞,0)的函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，就根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性而得之.

4.條件“f(-1)=0”是用來干什么的？在實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)的過程中，又有什么作用呢？

在解題過程中，條件f(-1)=0的作用有二：其一，與條件“函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)”對(duì)接，可得f(1)=0；其二，由1可知：抽象函數(shù)不等式的解題的一般策略是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號(hào)，在脫這個(gè)符號(hào)“f”時(shí)，需將待解目標(biāo) “f(x)>0”化為“f(x)>f(x0)”的形式，也就是說，條件“f(-1)=0”是用來替代f(x)>0中的0的.

5.不等式g(x)>0與f(x)>0的解集有何關(guān)系？

根據(jù)以上的解題的分析與思考，可繪制如下的思維導(dǎo)圖：

(本文是甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“隴原名師”專項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)解題目標(biāo)意識(shí)培養(yǎng)”(課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2017]MSZX034)研究成果)