高宗浩

類比推理是由特殊到特殊的推理.利用類比推理可以推測未知，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，尋找解決問題的思路和方法.因此在解決某些問題時，若能合理地運用類比推理，可以幫助我們解決相關(guān)問題.下面結(jié)合例題介紹類比推理問題的類型及其解法.

1 類比定義

在解決一個新問題或陌生問題時，有時可以借助熟悉的定義所涉及的基本方法和基本思想求解，

分析 仔細(xì)分析實數(shù)集中的集合A的長度為|A|的意義，然后與實數(shù)的絕對值類比，發(fā)現(xiàn)可以借助實數(shù)的絕對值概念解決此題.要注意的是要先判斷集合是否是離散的點集，再按定義解決.另外，需要比較-α-l與α+2的大小關(guān)系.

評注 可以比較一下實數(shù)的絕對值與實數(shù)集合的長度之間的關(guān)系，類比它們的概念、性質(zhì)及解題方法的異同點，這樣有助于提高數(shù)學(xué)解題能力.

2類比性質(zhì)

就是由一些式子的性質(zhì)或圖形的性質(zhì)入手，比較兩個概念的性質(zhì)產(chǎn)生的類比推理類型.解題時要仔細(xì)分析題意，弄清兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，理出解題思路，使問題合理轉(zhuǎn)化，得到正確結(jié)果.

評注 橢圓與雙曲線有諸多相似之處，因此它們有類似的性質(zhì).橢圓與雙曲線都由a，b，c確定，但其意義不相同，比如在橢圓中a²=b²+c²，在雙曲線中a²+b²=c²，因此在探索“類似”性質(zhì)時，應(yīng)該考慮其不同之處，由“不同之處”適當(dāng)“修正”對應(yīng)的結(jié)果.

3類比方法

有一些處理問題的方法具有類比性，因此可以將解決某一個問題的方法類比應(yīng)用到另一個問題的解題過程中.解題時要注意兩個問題的內(nèi)在聯(lián)系，使相關(guān)“知識”得到正確遷移.

請你類比聯(lián)想，該平面結(jié)論可否推廣到空間中去，若能推廣請敘述推廣定理，并加以證明;若不能推廣，則加以說明.

分析 平面結(jié)論若能推廣到空間中去，最有可能的是在正四面體中.因此可能有以下命題成立：“正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為定值”.

評注 解題方法的類比，首先要弄清已給的解題方法中的步驟，數(shù)式轉(zhuǎn)化的方法及意義，然后應(yīng)用到解題中，但不能生搬硬套，以免造成錯誤.

4類比結(jié)構(gòu)

有些新問題或陌生問題的結(jié)構(gòu)及特征與某個熟悉問題類似，這時可在兩者之間進(jìn)行類比研究.

例4 請觀察平面勾股定理的條件和結(jié)論特征，然后研究能否將勾股定理推廣到空間中去.

分析 勾股定理的條件是一組垂直關(guān)系，而結(jié)論的結(jié)構(gòu)是“平方和”.因此推廣到空間的條件應(yīng)是三條射線兩兩垂直，即OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC（如圖5），考慮到分散元素相對集中，因此構(gòu)造一個三棱錐.從結(jié)論類比應(yīng)是棱錐各面面積的平方和的關(guān)系，猜想：S²_△OAB+S²_△OBC+S²_△OCA=S²_△ABC.

評注類比結(jié)構(gòu)要根據(jù)一定的規(guī)則，要弄清兩個研究對象之間的相似之處，然后根據(jù)類比的原則寫出相應(yīng)的結(jié)論.

解決敘述方式，表達(dá)形式甚至內(nèi)容極為相似的問題，往往需要綜合運用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)題目特征，挖掘隱含條件，通過合理轉(zhuǎn)化，尋找解題思路，確定解題方法.因此類比推理問題能促進(jìn)知識融會貫通，也能使數(shù)學(xué)能力全面提升.