李亮，石鶴揚(yáng)，曾中林，胡世紅

?

基于非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的剛性條形基礎(chǔ)下伏孔洞承載特性變分分析

李亮，石鶴揚(yáng)，曾中林，胡世紅

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

基于非線性Mohr-Coulomb(MC)破壞準(zhǔn)則以及相關(guān)流動(dòng)法則，構(gòu)建剛性條形基礎(chǔ)下伏孔洞沖切破壞機(jī)制；結(jié)合變分原理，推導(dǎo)出剛性條形基礎(chǔ)下伏孔洞沖切破壞曲線的表達(dá)式，進(jìn)而得到?jīng)_切破壞時(shí)的極限承載力。分析剛性基礎(chǔ)隨巖土體參數(shù)變化時(shí)，沖切破壞極限承載力的變化情況和破壞模式。研究結(jié)果表明：非線性系數(shù)的大小對(duì)剛性基礎(chǔ)極限承載力的影響較為顯著。隨著非線性系數(shù)的增大，剛性基礎(chǔ)極限承載力不斷減??；極限承載力隨巖土體初始黏聚力0的增大而增大，隨巖土體重度以及抗拉強(qiáng)度的增大而減小。巖溶頂板沖切破壞寬度隨初始黏聚力0的增大、重度的減小以及抗拉強(qiáng)度的減小而增大。

沖切破壞；極限承載力；非線性MC準(zhǔn)則；極限分析上限定理；變分分析

我國(guó)幅員遼闊，巖溶地質(zhì)分布十分廣泛。工程上地勘資料的獲取可能存在一定的誤差，導(dǎo)致巖溶地區(qū)的工程選址不合適，特別是對(duì)橋梁樁基的選址尤為關(guān)鍵。在巖溶發(fā)育的地區(qū)建設(shè)重大工程，要求橋梁樁基的承載力很高，采取一般的填堵或強(qiáng)夯等簡(jiǎn)單方式往往只能消除淺層的土洞，而樁基抗壓承載力增幅不明顯。如果橋梁樁基下伏溶洞或存在軟弱下臥層，當(dāng)樁基承受較大的荷載時(shí)常發(fā)生破壞。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)巖溶區(qū)樁基的破壞做了很多研究，其中Wyllie[1]通過大量的荷載試驗(yàn)研究了上硬下軟的雙層地基的破壞模式，其結(jié)果表明，理論上當(dāng)巖石的最大主應(yīng)力大于其抗拉強(qiáng)度時(shí)卻沒有發(fā)生張拉破壞，由此說明巖層很少出現(xiàn)皺曲和彎曲破壞，而是以沖切破壞為主；張慧樂等[2]通過大量的巖溶區(qū)嵌巖樁的破壞試驗(yàn)，認(rèn)為當(dāng)巖溶頂板較薄且樁端巖層較完整時(shí)，頂板破壞以沖切破壞為主。趙明華 等[3?4]也認(rèn)為巖溶區(qū)樁端巖溶頂板易發(fā)生沖切破壞，并基于Griffith巖石非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則研究了樁端巖溶頂板的沖切破壞模式，提出了沖切破壞模式下巖溶頂板安全厚度的計(jì)算方法。目前國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)巖溶區(qū)樁基抗沖切破壞模式的研究大都參照研究較成熟的鋼筋混凝土板、屋梁樓蓋以及樁基承臺(tái)等在局部荷載作用下的破壞模式，并假設(shè)破壞分離面上的剪應(yīng)力和法向應(yīng)力均勻分布，且把這2種應(yīng)力的作用分開考慮[3?5]。該方法往往帶有很強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)性，不能正確反映樁端巖層在樁端均布荷載作用下的真實(shí)受力狀態(tài)。理論及試驗(yàn)研究表明，板在局部荷載作用下沖切破壞時(shí)，其破壞面上同時(shí)存在切應(yīng)力和正應(yīng)力，且其分布規(guī)律與破壞面裂縫的寬度和深度有關(guān)[6]。針對(duì)目前樁基沖切破壞模式研究中存在的不足，本文根據(jù)極限分析上限定理以及相關(guān)流動(dòng)法則，并基于非線性Mohr-Coulomb(MC)強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則，結(jié)合變分法的歐拉方程及其邊界條件，對(duì)樁端巖溶頂板沖切破壞模式進(jìn)行分析，并理論求解了樁端巖層沖切破壞的極限承載力及其破壞模式。本文從理論上推導(dǎo)得到了巖溶頂板的極限承載力，相比前人研究所得的沖切破壞最小安全厚度的確定方法，具有較強(qiáng)的理論與實(shí)踐意義。

1 基本理論

1.1 極限分析上限定理

極限分析上限定理認(rèn)為：在任意一個(gè)假設(shè)的滿足速度邊界條件和應(yīng)變和速度相容條件的機(jī)動(dòng)許可的速度場(chǎng)中，由虛功率方程

1.2 非線性Mohr-Coulomb(MC)強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則

根據(jù)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，當(dāng)巖土類材料發(fā)生破壞時(shí)，其破壞面上正應(yīng)力與切應(yīng)力呈線性關(guān)系。然而前人通過大量的實(shí)驗(yàn)證明[7?9]，對(duì)于巖土類材料，莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線在莫爾平面內(nèi)是一條外凸曲線，如圖1所示。

圖1 非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則

顯然，破壞面上法向應(yīng)力與切向應(yīng)力之間呈非線性關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)[10?15]，非線性莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線，即非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，采用應(yīng)力形式可表示為：

其中：0為初始黏聚力(0≥0)；t為土體單軸抗拉強(qiáng)度(t≥0)，二者均可由試驗(yàn)確定。在莫爾平面n?內(nèi)，0表示強(qiáng)度包絡(luò)線與縱軸的截距，?t表示強(qiáng)度包絡(luò)線與橫軸的截距；是與巖土類材料性質(zhì)有關(guān)的無量綱系數(shù)，它表征了強(qiáng)度包絡(luò)線的彎曲程度，且≥1.0。當(dāng)=1.0時(shí)，強(qiáng)度包絡(luò)曲線退化為直線，非線性MC強(qiáng)度準(zhǔn)則退化為線性MC準(zhǔn)則。其表達(dá)式如下：

2 剛性條形基礎(chǔ)下伏孔洞沖切上限變分分析

2.1 水平條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切破壞模型

圖2 條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切破壞機(jī)制

2.2 水平條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切極限承載力

2.2.1 條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切能耗計(jì)算

將剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切破壞速度間斷面視為具有一定厚度的薄變形層，其上的剪應(yīng)力和正應(yīng)力n滿足非線性MC強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則，則根據(jù)式(1)，屈服函數(shù)可表示為：

在主應(yīng)力空間內(nèi)，令塑性勢(shì)函數(shù)面與強(qiáng)度屈服面重合，則根據(jù)相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，可得塑性勢(shì)函數(shù)為：

根據(jù)塑性位勢(shì)理論：

則將式(5)代入式(6)中可得分離薄層上的塑性應(yīng)變率為：

根據(jù)圖2中幾何運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可得：

沖切破壞體分離薄層上的塑性應(yīng)變率也可表示為：

將式(8)代入式(9)中可得：

為滿足變形的相容協(xié)調(diào)，式(7)和式(10)中的塑性正應(yīng)變率分量和剪應(yīng)變率分量應(yīng)分別相等，故可得分離薄層上的正應(yīng)力分量和剪應(yīng)力分量：

沖切破壞時(shí)內(nèi)部能耗僅發(fā)生在破壞分離面處，故薄變形層上單位體積的耗散功率為：

由于≥1.0，故有<0。由于條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切破壞是對(duì)稱破壞，沿破裂面曲線()在[0,]上積分，系統(tǒng)內(nèi)部的能量耗散功率為：

其中：為()在區(qū)間[,]上的曲線總長(zhǎng)度。

對(duì)于外力的功率，主要有破壞巖土體的重力功率，剛性基礎(chǔ)的極限承載力的功率以及下伏孔洞頂部的支護(hù)力功率。其中，巖土體重力的功率為：

條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切極限承載力u的功率為：

剛性基礎(chǔ)下伏孔洞洞頂支護(hù)力的功率為：

根據(jù)虛功率原理建立平衡方程，內(nèi)能耗散功率等于外力功率，則有：

將式(13)~(16)代入式(17)中可得條形剛性基礎(chǔ)性下伏孔洞沖切極限承載力u的表達(dá)式為：

式中：

根據(jù)極限分析上限定理，由式(18)所確定的條形剛性基礎(chǔ)下伏巖土體沖切極限承載力應(yīng)大于真實(shí)的極限承載力，因此在所有的上限解中應(yīng)尋求一個(gè)最小值，才能更接近真實(shí)解。極限承載力u的極值完全由式(19)所確定，顯然是一個(gè)泛函，基于變分原理可以將這一泛函的極值問題轉(zhuǎn)化為求解歐拉方程在滿足邊界條件下的定解問題。對(duì)應(yīng)的歐拉方程為：

根據(jù)歐拉方程，分別對(duì)()和()求偏導(dǎo)得：

將式(21)代入式(20)中并整理可得：

式(22)是一個(gè)簡(jiǎn)單冪函數(shù)，因此積分可得原 函數(shù)：

式中：1，2為積分常數(shù)，可由邊界條件確定。

將式(22)和式(23)代入式(18)中并整理可得沖切極限承載力為：

2.2.2 條形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞沖切極限承載力

由式(24)可知，沖切極限承載力的表達(dá)式中只有1，2和是未知的，故需要3個(gè)邊界條件求得。由圖2可得破壞瞬間沖切破壞體的位移邊界條 件為：

式中：為下伏孔洞沖切破壞半寬。僅由式(25)無法求得1，2和3個(gè)未知數(shù)，故引入應(yīng)力邊界條件。由于沖切破壞時(shí)沒有水平外力作用，且沖切破壞為對(duì)稱破壞，故根據(jù)剛性基礎(chǔ)端部微元體的平衡可知，水平剪應(yīng)力分量τ=0。其表達(dá)式為：

根據(jù)式(8)可得：

故有：

根據(jù)式(25)和式(28)可以求得1，2和的值，代入式(24)可得極限承載力u的數(shù)值。

2.3 參數(shù)與破壞模式分析

由式(24)可知，影響剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切極限承載力的因素眾多，且非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響尤為顯著，以下分析孔洞頂板沖切極限承載力隨單一參數(shù)的影響變化情況以及破壞模式的變化。取剛性基礎(chǔ)寬度2=1~3 m，巖土體抗拉強(qiáng)度t=30~70 kPa，巖土體初始黏聚力0=10~30 kPa，巖土體重度=14~22 kN/m3，頂板厚度=6~10 m，孔洞頂板支護(hù)力=80~120 kPa，分別繪制出極限承載力隨=1.0~3.0之間變化時(shí)的影響曲線及其破壞模式。如圖3~14。

圖3 Pu隨C0變化曲線

圖4 Pu隨d變化曲線

圖5 Pu隨γ變化曲線

圖6 Pu隨H變化曲線

綜合圖3~8可知，非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響較為顯著，在一定參數(shù)條件下，極限承載力隨的增大而減小，且減小的趨勢(shì)趨于平緩。同時(shí)由圖3，5和7可以看出極限承載力u隨巖土體初始黏聚力0增大、頂板支護(hù)力增大和巖土體重度減小而增大，結(jié)合極限承載力表達(dá)式(24)可知0和增大分別增加了破壞面內(nèi)能耗散功率和支護(hù)力功率，而減小減少了重力做功功率；由圖4可看出，極限承載力u隨剛性基礎(chǔ)寬度增大而減小，結(jié)合圖10知增大不會(huì)影響破壞模式形態(tài)，但破壞范圍內(nèi)重力做功功率增加；由圖6可看出，u隨頂板厚度增大而減小，結(jié)合圖12可知增大對(duì)破壞模式形態(tài)影響較小，但破壞范圍內(nèi)破壞面內(nèi)能耗散功率增加的量值小于重力做功功率增加的量值；由圖8可看出，u隨巖土體抗拉強(qiáng)度t增大而減小，結(jié)合圖14可知巖土體抗拉強(qiáng)度t增大使破壞范圍減小，且增大過程中破壞面內(nèi)能耗散功率和重力做功功率分別對(duì)極限承載力u起到了控制作用。

圖7 Pu隨q變化曲線

圖8 Pu隨σt變化曲線

圖9 C0變化條件下破壞模式對(duì)比圖

圖10 d變化條件下破壞模式對(duì)比圖

圖11 γ變化條件下破壞模式對(duì)比圖

圖12 H變化條件下破壞模式對(duì)比圖

圖13 q變化條件下破壞模式對(duì)比圖

圖14 σt變化條件下破壞模式對(duì)比圖

由圖9~14可知，巖溶頂板沖切破壞寬度隨巖土體初始黏聚力0的增大、剛性基礎(chǔ)寬度的增大、巖土體重度的減小、頂板厚度的增大以及巖土體抗拉強(qiáng)度t的減小而增大。由圖12可知，頂板厚度對(duì)破壞模式并無影響，只是由于厚度的增加，其破壞寬度在原有小厚度頂板的破壞寬度之上延伸，即將圖12中曲線的起點(diǎn)設(shè)置在同一點(diǎn)，則曲線會(huì)重合。由圖13可知，頂板支護(hù)力既不影響破壞模式，也不影響沖切破壞寬度，結(jié)合本文第3節(jié)變分分析過程可知這與本文所采用的破壞模式假定有關(guān)。

3 結(jié)論

1)根據(jù)非線性Mohr-Coulomb強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則以及相關(guān)流動(dòng)法則，構(gòu)造出條形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板受沖切破壞的機(jī)動(dòng)許可速度場(chǎng)；基于極限分析上限定理結(jié)合變分分析方法，推導(dǎo)獲得條形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切極限承載力表達(dá)式以及巖土體破壞曲線函數(shù)表達(dá)式。

2)非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響顯著，在一定參數(shù)條件下，極限承載力隨增大而減小，且減小趨勢(shì)趨于平緩。極限承載力隨巖土體初始黏聚力增大、頂板支護(hù)力增大而增大，隨剛性基礎(chǔ)寬度增大、巖土體重度增大以及頂板厚度增大而減小；隨巖土體抗拉強(qiáng)度增大，增大過程中破壞面內(nèi)能耗散功率和重力做功功率分別對(duì)極限承載力u起到了控制作用。

3)下伏孔洞頂板沖切破壞寬度隨巖土體初始黏聚力增大、剛性基礎(chǔ)寬度增大、巖土體重度減小、頂板厚度增大以及巖土體抗拉強(qiáng)度減小而增大。頂板厚度不影響破壞模式，只影響破壞寬度。頂板支護(hù)力不影響沖切破壞模式及破壞寬度。

[1] Wyllie D C. Foundations on rock[M]. London: Chapman and Hall, 1992.

[2] 張惠樂, 張智浩, 王述紅, 等. 巖溶區(qū)嵌巖樁的試驗(yàn)研究與分析[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 2013, 46(1): 92?103. ZHANG Huile, ZHANG Zhihao, WANG Shuhong, et al. Experimental study and analysis on rock-socketed pile in karst area[J]. China Civil Engineering Journal, 2013, 46(1): 92?103.

[3] 趙明華, 曹文貴, 何鵬祥, 等. 巖溶及采空區(qū)橋梁樁基樁端巖層安全厚度研究[J]. 巖土力學(xué), 2004, 24(1): 64?68. ZHAO Minghua, CAO Wengui, HE Pengxiang, et al. Study on safe thickness of rock mass at end of bridge foundation’s pile in karst and worked-out mine area[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 24(1): 64?68.

[4] 趙明華, 張銳, 胡柏學(xué), 等. 巖溶區(qū)樁端下伏溶洞頂板穩(wěn)定性分析研究[J]. 公路交通科技, 2009, 26(9): 13?16, 31. ZHAO Minghua, ZHANG Rui, HU Boxue, et al. Analysis of stability of cave roof under pile tip in karst area[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2009, 26(9): 13?16, 31.

[5] 趙明華, 陳昌富, 曹文貴, 等. 嵌巖樁樁端巖層抗沖切安全厚度研究[J]. 湘潭礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 18(4): 41?45. ZHAO Minghua, CHEN Changfu, CAO Wengui, et al. Analysis for the safe terrain thickness of punching-shear resistance at the end of rock-socketed piles[J]. Journal of Xiangtan Mining Institute, 2003, 18(4): 41?45.

[6] Walraven J C. Fundamental analysis of aggregate interlock[J]. ASCE, Journal of the Structural Division, 1981, 107(ST11): 2245?2270.

[7] Maksimovic M. Nonlinear failure envelope for soils[J]. Journal of Geotech Eng, ASCE, 1989; 115(4): 581?586.

[8] Baker R. Nonlinear Mohr envelopes based on triaxial data[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 2004, 130(5): 498?506.

[9] Hoek E, Bray J W. Rock slope engineering[M]. Institution of Mining and Metallurgy, London, 1974.

[10] ZHANG X J, CHEN W F. Stability analysis of slopes with general nonlinear failure criterion[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1987, 11(1): 33?50.

[11] Drescher A, Christopoulos C. Limit analysis slope stability with nonlinear yield condition[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1988, 12(3): 341?345.

[12] YANG X L, YIN J H. Slope stability analysis with nonlinear failure criterion[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE 2004, 130(3): 267?273.

[13] Collins I F, Gunn C I, Pender M J, et al. Slope stability analyses for materials with nonlinear failure envelope[J]. Int J Numer Anal Methods Geomech, 1988, 12(6): 533? 550.

[14] ZHAO L H, LI L, YANG F, et al. Upper bound analysis of slope stability with nonlinear failure criterion based on strength reduction technique[J]. Journal of Central South University of Technology, 2010, 17(4): 836?844.

[15] ZHAO Lianheng, YANG Feng, ZHANG Yingbin, et al. Effects of shear strength reduction strategies on safety factor of homogeneous slope based on a general nonlinear failure criterion[J]. Computers & Geotechnics, 2015, 63: 215?228.

(編輯 涂鵬)

Variational analysis of bearing characteristics of the cavity under the rigid strip foundation based on the nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion

LI Liang, SHI Heyang, ZENG Zhonglin, HU Shihong

(School of Civil Engineering, Central South University,Changsha 410075,China)

Based on the nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion and the associated flow rule, a punching sear failure mechanism of soil under the rigid foundation was constructed, the expression of punching failure curve was deduced according to the variation principle, and then the ultimate bearing capacity was obtained. The influence of ultimate bearing capacity of the rigid foundation and failure mode were analyzed with the soil parameters changing. The results show that the nonlinear parameterhas significant influence on the ultimate bearing capacity, and it will decrease constantly with the improvement of nonlinear parameter, the ultimate bearing capacity will increase with the improvement of the initial cohesive force0of soil, but will decrease with the improvement of the densityand tensile strengthtof soil. The failure width of karst roof will increase with the improvement of the initial cohesive force0of soil, but will decrease with the improvement of the densityand tensile strengthtof soil.

punching failure; ultimate bearing capacity; nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion; upper bound theorem of limit analysis; variation analysis

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2018.12.010

TU470

A

1672 ? 7029(2018)12 ? 3089 ? 08

2017?11?06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51478477)

李亮(1962?)，男，江蘇泰州人，教授，博士，從事道路與鐵道工程的研究；E?mail：liliang_csu@126.com