外力作用下單桿切割磁感線模型賞析

重慶 李顯維

“單桿+導(dǎo)軌”模型是電磁感應(yīng)類問題高考命題的“基本道具”，也是高考的熱點(diǎn)，考查的知識(shí)點(diǎn)多，題目的綜合性強(qiáng)，物理情景變化空間大，是復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)。下面就單桿由靜止在恒外力下、恒加速度下、恒功率下、恒外力含電容四種情況進(jìn)行探究。具體分類見下表：

恒外力恒加速度恒功率恒外力含電容情境軌道水平光滑,桿cd質(zhì)量為m,電阻不計(jì),兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),拉力F恒定軌道水平光滑,桿cd質(zhì)量為m,電阻不計(jì),兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),桿運(yùn)動(dòng)加速度a恒定軌道水平光滑,桿cd質(zhì)量為m,電阻不計(jì),兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),拉力的功率P恒定軌道水平光滑,桿cd質(zhì)量為m,電阻不計(jì),兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),電容器的電容為C,拉力F恒定示意圖動(dòng)態(tài)分析開始時(shí)a=Fm,桿cd速度v↑?感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv↑?I↑?安培力F安=BIL↑,由F-F安=ma知a↓一直勻加速運(yùn)動(dòng)開始時(shí)a=Fm,桿cd速度v↑?感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv↑?I↑?安培力F安=BIL↑,由P/v-F安=ma知a↓a=Fm,桿cd速度v↑?E=BLv↑,經(jīng)過Δt速度為v+Δv,E'=BL(v+Δv),Δq=C(E'-E)=CBLΔv,I=ΔqΔt=CBLa,F安=CB2L2a,a=Fm+B2L2C,桿一直勻加速運(yùn)動(dòng)收尾狀態(tài)運(yùn)動(dòng)形式勻速直線運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)特征當(dāng)a=0時(shí),v最大,vm=FRB2L2電學(xué)特征I恒定無勻速直線運(yùn)動(dòng)當(dāng)a=0時(shí),v最大,vm=PRBLI恒定無速度時(shí)間圖象能量觀點(diǎn)F做的功一部分轉(zhuǎn)化為桿的動(dòng)能,一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能:WF=Q+12mv2mF做的功一部分轉(zhuǎn)化為桿的動(dòng)能,一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能:WF=Q+12mv2F做的功一部分轉(zhuǎn)化為桿的動(dòng)能,一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能:Pt=Q+12mv2mF做的功一部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,一部分轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能:WF=12mv2m+12CE2

【例1】如圖1甲所示，足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，金屬導(dǎo)軌寬度L=1.0 m，導(dǎo)軌上放有垂直導(dǎo)軌的金屬桿P，金屬桿質(zhì)量為m=0.1 kg，空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5 T、豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。連接在導(dǎo)軌左端的電阻R=3.0 Ω，金屬桿的電阻r=1.0 Ω，其余部分電阻不計(jì)。某時(shí)刻給金屬桿一個(gè)水平向右的恒力F，金屬桿P由靜止開始運(yùn)動(dòng)，圖乙是金屬桿P運(yùn)動(dòng)過程的v-t圖象，導(dǎo)軌與金屬桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。在金屬桿P運(yùn)動(dòng)的過程中，第一個(gè)2 s內(nèi)通過金屬桿P的電荷量與第二個(gè)2 s內(nèi)通過P的電荷量之比為3∶5。g取10 m/s2。求：

(1)水平恒力F的大??；

(2)前4 s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量。

圖1

【解析】(1)由圖乙可知金屬桿P先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，2 s后做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)t=2 s時(shí)，v=4 m/s，此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有F-F′-μmg=0

解得F=0.75 N。

設(shè)第一個(gè)2 s內(nèi)金屬桿P的位移為x1，第二個(gè)2 s內(nèi)P的位移為x2，則

ΔΦ1=BLx1，ΔΦ2=BLx2=BLvt

又由于q1∶q2=3∶5

聯(lián)立解得x2=8 m，x1=4.8 m

前4 s內(nèi)由能量守恒定律得

其中Qr∶QR=r∶R=1∶3，解得QR=1.8 J。

【例2】如圖2甲所示，一個(gè)足夠長(zhǎng)的“U”形金屬導(dǎo)軌NMPQ固定在水平面內(nèi)，MN、PQ兩導(dǎo)軌間的寬為L(zhǎng)=0.50 m。一根質(zhì)量為m=0.50 kg的均勻金屬導(dǎo)體棒ab靜止在導(dǎo)軌上且接觸良好，abMP恰好圍成一個(gè)正方形。該軌道平面處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可以調(diào)節(jié)的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。ab棒的電阻為R=0.10 Ω，其他各部分電阻均不計(jì)。開始時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=0.50T。

(1)若保持磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小不變，從t=0時(shí)刻開始，給ab棒施加一個(gè)水平向右的拉力，使它做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。此拉力F的大小隨時(shí)間t變化關(guān)系如圖2乙所示。求勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度及ab棒與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦力；

圖2

【解析】(1)當(dāng)t=0時(shí)，F(xiàn)1=3 N,F1-Ff=ma

(2)當(dāng)F安=Ff時(shí)，為導(dǎo)體棒剛滑動(dòng)的臨界條件，F(xiàn)安=BIL

【例3】如圖3，光滑金屬導(dǎo)軌a、b、c、d相互平行，固定在同一水平面內(nèi)，a、c間距離為L(zhǎng)1，b、d間距離為L(zhǎng)2，a與b間、c與d間分別用導(dǎo)線連接。導(dǎo)軌所在區(qū)域有方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。金屬桿MN在垂直于MN的水平外力F1(圖中未畫出)作用下保持靜止，且垂直于a和c；金屬桿GH質(zhì)量為m，在垂直于GH的水平恒力F2作用下從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過水平距離x后，F(xiàn)2對(duì)桿GH做功的功率就保持為P不再變化，運(yùn)動(dòng)過程中桿GH始終垂直于b和d。金屬桿MN接入電路的電阻為R，其余電阻不計(jì)，導(dǎo)軌b、d足夠長(zhǎng)。求：

(1)外力F1的最大值和恒力F2的大?。?/p>

(2)在GH桿經(jīng)過水平距離x的過程中，金屬桿MN上產(chǎn)生的熱量Q。

圖3

【例4】如圖4所示，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向下。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：

圖4

(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

(2)金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。

【解析】(1)設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv

平行板電容器兩極板的電壓為U，U=E

(2)設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為t，通過金屬棒的電流為i，金屬棒受到磁場(chǎng)的安培力為F，方向沿導(dǎo)軌向上，大小為F=BLi

分析導(dǎo)體棒的受力：受重力mg，支持力N，滑動(dòng)摩擦力f，沿斜面向上的安培力F，則

N=mgcosθ，mgsinθ-f-F=ma，f=μN(yùn)