于慶

[摘? 要] 本課例是將折紙藝術(shù)介入數(shù)學(xué)課堂的大膽嘗試，完美的白銀比例讓一張普通的A4紙具有神奇的特征和用處，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)原理. 兩張規(guī)則完整的正方形紙不粘、不剪，簡單的錯位嵌套后就能折成一個牢固完整的正方體造型. 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)特有的藝術(shù)魅力，對激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有積極的作用.

[關(guān)鍵詞] 白銀比例;白銀長方形;折紙;數(shù)學(xué)課堂

藝術(shù)與數(shù)學(xué)有著密不可分的聯(lián)系，藝術(shù)源于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)賦靈感于藝術(shù). 創(chuàng)新地向?qū)W生傳播數(shù)學(xué)所具有的藝術(shù)價值，能使今后在向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時取得較好的效果. 本課例是將折紙介入數(shù)學(xué)課堂的大膽嘗試，生活中常見的紙張體現(xiàn)了人們生活的智慧，能夠培養(yǎng)學(xué)生的生活創(chuàng)新意識.

從生活中常見的A4紙激趣導(dǎo)入

我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｓ玫募埦褪茿4紙，你知道它有什么奇妙的特征嗎？你知道它的長和寬分別是多少厘米嗎？它的長與寬的比例又是多少呢？或許你認(rèn)為它的長寬比應(yīng)該是黃金分割比，真的是這樣嗎？你可以在電腦中打開一個Word文檔，找到“頁面布局”的菜單欄，在“紙張大小”的下拉列表中選擇A4時，就會看到Word中A4紙的規(guī)格是21 cm×29.6 cm，A4紙長與寬的數(shù)值為什么不按習(xí)慣取整數(shù)而是小數(shù)呢？原來A4紙是由國際標(biāo)準(zhǔn)化組織的ISO 216定義的，規(guī)格為21 cm×29.7 cm，世界上多數(shù)國家所使用的紙張尺寸都是采用這一國際標(biāo)準(zhǔn). A4紙的長寬比為29.7÷21≈1.414，這顯然不是黃金比例（golden ratio），那這個與黃金比例1.618十分接近的比例是什么數(shù)呢？正是無理數(shù)的近似值.

A組紙張具有兩個特征：一是所有A0、A1、A2、A3…尺寸紙張的長寬比都同為，二是A0紙對裁可以得到2張A1紙，A1紙對裁可以得到2張A2紙，依此類推. 事實上，并不是任意一張紙對裁，都可以得到長寬比跟原來的紙相同的兩張紙，只有A組紙張?zhí)厥獾拈L寬比才能帶來這種特性，這兩個特色讓A組紙張非常好用，不但剪切方便，而且沒有浪費，應(yīng)用廣泛. 所以，人們將1.414稱為白銀比例（silver ratio）或白銀分割，并將具有白銀比例的長方形稱為白銀長方形，其命名和黃金比例類似.

如果說黃金分割比是西方人最鐘愛的比例，那么中國人對比例之美的追求就是白銀分割比. 我們常說的“沒有規(guī)矩不成方圓”這句話其實源自中國古人“天圓地方”的宇宙觀. 如圖1的“圓方方圓圖”，一個圓套方，和一個方套圓，你能發(fā)現(xiàn)其中暗藏著什么比例的玄機(jī)嗎？其實就是1∶，“圓方圖”中小正方形的邊長與其外接圓的直徑或?qū)蔷€的比是1∶，在這個外接圓外再畫一個大正方形就得到“方圓圖”，“圓方圖”中小正方形的邊長與“方圓圖”中大正方形的邊長比也是1∶，如此繼續(xù)畫正方形的外接圓和圓的外接正方形，反反復(fù)復(fù)運用圓方方圓圖就可以得到一個很精彩的正方形構(gòu)圖（如圖2）. 白銀比例也是當(dāng)代造型藝術(shù)中常用的比值，它比黃金比例更有“人文科技感”. 然而，從美學(xué)上說，，，也都最符合日常視覺的習(xí)慣，但還是白銀比例實際利用起來更方便.

課例從生活中常見的A4紙引入，讓學(xué)生領(lǐng)略其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用的價值.

嘗試用數(shù)學(xué)折紙的方法驗證

A4紙的長寬比例

要證明一張普通A4紙的長短邊之比為∶1，人們往往只能想到用直尺測量長與寬的長度并計算二者之比，這樣做不僅麻煩，而且還會受到測量長度和計算過程中的誤差影響. 除了通過測量計算的方法驗證A組紙的長寬比為以外，還有一種輕松快速又有效的方法——數(shù)學(xué)折紙. 首先，將 A4 紙（圖3）的短邊AB翻折，使其與長邊AD重合（圖4），展開后（圖5）由勾股定理可知折痕 AE=AB，用手按住點A運用旋轉(zhuǎn)折紙法，可使點D與點E重合（圖6），由此可直觀形象地得出AD=AE=AB，即長邊與短邊之比為∶1.

思考正方形紙與白銀長方形紙

的相互轉(zhuǎn)化問題

由一張白銀長方形紙可以很容易通過折紙剪裁的方法得到一張正方形紙，那么，反過來，如何將一張正方形紙通過折紙剪裁的方法得到一張白銀長方形紙呢？這就要找到正方形一條邊上的分點，其實也很容易，可以進(jìn)行如下操作. 首先，折出正方形ABCD的一條對角線AC，展開后（圖7）由勾股定理可知折痕 AC=AB，然后折出∠ACB的平分線CE（圖8），將正方形的一條邊BC折到對角線AC上與之重合，將點B落在AC上的位置記為點F（圖9），易知AC=CF，過此點折出正方形邊AD的平行線MN，則BC=DC=MC，沿線NN將紙裁開，裁開后得到的長方形紙MNBC就是白銀長方形紙.

兩張A4紙折成立體嵌套三棱

錐造型

折紙是用一張紙折成各種不同形狀的藝術(shù)活動. 一般來說，折紙作品必須完全由紙張折疊而成，在折紙的過程中不能使用剪刀或膠水，而在折紙的作品上也不需要多加任何色彩. 數(shù)學(xué)折紙活動是一種與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合的活動，其與普通折紙的主要區(qū)別在于：不特別關(guān)注作品的藝術(shù)性，而重在揭示或詮釋數(shù)學(xué)概念. 梁海聲在《白銀長方形：神奇的立體紙藝造型》一書中，用一張A4紙，不剪、不拼、不貼，通過簡單的幾次對折就折出了一個三棱錐. 首先將一張A4 紙長邊對折一次成為A5紙張尺寸，再將長邊對折一次成為A6紙張尺寸，這樣原A4紙的4個頂角都折到右上角了，在沒有紙張角的左上到右下正反折疊對角線，展開A4紙得到需要的 5 條折痕，圍攏A4紙的四個角到一點上，就得到一個三棱錐，三棱錐的表面就是一張完整的A4紙. 做兩個一樣的四面體，相互錯位嵌套起來，得到的雙層四面體盒子更加牢固. 但是嵌套的四面體盒子無法自行閉合，還是要借助膠水黏合才行，這是因為所有的紙張都在表面，不具備拼插的條件.

兩張正方形紙折成立體嵌套正

方體造型

受到這個雙層四面體盒子的啟發(fā)，筆者嘗試教會學(xué)生用兩張正方形紙做成一個雙層嵌套的正方體盒子. 首先將一張正方形紙連續(xù)對折兩次，這樣原正方形紙張的4個頂角都折到右上角了，在沒有紙張角的左上到右下正反折疊對角線，展開后將正方形紙的四個角都折到正方形的中心點上，得到面積為原來一半的小正方形，將小正方形的四條邊按照對邊分兩次向中心點對折，展開正方形紙得到需要的折痕（圖10）. 以中心的小正方形為底面，將四個角立起來，中間多余的部分向內(nèi)折，四個頂角圍攏到一點上，就得到了一個正方體. 做兩個一樣的正方體，相互錯位嵌套，并將中間多余的部分拼插起來，就得到一個牢固完整的雙層正方體盒子（圖11）.

這個正方體盒子不僅制作簡單，而且嵌套完美，能夠自行閉合. 兩張規(guī)則完整的正方形紙不粘、不剪，簡單的錯位嵌套后就能折成一個牢固完整的正方體造型，這個具有高度美感的立體構(gòu)成讓學(xué)生不禁感嘆數(shù)學(xué)折紙的神奇魅力，對激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有積極的作用.