利用“全等變換

饒建華

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，幾何變換或者圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。在解題中通過(guò)將圖形平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)等活動(dòng)，使圖形動(dòng)起來(lái)，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)，探究出解題思路，可能使很多幾何問(wèn)題一下子就豁然開(kāi)朗，使題目能夠順利求解。下面我們就來(lái)看看利用“全等變換——旋轉(zhuǎn)”探究解題思路幾個(gè)例子：

例1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE延長(zhǎng)線于F，連接CF。

（1）求證：AD⊥CF

（2）連接AF，試判斷△ACF形狀，并說(shuō)明理由

分析：本題的圖形較為復(fù)雜，存在的三角形較多，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定等知識(shí)。要能夠迅速找到解題思路關(guān)鍵是能從這個(gè)復(fù)雜的背景圖形中運(yùn)用“全等變換——旋轉(zhuǎn)”的思想觀察出△ACD經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可得到△CBF，從而證明△ACD≌△CBF，其余的問(wèn)題即可迎刃而解。（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG=90°，需證明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易證。（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無(wú)關(guān)系。根據(jù)（1）的推導(dǎo)，易證CF=AF，從而判斷其形狀。具體解答如下（1）：

（2）△ACF是等腰三角形；理由略。

近幾年來(lái)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常常成為期末考試的壓軸題之一。問(wèn)題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，有較強(qiáng)的綜合性。要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，較好的閱讀理解能力以及較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力。

例2.（2014-2015佛山市禪城區(qū)八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)查問(wèn)卷第25題）

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)，

（1）寫(xiě)出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系（不要求證明）；并計(jì)算OA的長(zhǎng)度；

（2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中保持AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的情況，設(shè)AN=BM=，請(qǐng)求出△OMN面積。

分析：本題以等腰三角的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為背景，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定等知識(shí)。本題的難點(diǎn)主要是第（2）問(wèn)，能夠迅速找到解題思路關(guān)鍵是運(yùn)用“全等變換——旋轉(zhuǎn)”的思想觀察出△BMO繞點(diǎn)O經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可得到△ANO，想到要證明△BMO≌△ANO，從而以靜制動(dòng)，順利解決此題。

具體解答如下：（1）OA=OB=OC，

（2）△OMN為等腰直角三角形，理由如下：

∵AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)，OA=

∴OA=OB=OC，∠AOB=90°∴∠CAO=∠BAO=∠B=∠C=45°

在△BMO與△ANO中

∵BM=AN∠MBO=∠NAOBO=AO∴△BMO≌△ANO∴ON=OM，∠NOA=∠MOB

∴∠MON=∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM=∠AOB=90°

∴△OMN為等腰直角三角形

（3）根據(jù)題意求出，即可求解出△OMN的面積。

例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），△AOB為等邊三角形，P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形△APQ。

（1）求動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ABQ的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大小；如改變，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）求P點(diǎn)的坐標(biāo)。是否存在點(diǎn)P，使得△OBQ是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2015-2016佛山市禪城區(qū)八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)查問(wèn)卷第25題）

本題的解題思路關(guān)鍵同樣是運(yùn)用“全等變換——旋轉(zhuǎn)”的思想觀察出△ABQ繞點(diǎn)A經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可得到△APO即可順利解決此題。

總之，在探索幾何解題的思路時(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換思想有助于學(xué)生增強(qiáng)解題能力，開(kāi)拓思路。從變換的角度來(lái)思考問(wèn)題，可能使很多幾何問(wèn)題一下子就豁然開(kāi)朗，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。

編輯 高 瓊