非奇異H-矩陣的幾個(gè)判定條件*

李真好，余 敏，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

非奇異H矩陣是一類特殊矩陣，在計(jì)算數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和控制論等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.如何給出非奇異H-矩陣的簡(jiǎn)捷的判定條件，一直是研究的熱點(diǎn)[1-9].筆者擬改進(jìn)文獻(xiàn)[2]的主要結(jié)果，給出非奇異H矩陣的幾個(gè)新的判定條件.

1 相關(guān)定義和引理

定義1[2]設(shè)不可約矩陣A=(aij)∈Cn×n，滿足|aii|≥Λi(A),i∈N,且至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則稱A為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義2[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，滿足|aii|≥Λi(A),i∈N,且至少有1個(gè)不等式嚴(yán)格成立，以及對(duì)每一個(gè)等式成立的下標(biāo)i存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk,滿足|ajkjk|>Λjk(A)，則稱A為具有非零元素鏈的對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1[3]設(shè)A為不可約矩陣，X為正對(duì)角矩陣，若B=AX,則B也為不可約矩陣.

引理2[4]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若存在正對(duì)角矩陣X使得AX是非奇異H-矩陣，則A也是非奇異H-矩陣.

2 主要結(jié)果及其證明

設(shè)A=(aij)∈Cn×n，記

定理1設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若

(1)

(2)

則A為非奇異H-矩陣.

證明由假設(shè)，對(duì)于?i∈N1,有

(3)

對(duì)于?i∈N2,有

(4)

(5)

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X=diag(d1,d2,…,dn),記B=AX=(bij),其中

因?yàn)棣拧?∞,所以di≠+∞.下面只需證明B∈D即可.

(ⅲ)?i∈N3.由r的定義，有

則

綜上所述，|bii|>Λi(B),i∈N+,即B∈D,故A是非奇異H-矩陣.

定理2設(shè)不可約矩陣A=(aij)∈Cn×n，若

(6)

(7)

且(6)和(7)式中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則A是非奇異H-矩陣.

證明構(gòu)造正對(duì)角矩陣X=diag(d1,d2,…,dn),其中

設(shè)B=AX=(aij)∈Cn×n,則：

(ⅰ)對(duì)于?i∈N1,有

(ⅱ)對(duì)于?i∈N2,有

(ⅲ)對(duì)于?i∈N3,由r的定義，有

于是，

即|bii|≥Λi(B).由引理1和引理2可知A為非奇異H-矩陣.

定理3設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若(6)和(7)式中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立，且對(duì)每一個(gè)等式成立的i存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk,使得

或者，

則A是非奇異H-矩陣.

定理3的證明與定理2的類似，這里省略.

3 數(shù)值實(shí)例

由定理1可知，A滿足定理的條件，故A為非奇異H-矩陣.又

由文獻(xiàn)[2]中定理1可知，A不滿足定理的條件，故無(wú)法判定A為非奇異H-矩陣.

由例1可知，定理1是文獻(xiàn)[2]中的定理1的改進(jìn).