合理選擇主元解決一類方程整數(shù)根的問題

☉江蘇省無錫市第一女子中學(xué)秦唯超

初中數(shù)學(xué)中方程整數(shù)根的問題，按常規(guī)解法往往需要考慮多個(gè)方面，計(jì)算量大，步驟繁多，讓大部分學(xué)生望而生畏.如果對(duì)這些司空見慣的常規(guī)解法進(jìn)行再思考，跳出定式思維，改變思考問題的角度，也許我們能夠收到意想不到的效果.

高中數(shù)學(xué)解題中“主元思想”的應(yīng)用是非常普遍的，但是，在初中數(shù)學(xué)解題中并不常見.其實(shí)，主元思想對(duì)初中生來說并不陌生.比如，當(dāng)一個(gè)方程中存在兩個(gè)字母時(shí)，我們常常規(guī)定這個(gè)方程是“關(guān)于x的”某個(gè)方程，而將另一個(gè)字母視作待定系數(shù)或常量，這就是一種“主元思想”.在解決含有多個(gè)字母（元）的數(shù)學(xué)問題的過程中，選擇其中一個(gè)字母作為研究的主要對(duì)象，即視其為主元，而將其余字母視作參數(shù)或常量，從而達(dá)到簡化過程的解題思想即為“主元思想”.

本文就幾個(gè)典型例題的分析和解題研究，簡單介紹一下如何合理選擇主元、運(yùn)用主元思想解決一類方程整數(shù)根問題.

例1關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求正整數(shù)k的值.

分析：原方程中含有x和k兩個(gè)字母，常規(guī)解法是將方程視作以x為主元的一元二次方程，利用根的判別式作為切入點(diǎn)解決問題.如果將k看作主元，則可以將方程降階為一元一次方程，或許能更快地解決問題.

解法1：由關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的根，得Δ=4-4（2k-4）＞0，則k＜.

又k為正整數(shù)，則k=1或2，

當(dāng)k=2時(shí)，原方程為x2+2x=0，則x1=0，x2=-2（符合題意）.

綜上所述，k=2.

解法2：將k看作主元.將原方程整理成以k為主元的方程，得2k+x2+2x-4=0，則k=為正整數(shù).

又x為整數(shù)，則（x+1）2=1.

則x+1=±1.

則x1=0，x2=-2（符合題意）.

則k=2.

點(diǎn)評(píng)：從例1可以看出，首先要確定主元，一旦選定主元，就明確了解題的主要方向.本題將k看作主元的這種換位思想，由于直接降階，解法比常規(guī)解法更簡潔.

例2已知方程x2+mx-m+1=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求m的值.

分析：將x視作主元，從一元二次方程根的判別式入手的常規(guī)解法，肯定是可以解決問題的，但是沒有明確m取哪一類數(shù)，所以需要進(jìn)一步判斷.而將m看作主元，得到的是含x的待定系數(shù)方程，要進(jìn)行分類討論.到底哪一種方法更好，實(shí)踐出真知.

解法1：由關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等根，得Δ=m2-4（-m+1）=m2+4m-4＞0.

方程有兩個(gè)正整數(shù)根，不妨設(shè)為x1、x2，則x1+x2=-m是正整數(shù)；則m2+4m-4是完全平方數(shù).

不妨令m2+4m-4=n（2n為正整數(shù)）.

則（m+2）2-8=n2.

則（m+2+n）（m+2-n）=8.

解法2：將m看作主元.

將原方程整理成以m為主元的方程，得（x-1）m+x2+1=0 （*）.

當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然不成立.

方程有兩個(gè)正整數(shù)根，不妨設(shè)為x1、x2，則x1+x2=-m是正整數(shù).

則m是負(fù)整數(shù).

則x-1=±2或±1.

則x=3、-1（舍）、2或0（舍）.

則m=-5.

點(diǎn)評(píng)：從例2可以看出，常規(guī)解法從考慮根的判別式入手，兼顧奇偶性，過程比較繁雜；而將m看作主元的方法，靈活、機(jī)敏地挖掘出了問題的本源，達(dá)到了“出奇制勝”的效果.

例3關(guān)于x的方程（a-1）x2+2x-a-1=0的根都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)a有____個(gè).

分析：不管是將x視作主元，還是將a視作主元，都是待定系數(shù)方程，必須進(jìn)行分類討論.將a視作主元的方程中，待定系數(shù)出現(xiàn)了二次，可能會(huì)給解題設(shè)置一定的障礙.

解法1：當(dāng)a=1時(shí)，x=1.

由方程的根都是整數(shù)，得1-a=±1或±2.

則a=0、2、-1或3.

綜上所述，a=1、0、2、-1或3，共有5個(gè).

解法2：當(dāng)a=1時(shí)，x=1.

當(dāng)a≠1時(shí)，將a看作主元.

將原方程整理成以a為主元的方程，得（x2-1）a-x2+2x-1=0 （*）.

①當(dāng)x=-1時(shí)，（*）顯然不成立.

②當(dāng)x=1時(shí)，（*）恒成立，是原方程的一個(gè)固定根.

由方程的根都是整數(shù)，a是整數(shù)，得x+1=±1或±2.則a=0、2、-1或3.

綜上所述，a=1、0、2、-1或3，共有5個(gè).

點(diǎn)評(píng)：從例3中可以看出，由于原方程有x=1這個(gè)固定根的存在，且Δ=4a2從形式上看就是一個(gè)簡潔的完全平方式，將x看作主元的常規(guī)解法顯得更為簡潔.所以，不必拘泥于以哪個(gè)字母作為主元，更有利于優(yōu)化解題，我們就選擇哪一個(gè).

例4關(guān)于x的方程ax2+2（a-3）x+（a-2）=0至少有一個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)a的值.

分析：不管將哪一個(gè)字母作為主元，都是待定系數(shù)方程，必須分類討論，并且，方程給出的條件是至少有一個(gè)整數(shù)根，所以以x為主元的常規(guī)解法必須針對(duì)這一條件進(jìn)行討論，可能比較復(fù)雜.而以a為主元的解法或許能柳暗花明又一村.

①當(dāng)x1為整數(shù)，b為正奇數(shù)時(shí)，3-b=±2-4.則b=1、5或7.

②當(dāng)x2為整數(shù)，b為正奇數(shù)時(shí)，3+b=4.

則b=1.

綜上所述，b=1、5或7.

則a=2、-4或-10.

當(dāng)a≠0時(shí)，將a看作主元.

將原方程整理成以a為主元的方程，得：（x2+2x+1）a+（-6x-2）=0 （*）.

①當(dāng)x=-1時(shí)，（*）顯然不成立.

由原方程至少有一個(gè)整數(shù)根，得x+1=±1、±2.

則a=2或-10或-4（經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)方程的整數(shù)根至少有一個(gè)時(shí)，以a為主元的解法有效避免了對(duì)根的討論，挖掘出了題目的特殊性，大大簡化了解題過程，達(dá)到了化繁為簡的目的.

主元思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它發(fā)源于“解決問題抓主要矛盾和矛盾的主要方面”這一哲學(xué)思想.通過實(shí)例我們可以看到，在含有兩個(gè)變量的方程問題中，跳出定式思維，合理選擇主元，運(yùn)用主元思想對(duì)方程進(jìn)行整理和變形，從兩個(gè)變?cè)羞x擇一個(gè)作為主元，讓解決問題的目標(biāo)和方向更明確、清晰，往往能夠達(dá)到“化繁為簡、直達(dá)目標(biāo)”的效果，優(yōu)化我們的解題過程.用主元法，在初中階段，不僅在解決方程整數(shù)根的問題中可以使用，其實(shí)還有許多用武之地，比如，分解因式、等式或不等式的證明、對(duì)稱式等問題中都能見到它的身影.總之，數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)，有序邏輯推理是根本，這取決于思維的起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，而主元思想正站在這樣一個(gè)點(diǎn)上.W