何東林，李煜彥

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Gorenstein范疇的一個(gè)推廣

*何東林，李煜彥

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅，隴南 742500)

主要介紹并研究強(qiáng)W-Gorenstein范疇SG(W)。進(jìn)而證明了是W-Gorenstein范疇中的對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng)是強(qiáng)W-Gorenstein范疇SG(W)中對(duì)象的直和因子。

強(qiáng)W-Gorenstein范疇；正交；Abel范疇；直和因子

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) A是Abel范疇。本文中的子范疇均指加法全子范疇，即關(guān)于同構(gòu)、有限直和及直和因子封閉的子范疇。Auslander 在文獻(xiàn)[1]中介紹了雙邊Nother環(huán)上有限生成模的G-維數(shù)。

先介紹幾個(gè)定義。

注：設(shè)R為有單位元的結(jié)合環(huán)。

[1]當(dāng)W= P(R)時(shí)，W-Gorenstein對(duì)象就是Gorenstein投射模。

[2]當(dāng)W= I(R)時(shí)，W-Gorenstein對(duì)象就是Gorenstein內(nèi)射模。

在上面定義的基礎(chǔ)上，受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā)，我們引入強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象的概念。

定義2 稱A中對(duì)象M是強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象，如果存在正合列

A中所有強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象組成的子范疇，記作SG(W) 。

注：[1] 當(dāng)W= P(R)時(shí)，強(qiáng) W-Gorenstein對(duì)象就是強(qiáng)Gorenstein投射模。

[2] 當(dāng)W= I(R)時(shí)，強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象就是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模。

[3] 強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象一定是W-Gorenstein對(duì)象。

2 主要結(jié)論

考慮如下交換圖

證明 設(shè)G(=1,2,…,)是強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象，則存在正合列

考慮如下交換圖

由命題2的證明過程及直和的性質(zhì)易得如下結(jié)論。

推論1如果W關(guān)于任意直和封閉，那么SG(W)也關(guān)于任意直和封閉。

引理1如果W自正交，那么G(W)關(guān)于擴(kuò)張及直和因子封閉。

證明 由文獻(xiàn)[5]中推論4.5和命題4.11易知。

下文中均假設(shè)W自正交。

考慮交換圖

和

下面給出強(qiáng)W-Gorenstein對(duì)象的若干等價(jià)刻畫。

正合；

和

正合。

和

由此定理，考慮到投射模的特殊性，易知如下結(jié)論。

[1] Auslander M, Bridger M. Stable Module Theory. Memoirs of the American Mathematical Society[J]. 1969,94:Providence, RI: American Mathematical Society.

[2] Enochs E E, Jenda O M G. Gorenstein injective and projective modules[J]. Math Z, 1995,220:3225-3237 .

[3] Holm H. Gorenstein homological dimension[J]. J Pure Appl Algebra, 2004,189:167-193.

[4] Bennis D, Mahdou N. Strongly Gorenstein projective, injective and flat modules[J].J. Pure Appl. Algebra, 2007,210: 437-445.

[5] Sather-Wagstaff S, Sharif T, White D. Stability of Gorenstein categories[J]. J London Math Soc., 2008,77: 481-502.

[6] Zhao G Q, Sun J X.-Gorenstein categories[J]. Turk J Math, 2016, 40: 365-375.

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[8] Anderson F W, Fuller K R. Rings and categories of modules [M].New York: Spring Verlag,1992.

[9] Yassemi S. Gorenstein dimensions.[J] Math. Scand. 1995, 77:161-174.

[10] 佟文廷. 同調(diào)代數(shù)引論[M].北京：高等教育出版社, 1996.

A GENERALIZATION OF GORENSTEIN CATEGORY

*HE Dong-lin, LI Yu-yan

(Department of Mathematics, Longnan Teachers College, Longnan, Gansu 742500, China)

We introduce and investigate the strongly W-Gorenstein category SG(W). Furthermore we prove thatis an object of the W-Gorenstein category G(W) if and only ifis a direct summand of strongly W-Gorenstein category SG(W).

strongly W-Gorenstein category; self orthogonal; ablian category; direct summand

1674-8085(2018)05-0017-05

O153

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.05.004

2018-06-01；

2018-08-04

甘肅省高等學(xué)校科研項(xiàng)目（2018A-269）

*何東林(1983-)，女，甘肅白銀人，講師，碩士，主要從事同調(diào)代數(shù)研究(E-mail: hdl7979085@163.com);

李煜彥(1983-)，男，甘肅西和人，講師，碩士，主要從事環(huán)模理論研究(E-mail:nwnulyy@126.com).