文/鶴山市第一中學(xué) 黃潔珍

在日常教學(xué)中，教師經(jīng)常能聽(tīng)到學(xué)生反映： “課聽(tīng)得懂，題不會(huì)做?！焙?jiǎn)單說(shuō)，這是沒(méi)有學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有學(xué)會(huì)類比，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比與歸納法一起被人們稱為發(fā)現(xiàn)真理的主要工具，數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)： “一般化、特殊化和類比是獲得發(fā)現(xiàn)的源泉?！?“你能否想出一個(gè)有相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題？你是否見(jiàn)過(guò)形式稍有不同的題目？你能論述這個(gè)題目嗎？”這就是告訴我們，在教學(xué)過(guò)中要教會(huì)學(xué)生善于用類比，從而提高解題能力。教學(xué)中可類比公式、結(jié)論、方法、功能、探究等，本文介紹其中幾種.

一、類比方法

例1.①類比函數(shù)y=kx+1中當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)任意的k，都有y=0，得直線y=k(x+1)+2中同理當(dāng)(x+1)=0時(shí)y=2，從而得直線y=k(x+1)+2恒過(guò)定點(diǎn)(-1，2)。同理，圓化x2+y2-4ax+20a=25為(x2+y2-25)+a(-4ax-2y+20)=0(a∈R)， 當(dāng)x2+y2-25=0 和-4ax-2y+20=0時(shí)x2+y2-4ax+20a=25圖像恒過(guò)定點(diǎn) (3，4)或 （5，0）。

②類比函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)當(dāng)x=0時(shí)， 對(duì)任意的a（a＞0，a≠1）， 都有y=1得y=a1-2x+2， 當(dāng) 1-2x=0時(shí)，y=a0+2=3得y=a1-2x+2圖像恒過(guò)定點(diǎn)

③類比函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)當(dāng)中x=1時(shí)，對(duì)任意的a(a＞0，a≠1)， 都有y=0得y=loga(2x+3)-1中當(dāng)2x+3=1，y=loga1-1=-1，從而函數(shù)y=loga(2x+3)-1圖像恒過(guò)定點(diǎn)(-1， -1)。

有參數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是研究曲線性質(zhì)的重要組成部分，它也是高中數(shù)學(xué)中一類重要的題型，通過(guò)類比方法我們可以把復(fù)雜的函數(shù)圖象變換難題轉(zhuǎn)化為易算的代數(shù)問(wèn)題，可以把抽象的曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易懂的問(wèn)題，可以把不同的問(wèn)題，歸納為相同或相似的問(wèn)題，現(xiàn)在高考越來(lái)越重視對(duì)學(xué)生運(yùn)用類比解決問(wèn)題能力的考查。

二、類比證明

例2.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)·f(x+2)=13滿足，若f(3)=2，求f(2013)。

解析： ∵f(x)·f(x+2)=13，

∴f(x+2)·f(x+4)=13。

得f(x+4)=f(x)， 函數(shù)f(x)是以 4為周期的周期函數(shù)。

所以f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=

以上證明中x+2代換x，從而化簡(jiǎn)為f(x+T)=f(x)形式，得周期T。

類比以上證明，可證下面函數(shù)的周期，①②④⑤中用想x＋a代換x就可證得周期為2a而③用 x＋b代換x可證得周期為a＋b，⑥⑦經(jīng)兩次代換證得周期為4a。

表1

周期證明就是根據(jù)給出已知條件等式的特點(diǎn)，將x+a看作一個(gè)變量，反復(fù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后得f(x+T)=f(x)的形式。學(xué)會(huì)類比代換來(lái)證明周期問(wèn)題，抽象函數(shù)就變得簡(jiǎn)明。

三、類比探究

例3.對(duì)于一切實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)， 若f(1)， 求f(2003)。

解法1：f(2003)=f(2012+1)=f(2012)+f(1)=f(2011)+f(1)+f(1)=f(2010)+3f(1)=…=2013f(1)=8×2013=16104。

解法2：根據(jù)抽象函數(shù)具有的性質(zhì)，設(shè)f(x)=kx(k≠0)，由f(1)=8得k=8。

f(x)＝8x， 所以f(2013)＝8×2013＝16104。

解法2解題思想耐人尋味，如果講完此法，把表1左邊列出，教師有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生探究和挖掘，學(xué)生類比探究得右邊的模型，對(duì)激發(fā)學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和理性精神均大有裨益，同時(shí)會(huì)得到一些有價(jià)值的結(jié)論和重要的解題思想，對(duì)提高學(xué)生的解題能力有很大的幫助.

總之，類比思想方法博大精深，能夠收到嚴(yán)格邏輯推理所不能達(dá)到的效果，它能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，改善思維品質(zhì)，它能揭示數(shù)學(xué)的秘密，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是最不可忽視的,盡管類比不一定完全可靠，但它的確是我們教學(xué)中不可缺的，從某種意義上講學(xué)生要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，先要學(xué)會(huì)類比，在類比中發(fā)現(xiàn).這就是所謂的插上類比翅膀，成就高效課堂。