江蘇 宋衛(wèi)東

解題教學(xué)是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重點和核心．美國著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說過：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域．”一節(jié)課教師通過一個問題(例題)的引領(lǐng)，讓學(xué)生積極參與教學(xué)，并根據(jù)自己的認(rèn)知，從不同的角度思考問題，做到一題多解，借題發(fā)揮，從而產(chǎn)生思維的碰撞，進而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握解決數(shù)學(xué)問題的規(guī)律和方法，達(dá)到“做一題，通一類，會一片”的目的，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．近日筆者在高三教學(xué)視導(dǎo)中聽了一節(jié)復(fù)習(xí)課，上課教師一節(jié)課就處理一道習(xí)題，學(xué)生們主動參與課堂，積極思考，從不同的角度探尋出不同的解法，教師及時參與其中并適時點撥、總結(jié)，教與學(xué)的氛圍濃厚，給筆者留下深刻的印象．

一、課堂簡錄

教師出示習(xí)題，學(xué)生獨立思考、嘗試10分鐘，然后組內(nèi)討論5分鐘左右．

教師：同學(xué)3，你是怎么想到設(shè)∠PBA為θ的呢？

學(xué)生3：設(shè)∠PBA=θ后，可以用θ的三角函數(shù)來表示其他的量，相比剛才的兩種解法就減少了未知數(shù)的個數(shù)．

∴sin45°cosθ=sin(θ-45°)，∴sinθ=2cosθ．又sin2θ+cos2θ=1，

MRI，即磁共振成像，在臨床上有著良好的應(yīng)用，尤其是在對顱腦、脊髓、心臟大血管等進行成像檢查，其效果最佳。因此，采用MRI對兒童進行垂體結(jié)構(gòu)和病變的觀察，其效果良好，而且該檢查方式是檢查異位垂體后葉的唯一影像學(xué)方式。而3.0T MRI，其組織對比度、化學(xué)位移分辨率、磁敏感性對比都明顯較高，不僅可以對顯示細(xì)微解剖結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，還可以有效提高影像的分辨率。不僅如此，在相同信噪比的基礎(chǔ)上，3.0T MRI還可以提高采集的速度[4]。

教師：以上三位同學(xué)都是從設(shè)∠PBA=θ入手，剛才說了同學(xué)3利用基底法，同學(xué)4是用了間接法兩邊平方求數(shù)量積，同學(xué)5與同學(xué)1相同，是運用定義法求數(shù)量積，只是處理的方式不同．還有其他解法嗎？

教師：同學(xué)6，你是怎么想到過點B作PB的垂線的呢？

學(xué)生6：我的想法是把45°放到直角三角形中，進而利用中位線定理和勾股定理求AP，PC的長度．

教師：很好，同學(xué)6是運用幾何法求線段的長度，思路清晰，過程簡捷，還有沒有同學(xué)采用另外的幾何法來做的？

教師：漂亮!你是怎么想到要建系的呢？

學(xué)生9：我是將直角放到平面直角坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)能求出各個點的坐標(biāo)，因此采用坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積的．

教師：還有沒有不同的建系方法呢？

教師： 同學(xué)9與同學(xué)10都是從坐標(biāo)入手，利用直角建立平面直角坐標(biāo)系，通過確定各點的坐標(biāo)求出平面向量的數(shù)量積．請同學(xué)們思考，什么時候能利用建系的方法求向量的數(shù)量積呢？

學(xué)生11：常見的三種情況：一是題目中有垂直(直角)；二是題目中有特殊角，比如30°，45°，60°，120°，135°等；三是利用對稱性建系，比如橢圓等圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立就是利用對稱性建系的．

教師：很好．還有其他想法嗎？(學(xué)生均表示沒有)

教師：定義法、基底法、坐標(biāo)法、幾何法是處理平面向量數(shù)量積問題的法寶，請同學(xué)們課后針對這個題目進行整理、總結(jié)和體會．本節(jié)課就上到這里．

二、幾點思考

1.題不在“多”，有“思想”則靈

解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要途徑．本節(jié)課教師由一個習(xí)題出發(fā)，放手讓學(xué)生獨立思考、探索發(fā)現(xiàn)，然后將話語權(quán)交給學(xué)生，通過生生互動、師生互動，讓學(xué)生自己探究解決．可以說這節(jié)課是深刻的、有思維深度的課．然而當(dāng)前高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)刷題成風(fēng)，題海浪涌，學(xué)生苦，教師累．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，但沉溺題海并不意味著能考好數(shù)學(xué)，不如通過分析典型例題的解題過程來學(xué)會解題．題并不是刷得越多學(xué)生學(xué)習(xí)越好，如果缺乏解題反思，在沒有理解掌握的基礎(chǔ)上，學(xué)生做題越多，越會加深對錯誤做法的記憶，從而誤導(dǎo)他們的學(xué)習(xí)．因此，教師要精選有“思想”的習(xí)題作為課堂上的例題，高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的成敗主要取決于例題的選擇，例題不在于“多”，更不在于“難”，關(guān)鍵在于學(xué)生能通過探究尋找出解題的切入點，教師通過適當(dāng)?shù)木v點撥，能與學(xué)生共同總結(jié)出解決問題的規(guī)律和方法，并探尋通性通法，提升學(xué)生解決問題的能力．教師在選取例題時一定要思考“為什么要選擇這道題目，此題與其他題相比優(yōu)勢在哪里？通過解此題，對于解其他題有何幫助？”，從思維的鍛煉、能力的形成角度看，讓學(xué)生學(xué)會思考要比單純的解題訓(xùn)練來得更深刻、有效．例題要少而精，要控制好難度，復(fù)習(xí)的目的不是為難學(xué)生，而是通過例題的解決來幫助學(xué)生鞏固知識，探尋解決問題的方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更加有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，促進他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

2.“師獨演”不如“生紛紜”

啟迪學(xué)生的深度思維必須放手讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，要把數(shù)學(xué)探究的主動權(quán)交給學(xué)生．本節(jié)課教師積極營造學(xué)生參與的氛圍，留出一定的時間讓學(xué)生獨立思考、嘗試，教師沒有將自己的解題經(jīng)驗簡單地灌輸給學(xué)生，沒有用自己的想法代替學(xué)生的思維，而是讓學(xué)生的思維先行，允許學(xué)生提出自己的見解，讓學(xué)生去聯(lián)想、類比、探索并及時反思．學(xué)生每提出一種解法后，教師及時追問“你是怎么想到的”、“還有沒有其他的解法”，并與學(xué)生平等地交流和探討，及時地點評和總結(jié)，多角度揭示問題本質(zhì)，拓寬解題思路，力求對解題規(guī)律進行深化，達(dá)到“做一題，會一類”的目的．教師要準(zhǔn)確地把握學(xué)生已有的認(rèn)知，要根據(jù)學(xué)生的不同需求而教學(xué)，才能尋求學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，提高教學(xué)的有效性．復(fù)習(xí)課中，確立學(xué)生的主體地位并不影響教師主導(dǎo)作用的發(fā)揮，教師要從理解學(xué)生出發(fā)，在教學(xué)生如何學(xué)習(xí)和思考上下功夫，解題后要引導(dǎo)學(xué)生思考：解此題用到了哪些知識？它們是怎樣聯(lián)系起來的？解題的關(guān)鍵在哪里？思路是怎樣打通的？還有其他的解法嗎？這種解法能用于其他問題嗎？哪種解法是通性通法？解法多時，教師還要注意解法的優(yōu)化，一種解法更適合哪一類的問題情境，要給學(xué)生建模塑型．復(fù)習(xí)課教師一定要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，轉(zhuǎn)換教學(xué)方式，要在精講點撥上下功夫，不要“一言堂”，要舍得花時間讓學(xué)生發(fā)表自己的意見，暴露學(xué)生的真實想法，在尊重學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生會自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，從而引發(fā)學(xué)生的深度思維，讓課堂真正變成“學(xué)堂”．?dāng)?shù)學(xué)是自然的，不是強加于人的，只有沿著學(xué)生的思維方向探究、生成，這樣的復(fù)習(xí)才能和諧高效，才能真正彰顯“以人為本”的理念．

3.適當(dāng)變式，讓例題煥發(fā)“生命力”

一題多解能夠訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，一題多變則能訓(xùn)練學(xué)生思維的深度．本課由于時間關(guān)系，教師只做到解法上的訓(xùn)練，而沒有進行問題的拓展變式，這不能不說是個遺憾．如果添加如下變式，教學(xué)效果則會更好．