數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

卜凡敏 黃曉學(xué)

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，”[1]函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要作用，函數(shù)也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，本文通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，來(lái)闡述如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落實(shí)到基礎(chǔ)教育的主陣地——課堂教學(xué).

1 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

情境播放嫦娥一號(hào)月球探測(cè)衛(wèi)星成功發(fā)射的視頻（圖略）.

教師：衛(wèi)星在發(fā)射的過(guò)程中，我們關(guān)注的是衛(wèi)星與地面的距離隨時(shí)間的變化，其實(shí)早在十六世紀(jì)，物體運(yùn)動(dòng)的研究已成為自然科學(xué)的中心問(wèn)題，數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、思想家都強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的方法和思想來(lái)研究事物或現(xiàn)象的變化規(guī)律，今天我們就來(lái)探討如何用數(shù)學(xué)的眼光描述運(yùn)動(dòng)變化量之間的依賴關(guān)系. 設(shè)計(jì)意圖正如弗賴登塔爾所說(shuō)：數(shù)學(xué)化應(yīng)從“原始的現(xiàn)實(shí)開(kāi)始”，而非接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)，通過(guò)實(shí)際情境引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)探究的欲望，概括出蘊(yùn)涵于問(wèn)題中變量之間的依賴關(guān)系，從而初步抽象出所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象即函數(shù)概念.

1.2 喚醒經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生認(rèn)知沖突

問(wèn)題1 請(qǐng)同學(xué)們回憶初中函數(shù)概念是如何定義的？初中我們學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過(guò)程，通過(guò)回顧初中函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，激活學(xué)生原有知識(shí)，使“熟悉”的函數(shù)成為新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，推動(dòng)學(xué)生思維的參與.

問(wèn)題2 請(qǐng)同學(xué)們思考“y=0”是不是函數(shù)？并說(shuō)出判斷的理由，

學(xué)生1：“y=0“不是函數(shù)，因?yàn)閥與x沒(méi)有關(guān)系，y不隨x的變化而變化，所以它不是函數(shù)，

教師：我們能不能把“y=0”寫(xiě)成含有y和x的形式呢？

學(xué)生2：“y=0”可以改寫(xiě)成“y=O×x”的形式，對(duì)于x取任意值，y都等于0.

教師總結(jié)：無(wú)論x怎樣變化，y都是“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，這里的“應(yīng)”我們可以理解為“對(duì)應(yīng)”的意思，也就是說(shuō)對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值“0”和它對(duì)應(yīng)，今天，我們就從“對(duì)應(yīng)”這個(gè)新的視角來(lái)探究函數(shù)概念.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)設(shè)置有思考力度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引起學(xué)生的思維沖突，產(chǎn)生認(rèn)知失調(diào)，從而打開(kāi)思維的閘門(mén)，深入挖掘函數(shù)概念的本質(zhì)，在教師的引導(dǎo)下，“順理成章”地抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性與核心部分即“對(duì)應(yīng)”，使教學(xué)活動(dòng)的推進(jìn)與學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的發(fā)展產(chǎn)生“共振”.

1.3 師生交流，感悟?qū)?yīng)關(guān)系

用幾何畫(huà)板演示課本第15頁(yè)的3個(gè)問(wèn)題（人教A版高中必修1）.讓學(xué)生推斷“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，判斷變量之間是否是函數(shù)關(guān)系？并嘗試用集合語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖教師利用《幾何畫(huà)板》創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)與變化的問(wèn)題情境，學(xué)生直觀的感受到函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生初步建立對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識(shí)，并啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生用集合和對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力，在師生交流中，促進(jìn)學(xué)生思維參與，形成和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

1.4 自主探索，發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念本質(zhì)屬性

問(wèn)題3小組討論：分析、歸納以上3個(gè)實(shí)例，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么不同特點(diǎn)和相同點(diǎn)嗎？

學(xué)生3：不同點(diǎn)：三個(gè)實(shí)例的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，實(shí)例1用解析式來(lái)刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例2用圖象刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例3用圖表刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，相同點(diǎn)：都有兩個(gè)非空集合和一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教師補(bǔ)充：三個(gè)實(shí)例中都是數(shù)到數(shù)的對(duì)應(yīng)，所以函數(shù)有兩個(gè)非空數(shù)集，而且兩個(gè)非空數(shù)集間有一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，至于用什么方法（解析式、圖象、表格）建立對(duì)應(yīng)是完全不重要的.

教師追問(wèn)：y與x的這種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”與前面提到的“依賴關(guān)系”含義一致嗎？

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)概念的獲得是一系列弱抽象的過(guò)程，將初中數(shù)學(xué)教材中的“變量說(shuō)”進(jìn)一步抽象為高中數(shù)學(xué)教材中的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，把更加抽象的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”與現(xiàn)實(shí)情境中的事物、現(xiàn)象和抽象層次較低的“變量說(shuō)”聯(lián)系在一起，逐步“去情境化”，凸顯本質(zhì)屬性，最終脫離較低層次的“變量說(shuō)”的支持，發(fā)展為更為一般的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，讓學(xué)生意識(shí)到函數(shù)作為“依賴關(guān)系”的描述和作為“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的描述本質(zhì)是一致的，是從不同的側(cè)面來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的[2].

1.5 巧用類比，引入函數(shù)符號(hào)

問(wèn)題4初中我們學(xué)過(guò)很多運(yùn)算符號(hào)，你能回憶起哪些呢？

學(xué)生4：算術(shù)平方根符號(hào);絕對(duì)值符號(hào)Ⅱ正弦符號(hào)sin;余弦符號(hào)cos等.

教師板書(shū)：算術(shù)平方根符號(hào)√：b→√b;絕對(duì)值符號(hào)II：6一lbl;正弦符號(hào)sin：B→ sinB;余弦符號(hào)cos：B → cosB.

教師追問(wèn)：類比以前學(xué)過(guò)的運(yùn)算符號(hào)，我們是不是可以把3種“對(duì)應(yīng)”類型（解析式、圖象、表格）用一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)統(tǒng)一表示成對(duì)應(yīng)關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上引入對(duì)應(yīng)關(guān)系f并板書(shū)：f：x→y;A→ B.（f也可以用g，h等表示）.讓學(xué)生交流討論對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”的含義或作用的理解，并嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)更加直觀、簡(jiǎn)潔的表達(dá)數(shù)集A中變量x與數(shù)集B中變量y之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，

師生總結(jié)：對(duì)應(yīng)關(guān)系的含義，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是，對(duì)變量x施加一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系后得到變量y，對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x（在黑板上寫(xiě)下x），按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f（在黑板上寫(xiě)出“f”，并用括號(hào)將x括起來(lái)），得到數(shù)集B中唯一的y值（在黑板上已經(jīng)寫(xiě)下的“f （x）”前寫(xiě)出“y=”），從而寫(xiě)出等式y(tǒng)=f（x），也就是說(shuō)初中學(xué)習(xí)的y與f （x）本質(zhì)是一樣的，都表示自變量x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，在師生總結(jié)的基礎(chǔ)上教師給出課本上對(duì)函數(shù)概念的完整敘述.

教師追問(wèn)：那么你能不能準(zhǔn)確地判斷出問(wèn)題2中的“y=0”是不是函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖 如果不能準(zhǔn)確地把敘述性語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，則談不上數(shù)學(xué)的應(yīng)用和具備良好的數(shù)學(xué)思維能力，由運(yùn)算符號(hào)√、II、sin、cos類比引導(dǎo)學(xué)生得出對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)f，進(jìn)而給出“函數(shù)概念”的定義，使學(xué)生不但容易理解概念，而且學(xué)會(huì)如何將概念轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展.

1.6 借用比喻，深化對(duì)函數(shù)概念符號(hào)的理解

問(wèn)題5 符號(hào)f（x）最初是由克雷羅和歐拉在1734年前后引進(jìn)的，因其形象、直觀，一直沿用至今，而函數(shù)符號(hào)y=f（x）是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的，他用符號(hào)f （x）替換少，即x→f（x）=y，有人說(shuō)函數(shù)y=f（x），x∈A是個(gè)“產(chǎn)品加工廠”，談?wù)勀愕睦斫?，這里的f （x）是“f”和“x”的乘積嗎？

師生總結(jié)：“f”和“x”不是乘積關(guān)系，而表示x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，如f（x）= 3x2+1，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值是13.簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們分別把它寫(xiě)成f（2） =13.一般地，如果x=a時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的值是6，那么，就可以記為f（a）=b.

教師追問(wèn)：你能求出f（a+1）、f（a）+1分別是多少嗎？

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)的邏輯推理和運(yùn)算離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，如果不能理解和把握符號(hào)語(yǔ)言的語(yǔ)義和句法，就不可能進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算，借用“產(chǎn)品加工廠”讓學(xué)生形成感性認(rèn)知，然后再去偽存真，抽象出共同的本質(zhì)屬性，達(dá)到對(duì)函數(shù)抽象表達(dá)理性思維層次的認(rèn)知，形成對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)特征和定義本身的特點(diǎn)與含義的理解.

1.7 概念變式，深度剖析函數(shù)概念

問(wèn)題6 你認(rèn)為函數(shù)的定義中哪些是關(guān)鍵詞呢？

學(xué)生5：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教師總結(jié)：函數(shù)是一個(gè)整體，它必須具備：兩個(gè)集合（定義域和值域），一個(gè)對(duì)應(yīng)（從定義域到值域的單值對(duì)應(yīng)），因此我們稱這3部分為函數(shù)的三要素，它最完整的表示是y=f（x），x∈A，因?yàn)榫雍瘮?shù)核心地位的是對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以在不致混淆的情況下，可以簡(jiǎn)化寫(xiě)為f（x）或f.

師生活動(dòng)：讓學(xué)生分析找出前面三個(gè)例題中函數(shù)的三要素，并判斷表示炮彈飛行高度h與時(shí)間f的函數(shù)x=y²與一般函數(shù)h=130t - 5t²是否相等，討論如果兩個(gè)函數(shù)相同，那么它們應(yīng)該滿足什么條件，

設(shè)計(jì)意圖 給出了概念的定義并不意味著概念就形成了，教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的角度、不同層次和不同情形去審視概念，探究和感受概念內(nèi)涵的豐富性，讓學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求“變”的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

設(shè)計(jì)意圖 “數(shù)學(xué)是思維的體操”，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)最終是為了獲得數(shù)學(xué)思維過(guò)程訓(xùn)練以及更廣泛的運(yùn)用，從多角度、多層次、全方位地編制類型豐富的變式題目，學(xué)生經(jīng)歷艱苦的探索過(guò)程，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3]，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

問(wèn)題9課本第21頁(yè)的例5和例6（人教A版高中必修1）.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)例5和例6來(lái)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能夠解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

1.9 小結(jié)反思，提煉深化概念

問(wèn)題10 與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)定義相比較，從知識(shí)、能力、思想等方面談?wù)勀銓?duì)函數(shù)有什么新認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖 回顧獲得函數(shù)概念的整個(gè)艱苦歷程，發(fā)現(xiàn)這是對(duì)學(xué)生“學(xué)”的一種深化過(guò)程，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從總體上理解和掌握知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、歸納總結(jié)的能力.

1.10 課后思考，鞏固運(yùn)用概念

問(wèn)題11 我們?yōu)榭坍?huà)描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象而構(gòu)建了函數(shù)模型y=f（x）.請(qǐng)你在現(xiàn)實(shí)生活中找出至少3個(gè)存在函數(shù)關(guān)系的實(shí)例（其中包括用圖象法、列表法、解析法表示的函數(shù)），并指出它們的三要素.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，使得數(shù)學(xué)回歸于外部世界，詩(shī)人陸游有云，“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)描述、解釋實(shí)際問(wèn)題，不但可以學(xué)會(huì)在實(shí)際情境中根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，并理解函數(shù)圖象的作用，還可以體驗(yàn)成功解決問(wèn)題所帶來(lái)的成就感，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是中學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶，其實(shí)質(zhì)是反映變量之間依賴關(guān)系的抽象模型，函數(shù)概念作為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，在解決問(wèn)題和表達(dá)思想中發(fā)揮重要作用，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)往往存在很多困難，本文在核心素養(yǎng)背景下構(gòu)建了該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)教學(xué)反思凝煉出如下教學(xué)主張[4]：（1）教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向、為宗旨，函數(shù)概念教學(xué)的目標(biāo)是幫助學(xué)生理解基于對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義，獲得數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).（2）教學(xué)策略的設(shè)計(jì)要基于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)生學(xué)習(xí)的原有經(jīng)驗(yàn)，一方面，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟（哈爾莫斯），數(shù)學(xué)的本質(zhì)是解決問(wèn)題、描述和理解結(jié)構(gòu)與范型，為了揭示函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)方式，以“問(wèn)題來(lái)龍一問(wèn)題實(shí)質(zhì)一問(wèn)題去脈”為抓手設(shè)計(jì)教學(xué)流程，另一方面，新的學(xué)習(xí)科學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是原有經(jīng)驗(yàn)的遷移，為了保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂的連貫性，在情境設(shè)計(jì)時(shí)要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，并因材設(shè)計(jì)熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境，制造不同層次的認(rèn)知沖突.（3）教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)要通過(guò)分層問(wèn)題測(cè)驗(yàn)學(xué)生“四基四能”的獲得，促進(jìn)核心素養(yǎng)的達(dá)成，通過(guò)這樣的教學(xué)能讓學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[5].

參考文獻(xiàn)

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