楊 揆，陳燕婷，高 飛，魯玉祥

(1.海軍裝備部駐西安地區(qū)軍事代表局，陜西 西安 710043；2.西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽 712099；3.陸軍西安軍事代表局駐咸陽地區(qū)軍事代表室，陜西 咸陽 712000)

產(chǎn)品可靠性是衡量產(chǎn)品質(zhì)量的重要技術(shù)指標(biāo)，是通過設(shè)計(jì)確立、生產(chǎn)保證、試驗(yàn)驗(yàn)證并在使用中顯現(xiàn)出來的產(chǎn)品的一種固有質(zhì)量屬性[1]?？煽啃灶A(yù)計(jì)是保障產(chǎn)品可靠性指標(biāo)是否能夠得以“設(shè)計(jì)確立”的重要工作環(huán)節(jié)。受不同研制階段信息量的限制，在早期研制階段一般僅進(jìn)行可靠性的可行性預(yù)計(jì)和初步預(yù)計(jì)，在研制后期因系統(tǒng)中各個(gè)組成單元的工作環(huán)境信息和應(yīng)力信息都已明確，具備了進(jìn)行可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)的條件。此外，GJB 813—1990也明確提出了在工程研制階段的中、后期應(yīng)對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)的要求?；鹋谧鳛橐粋€(gè)由大量機(jī)械單元組成的復(fù)雜系統(tǒng)，其可靠性水平直接影響著火炮的戰(zhàn)技指標(biāo)，因此，在火炮研制的中、后期階段，利用其組成單元的已知信息，對火炮系統(tǒng)進(jìn)行可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)是研制過程中不可或缺的工作內(nèi)容?？煽啃栽敿?xì)預(yù)計(jì)的結(jié)果的精度一般取決于兩個(gè)因素：其一是選用模型與實(shí)際情況的符合程度，其二是選用模型參數(shù)的準(zhǔn)確程度。在以往的火炮可靠性預(yù)計(jì)工作中，對模型參數(shù)的精準(zhǔn)度均給以了較高的重視，但是對選用模型與實(shí)際情況的符合程度則普遍關(guān)注不足，致使預(yù)計(jì)結(jié)果與實(shí)際情況產(chǎn)生一定偏差。因此，通過對火炮系統(tǒng)中機(jī)械單元的平均無故障間隔發(fā)數(shù)的等效當(dāng)量指數(shù)分布的轉(zhuǎn)換，可以提高火炮可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)的結(jié)果的精度。

1 火炮可靠性預(yù)計(jì)常用模型分析

火炮可靠性指標(biāo)中，平均無故障間隔發(fā)數(shù)(MTBF)是主要指標(biāo)之一。在對該指標(biāo)進(jìn)行預(yù)計(jì)工作中，常用如下模型：

(1)

上述可靠性預(yù)計(jì)模型中隱含著一個(gè)基本的假設(shè)條件，即火炮系統(tǒng)的各個(gè)組成單元均服從指數(shù)分布。電子類產(chǎn)品比較符合壽命服從指數(shù)分布的模型，而含有大量機(jī)械單元的火炮系統(tǒng)顯然與之有較大出入。應(yīng)用式(1)對火炮系統(tǒng)進(jìn)行可靠性的可行性預(yù)計(jì)和初步預(yù)計(jì)尚可接受。而在詳細(xì)預(yù)計(jì)過程中，因?yàn)榛鹋谙到y(tǒng)中的機(jī)械單元壽命一般不服從指數(shù)分布，而且火炮系統(tǒng)中機(jī)械單元數(shù)量占比也遠(yuǎn)未達(dá)到可忽略其分布類型的程度，因此，采用式(1)直接進(jìn)行火炮系統(tǒng)的可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)，將會給預(yù)計(jì)結(jié)果帶來較大偏差。

由于火炮系統(tǒng)的構(gòu)成復(fù)雜，其組成單元并不全部服從同一分布規(guī)律，從而給其可靠性預(yù)計(jì)工作帶來一定的困難，尤其是對MTBF這一指標(biāo)的預(yù)計(jì)，目前尚無簡單實(shí)用的模型可供直接使用，這也成為了對火炮系統(tǒng)可靠性預(yù)計(jì)時(shí)一般采用式(1)進(jìn)行的主要原因。式(1)是在假設(shè)系統(tǒng)的各個(gè)組成單元均服從指數(shù)分布，由式(2)系統(tǒng)的可靠度預(yù)計(jì)模型進(jìn)行積分轉(zhuǎn)化而來的。

(2)

式中,Rs(t)和Ri(t)分別為系統(tǒng)和第i單元工作至t時(shí)刻的可靠度。

從而可知，對火炮系統(tǒng)的平均無故障間隔發(fā)數(shù)的預(yù)計(jì)，其實(shí)質(zhì)就是火炮系統(tǒng)在某時(shí)刻為了滿足可靠度Rs而進(jìn)行的可靠性指標(biāo)的預(yù)計(jì)。如果將式(1)中各單元的平均無故障間隔發(fā)數(shù)看作是各個(gè)單元的等效當(dāng)量指數(shù)分布情況下的可靠性指標(biāo)，則按該模型進(jìn)行可靠性預(yù)計(jì)就變得可以接受了。余下需解決的問題就是如何按實(shí)際情況將單元的可靠性指標(biāo)進(jìn)行等效當(dāng)量指數(shù)分布的轉(zhuǎn)換。

2 MTBF等效當(dāng)量指數(shù)分布的轉(zhuǎn)換

系統(tǒng)的可靠性是由其組成單元的可靠性及其單元間的可靠性邏輯關(guān)系決定的。一般情況下，在需要進(jìn)行可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)時(shí)，即研制工作已經(jīng)進(jìn)入了中后期，此時(shí)，系統(tǒng)組成單元的可靠性邏輯關(guān)系已經(jīng)確定，影響系統(tǒng)可靠性的因素就僅有各個(gè)組成單元的可靠性了。為保證系統(tǒng)工作至某時(shí)刻的可靠度，系統(tǒng)各組成單元工作至該時(shí)刻的累積失效概率均不應(yīng)高于其分配指標(biāo)，無論其符合或假設(shè)其符合何種分布形式。因此，機(jī)械單元平均無故障間隔發(fā)數(shù)等效當(dāng)量指數(shù)分布的轉(zhuǎn)換應(yīng)遵循的原則即是：符合非指數(shù)分布的機(jī)械單元工作至某時(shí)刻時(shí)，其累積失效概率與按其服從指數(shù)分布的假設(shè)下的數(shù)值相等。文獻(xiàn)[2]從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度給出了其等效當(dāng)量指數(shù)轉(zhuǎn)換的方法與公式：若某隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)，二階矩E(X2)存在且有限，如果存在一個(gè)隨機(jī)變量Y，其服從指數(shù)分布，將其記為Y～E(λ)，其分布函數(shù)為：

(3)

其參數(shù)λ可由FX(x)唯一確定，并對給定的概率F，有：

FY(xF,λ)=FX(xF)=F

(4)

式中,xF為概率F的分布函數(shù)FX(x)和FY(y,λ)的分位數(shù)，則隨機(jī)變量Y即為隨機(jī)變量X在概率F下的等效當(dāng)量指數(shù)變量。其參數(shù)λ可由下式確定：

(5)

一般情況下，機(jī)械單元可用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布來描述其故障時(shí)間分布模型。正態(tài)分布可用于分析因機(jī)械磨損、老化、腐蝕而發(fā)生故障的產(chǎn)品；對數(shù)正態(tài)分布可用于因機(jī)械構(gòu)件的疲勞累計(jì)損傷而發(fā)生故障的產(chǎn)品；威布爾分布可用于機(jī)電件，如陀螺、電動機(jī)、發(fā)電機(jī)、蓄電池、液壓泵等[3-4]。

對某機(jī)械單元，設(shè)其正常工作時(shí)間隨機(jī)變量為t，其均值為μt，方差為δt。在研制過程中，雖然有時(shí)難以確定其δt的真值，但根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)及對單元的分析，確定其變異系數(shù)Ct=δt/μt的概略值，在一般情況下是不難做到的，設(shè)其值為Ct0。

2.1 正態(tài)分布

對服從正態(tài)分布的單元，其在工作至等效當(dāng)量指數(shù)分布下的MTBF*為：

MTBF*=(1+0.335Ct0)μt=kμt

(6)

則k=1+0.335Ct0即為服從正態(tài)分布機(jī)械單元的等效當(dāng)量指數(shù)分布的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

2.2 對數(shù)正態(tài)分布

對服從對數(shù)正態(tài)分布的單元，即t服從對數(shù)正態(tài)分布，則x=lnt服從正態(tài)分布，即：

(7)

對服從對數(shù)正態(tài)分布的單元，其在工作至等效當(dāng)量指數(shù)分布下的MTBF*為：

1-e-1=0.632 1

(8)

由式(8)可得：

MTBF*=klnμt

(9)

其中

(10)

由式(9)知，kln即為服從對數(shù)正態(tài)分布機(jī)械單元的等效當(dāng)量指數(shù)分布的轉(zhuǎn)換系數(shù)。其值可由式(10)計(jì)算，在0≤Ct0≤0.63的范圍內(nèi)(實(shí)際取值不會超出這一范圍)，kln>1且單調(diào)遞增。

由k及kln的計(jì)算公式可知，其值均大于1，且在Ct0的實(shí)際取值范圍內(nèi)單調(diào)遞增。這是由于服從指數(shù)分布的單元在其工作至平均無故障間隔發(fā)數(shù)時(shí)的可靠度,均低于服從正態(tài)分布或指數(shù)正態(tài)分布的單元工作至其平均無故障間隔發(fā)數(shù)時(shí)的可靠度所致，與實(shí)際情況吻合。因其值在Ct0的實(shí)際取值范圍內(nèi)單調(diào)遞增，故而在實(shí)際利用k及kln進(jìn)行機(jī)械單元可靠性指標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確確定其變異系數(shù)。在不能獲取其準(zhǔn)確值時(shí)，應(yīng)以保守的方式進(jìn)行指標(biāo)的轉(zhuǎn)換。

2.3 威布爾分布

對服從威布爾分布的單元，其概率密度函數(shù)為：

(11)

式中：t0為位置參數(shù)；η為尺度參數(shù)；m為形狀參數(shù)。

對服從威布爾分布的單元，其在工作至等效當(dāng)量指數(shù)分布下的MTBF*時(shí)

1-e-1

(12)

由(12)式可得：

MTBF*=η+t0

(13)

由(13)式可知，對服從威布爾分布的單元，其等效當(dāng)量指數(shù)分布的可靠性指標(biāo)僅與其位置參數(shù)和尺度參數(shù)有關(guān)，無需通過轉(zhuǎn)換系數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。由可靠性知識可知，服從威布爾分布的單元的平均壽命，對火炮而言即其平均無故障間隔發(fā)數(shù)為

(14)

其值與形狀參數(shù)m有關(guān)，當(dāng)m=1時(shí)，其即演化成為了指數(shù)分布，此時(shí)，MTBF=η+t0，與式(13)一致。形狀參數(shù)是威布爾分布中最為重要的參數(shù)，由威布爾分布的形狀曲線能夠看出，當(dāng)m=2～4左右時(shí)，它在形狀上接近正態(tài)分布[5]，此時(shí)假設(shè)其服從正態(tài)分布一般也能通過檢驗(yàn)。因此，認(rèn)定單元服從何種分布時(shí)應(yīng)仔細(xì)進(jìn)行。

3 結(jié)束語

根據(jù)單元的可靠性指標(biāo)進(jìn)行火炮系統(tǒng)的可靠性預(yù)計(jì)，以評價(jià)火炮系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)技指標(biāo)中規(guī)定的可靠性要求，是火炮研制工作中的重要工作內(nèi)容。由于火炮系統(tǒng)組成單元并不服從同一分布規(guī)律，以及采用常用模型進(jìn)行火炮平均無故障間隔發(fā)數(shù)可靠性預(yù)計(jì)時(shí)所隱含的基本假設(shè)，會給直接利用單元可靠性指標(biāo)進(jìn)行火炮系統(tǒng)的可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)時(shí)的預(yù)計(jì)結(jié)果帶來一定偏差。因此，在進(jìn)行火炮可靠性詳細(xì)預(yù)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)組成單元的具體情況，對單元可靠性指標(biāo)服從的分布規(guī)律進(jìn)行具體分析。筆者僅對火炮組成中服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的單元進(jìn)行了分析，對于服從其他分布類型的單元，可依等效轉(zhuǎn)換的原則，選擇合適的分布類型進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換。