薛映紅

(河南省鄭州市《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》社有限公司 450000)

本文給出以下幾組關(guān)于數(shù)列“姊妹題”的具體解析過程，以切實(shí)幫助讀者提高分析、解決數(shù)列問題的實(shí)際能力，進(jìn)一步拓寬思維視野.

【第一組“姊妹題”】

例1 (1)已知知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( ).

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

(2)已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap·aq，且a3=-8，那么a10等于( ).

A.256 B.1024 C.-256 D.-1024

解析 (1)取p=n∈N*,q=1，則有an+1=an+a1?an+1-an=a1，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是a1，公差也是a1.又取p=q=1得a2=a1+a1，而a2=-6，∴a1=-3.從而a10=a1+9a1=10a1=-30，故選C.

評(píng)注 這兩問求解的關(guān)鍵都在于通過靈活地賦值，認(rèn)清數(shù)列{an}的特性，并加以充分運(yùn)用.

【第二組“姊妹題”】

評(píng)注 第(1)問求解的關(guān)鍵在于，綜合考慮根與系數(shù)的關(guān)系及等差數(shù)列的特性(當(dāng)正整數(shù)n+m=p+q時(shí)，對(duì)于等差數(shù)列{an}有an+am=ap+aq)，巧設(shè)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)二次方程的根；第(2)問求解的關(guān)鍵在于，綜合考慮根與系數(shù)的關(guān)系及等比數(shù)列的特性(當(dāng)正整數(shù)n+m=p+q時(shí)，對(duì)于等比數(shù)列{an}有an·am=ap·aq)，巧設(shè)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)二次方程的根.

【第三組“姊妹題”】

A.3nB.n2+2nC.3n2D.3n

(2)在等比數(shù)列{an}中，a1=2，前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列，則Sn等于( ).

A.2n+1-2 B.3n-1 C.2nD.3n-1

解析 (1)∵{an}是等差數(shù)列，∴an+1+an-1=2an(n≥2).

【第四組“姊妹題”】

故選A.

解析二 (簡(jiǎn)捷解法)(1)由于目標(biāo)是求比值，于是可設(shè)S3=1，則S6=3.∵易知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9構(gòu)成等差數(shù)列，∴1,2,S9-3,S12-S9構(gòu)成等差數(shù)列.

(2)由于目標(biāo)是求比值，于是可設(shè)S4=1，則S8=4.∵S4≠0，∴易知S4,S8-S4,S12-S8構(gòu)成等比數(shù)列，∴1,3,S12-S8構(gòu)成等比數(shù)列.

評(píng)注 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}(公差為d)的前n項(xiàng)和為Sn，則連續(xù)k項(xiàng)和，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也構(gòu)成等差數(shù)列(公差為k2d)；(2)設(shè)等比數(shù)列{an}(公比為q)的前n項(xiàng)和為Sn，若Sk≠0，則連續(xù)k項(xiàng)和，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也構(gòu)成等比數(shù)列(公比為qk).

【第五組“姊妹題”】

【第六組“姊妹題”】

例6 已知在數(shù)列{an}中，相鄰兩項(xiàng)an,an+1是方程x2+3nx+bn=0的兩個(gè)根，若a10=-17，求b51.

∵由(1)得an+1+an+2=-3(n+1)， (3)

∴由(3)-(1)得an+2-an=-3，∴易知數(shù)列a1,a3,a5,…,a2n-1和a2,a4,a6,…,a2n都是以-3為公差的等差數(shù)列.

又由(1)及a10=-17得a11=-30-a10=-13.

于是，a51=a11+(26-6)×(-3)=-13-60=-73，a52=a10+(26-5)×(-3)=-17-63=-80.故由(2)得所求b51=a51·a52=-73×(-80)=5840.

評(píng)注 這種解法的切入點(diǎn)是以“作差”的方式活用遞推式.在等差數(shù)列a1,a3,a5,…,a2n-1中，a51是第26項(xiàng)，a11是第6項(xiàng)；在等差數(shù)列a2,a4,a6,…,a2n中，a52是第26項(xiàng)，a10是第5項(xiàng).

評(píng)注 這種解法的切入點(diǎn)是通過適當(dāng)變形，產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之和為常數(shù).一般地，若an+an+1=t(t為常數(shù))，則數(shù)列{an}是以2為周期的周期數(shù)列，即所有奇數(shù)項(xiàng)相同，所有偶數(shù)項(xiàng)也相同.

例7 已知在數(shù)列{an}中，相鄰兩項(xiàng)an,an+1是方程x2+bnx+3n=0的兩個(gè)根，若a3=27，求b10.

∵由(2)得an+1·an+2=3n+1， (3)∴由(3)÷(2)得∴易知數(shù)列a2,a4,a6,…,a2n和a1,a3,a5,…,a2n-1都是以3為公比的等比數(shù)列.

于是，a10=a4·35-2=1×27=27，a11=a3·36-2=27×81=2187.故由(1)得所求b10=-(a10+a11)=-(27+2187)=-2214.

評(píng)注 這種解法的切入點(diǎn)是以“作商”的方式活用遞推式.在等比數(shù)列a2,a4,a6,…,a2n中，a10是第5項(xiàng)，a4是第2項(xiàng)；在等比數(shù)列a1,a3,a5,…,a2n-1中，a11是第6項(xiàng)，a3是第2項(xiàng).

于是，數(shù)列{cn}是以2為周期的周期數(shù)列.

故由(1)得所求b10=-(a10+a11)=-(27+2187)=-2214.

評(píng)注 這種解法的切入點(diǎn)是通過適當(dāng)變形，產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之積為非零常數(shù).一般地，若an·an+1=t(t為非零常數(shù))，則數(shù)列{an}是以2為周期的周期數(shù)列，即所有奇數(shù)項(xiàng)相同，所有偶數(shù)項(xiàng)也相同.

綜上，只要我們善于運(yùn)用“類比思想”去做進(jìn)一步的歸納、探究，那么我相信關(guān)注數(shù)列“姊妹題”， 一定會(huì)體驗(yàn)到其中的精彩“無極限”！