“實(shí)數(shù)大小比較”有妙招

蔣根林

數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，數(shù)的概念范圍擴(kuò)大了，我們已步入實(shí)數(shù)的殿堂.在有理數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行數(shù)的大小比較，那么學(xué)習(xí)無理數(shù)以后，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如何進(jìn)行數(shù)的大小比較呢？下面結(jié)合具體例題給同學(xué)們總結(jié)歸納.

妙招1：數(shù)形結(jié)合法

【例1】比較大?。篬-2]，-2.

【解析】我們知道邊長為1的正方形對(duì)角線長為[2]，于是先在數(shù)軸上畫出表示[-2]的點(diǎn)，如圖：

由于表示-2的點(diǎn)在表示[-2]的點(diǎn)的左邊，所以-2<[-2].

【回顧】事實(shí)上，我們還可結(jié)合勾股定理，利用數(shù)軸來比較[-5]、[-7]等的大小.

妙招2：“回到概念”法

由于數(shù)學(xué)概念本身有“雙向性”：“正向”與“反向”，所以，在用概念時(shí)就有“正用”和“反用”兩種方法.

【例2】比較[-3]與[-2]的大小.

【解析】比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，可先比較它們的絕對(duì)值，絕對(duì)值大的反而小.由于[-3]=[3]，[-2]=[2]，3的算術(shù)平方根為[3]，2的算術(shù)平方根為[2]，因?yàn)?>2，所以[3]>[2]，故[-3]<[-2].

【回顧】我們借助平方根、立方根的意義，對(duì)它們的概念作出分析，從中悟出道理：一個(gè)較大的非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根較大；一個(gè)較大數(shù)的立方根較大.然后加以應(yīng)用，問題獲得解決.

【例3】比較大小：

（1）[140]與12；（2）[93]與2.5.

【解析】（1）因?yàn)閇140]是140的算術(shù)平方根，可反用平方根概念，所以（[140]）2=140.

又因?yàn)?22=144>140，所以[140]<12.

（2）因?yàn)閇93]是9的立方根，所以反用立方根概念，（[93]）3=9，

又因?yàn)椋?.5）3=15.625>9，所以[93]<2.5.

【回顧】這里主要是對(duì)平方根、立方根的概念逆向思考.一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根為：[±a]，反過來，（[±a]）2=a（a≥0）；一個(gè)數(shù)a的立方根為[a3]，反過來，（[a3]）3=a.上面的求解就是反用概念的“平方法”或“立方法”.

妙招3：估值法

【例4】比較大?。篬19]+2______[51].

【解析】由于4<[19]<5，所以6<[19]+2<7，又由于[51]>7，所以[19]+2<[51].

【回顧】對(duì)于能直接估計(jì)出大小的兩個(gè)平方根的大小比較時(shí)，我們應(yīng)該首先考慮用估值法比較兩個(gè)平方根的大小，因?yàn)檫@種大小比較的方法最直接.對(duì)于有些無理數(shù)，我們可以綜合平方根或立方根的知識(shí)，來一個(gè)兩頭“夾逼”，找出與這些無理數(shù)緊相鄰的兩個(gè)完全平方數(shù)，確定這個(gè)無理數(shù)所在的范圍，然后再與其他數(shù)比較大小.

妙招4：特值法

【例5】若0

【解析】因?yàn)?

【回顧】特值法對(duì)于處理“直接填寫答案”的題型（包括填空、選擇題型）很有效果.對(duì)于解答題或數(shù)學(xué)研究來說，特值法是“以退為進(jìn)”策略的具體化體現(xiàn)，通過賦值分析，往往能發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提示解答方向，是一種很有意義的求解策略.

（作者單位：江蘇省南京市科利華中學(xué)）