季葉紅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)模型是對數(shù)學(xué)研究對象的特征、結(jié)構(gòu)、相關(guān)規(guī)律的高度概括，利用模型解析問題可以挖掘其中的隱含條件，快速構(gòu)建解題思路，提升解題效率. 初中數(shù)學(xué)中存在三個與中點相關(guān)的定理模型：“三線合一”模型、中位線定理模型和斜邊中線模型，文章對其加以解讀，結(jié)合實例探討應(yīng)用，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 中點;數(shù)學(xué)模型;中位線;三線合一

中點，即把一條線段平分為兩條等長線段的點，是幾何常見特殊點之一，在平面幾何中經(jīng)常出現(xiàn)一些與中點相關(guān)的問題，解析時若能靈活運用中點來添加輔助線構(gòu)造相應(yīng)的模型，往往可以達到良好的解題效果，下面對其中常用的幾個幾何中點模型加以探究.

關(guān)于中點模型的探究

1. “三線合一”模型

“三線合一”指的是等腰三角形中頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高相互重合為一條線，利用“三線合一”的性質(zhì)可以在已知一條線的情形下互推其他性質(zhì)，因此對于一些涉及等腰三角形底邊中點的問題，可以考慮結(jié)合“三線合一”性質(zhì)來構(gòu)建相應(yīng)的模型.

模型解讀：如圖1所示，點D是等腰三角形ABC底邊BC上的中點，此時可以連接AD，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)可得：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD.

例1如圖2所示，點P和點D是△ABC底邊BC上的點，已知AB=AC，BD=DC，連接PA，試證明：PA2=AB2-PB·PC.

[圖2]

證明：已知AB=AC，BD=DC，則△ABC是等腰三角形，點D是底邊BC上的中點，連接AD，如圖2所示，根據(jù)“三線合一”性質(zhì)可知AD⊥BC，則△ABD和△APD均為直角三角形. 在Rt△ABD中使用勾股定理可得：AB2=BD2+AD2，在Rt△APD中使用股定理可得：PA2=PD2+AD2，將上述兩式互減可得AB2-PA2=BD2+AD2-（PD2+AD2），即AB2-PA2=BD2-PD2=（BD-PD）（BD+PD）=PB（BD+PD），所以AB2-PA2=PB·PC，即PA2=AB2-PB·PC，得證.

評析? 上述題目要求證明關(guān)于線段長之間的關(guān)系，初中階段在幾何圖形中構(gòu)建線段長關(guān)系一般有兩種策略：一是在直角三角形中利用勾股定理，二是在相似三角形中利用相似三角形邊的比例性質(zhì). 而分析題干信息顯然可以得出等腰三角形和其底邊上的中點，因此可以借助中點來構(gòu)建“三線合一”模型，在模型中利用勾股定理來推理.

2. 中位線定理模型

中位線指的是三角形中任意兩邊中點的連線，利用其定理可推理出兩個關(guān)鍵條件：①中位線與三角形的第三邊相平行，②中位線是第三邊長的一半. 而上述推理條件可進一步推理三角形相似及線段長關(guān)系，因此對于平面幾何中出現(xiàn)多條邊的中點或中點位于平行線上的問題，可以考慮構(gòu)建中位線定理模型.

模型解讀：如圖3所示，點D和點E分別為三角形兩邊AB和AC的中點，連接DE后，根據(jù)中位線定理可得DE∥BC，DE=BC. 利用其中的兩線平行可進一步推理出△ADE與△ABC相似，根據(jù)三角形相似則可以獲得相關(guān)線段長的比例關(guān)系：===.

例2如圖4所示的四邊形ABCD中，AB=CD，點M和N分別為AD和BC邊上的中點，點P和Q分別為對角線BD和AC上的中點. 試證明：MN和PQ相互垂直且平分.

分析：MN和PQ分別是依托四點M，N，P和Q構(gòu)建的，因此可以四點為頂點構(gòu)建四邊形. 若MN和PQ相互垂直且平分，則可知該四邊形為菱形，因此可以將問題轉(zhuǎn)換為求證四邊形MNPQ為菱形，其中涉及眾多邊上的中點，可以考慮構(gòu)建中位線定理模型.

證明：連接MP，PN，NQ，QM，如圖5所示，已知點M和P分別為AD和BD邊上的中點，則MP為△ABD的中位線，所以MP∥AB且MP=AB，同理可得NQ∥AB且NQ=AB，則有MP∥NQ且MP=NQ，所以四邊形MPNQ為平行四邊形.

而點P和N分別為對角線BD和AC上的中點，則PN為△BCD的中位線，可知PN=CD，所以有PN=PM，所以平行四邊形MPNQ為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知MN和PQ相互垂直且平分，得證.

評析? 上述同樣是已知平面幾何中的中點，其特殊之處在于所給的中點個數(shù)較多，因此自然可以聯(lián)想到利用中點構(gòu)建中位線定理模型. 解析時由問題出發(fā)則可以將其轉(zhuǎn)化為求證四邊形為菱形，因此解題關(guān)鍵就是在中位線定理模型中分析兩線平行及線段相等，顯然與中位線的定理相吻合.

3. 斜邊中線模型

對于一般三角形而言，斜邊上的中線沒有任何特殊之處，但對于直角三角形則較例外，即直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，利用該特性可以構(gòu)建相應(yīng)的等腰三角形，獲得等邊和等角等關(guān)系. 因此在解析直角三角形問題時，若已知斜邊上的一點，則可以考慮構(gòu)建斜邊中線模型，利模型來解決兩類問題： ①證明等長線段或求解線段長，②構(gòu)建等角關(guān)系，實現(xiàn)等角代換.

模型解讀：如圖6所示，在△ABC中，∠C=90°，點D為斜邊AB上的中點，連接CD后可得出CD=AD=BD=AB，即△ADC和△DCB均為等腰三角形.

構(gòu)造直角三角形

斜邊上的中線]

例3? 如圖7所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，BD⊥AD，垂足為D，過點D作DE∥AC，與AB相交于點E. 若AB=5，試求DE的長度.

[圖7]

解析：由DE∥AC可知∠EDA=∠DAC，由AD是∠BAC的角平分線可知∠EAD=∠DAC，所以∠EDA=∠EAD，所以EA=ED，結(jié)合BD⊥AD可知點E是Rt△ABD斜邊AB上的中線，利用“直角三角形斜邊中線定理”可得BE=ED=EA=AB=，所以DE的長度為.

評析? 斜邊中線模型是依托直角三角形構(gòu)建的，因此在解析時需要首先確立直角三角形，上述雖然沒有直接點明點E是AB的中點，但通過等角轉(zhuǎn)化可以得出該結(jié)論. 需要注意的是直角三角形斜邊中線定理存在逆定理——若三角形一邊的中線等于這邊的一半，則該三角形為直角三角形，因此在解析時也可以利用逆定理構(gòu)建直角三角形模型. 同樣以上述問題為例，將其中的條件“BD⊥AD，垂足為點D”替換成“BE=ED”，試證明△ABD是以∠D為直角的直角三角形，其思路就為首先利用等角轉(zhuǎn)換獲得EA=ED，然后結(jié)合BE=ED構(gòu)建BE=ED=EA=AB的關(guān)系，則利用斜邊中線模型可以推理出∠ADB=90°.

關(guān)于中點模型的思考

上述所呈現(xiàn)的是利用線段中點構(gòu)建的三大幾何模型，通過對模型的解讀構(gòu)建了相應(yīng)的解題思路，顯然利用中點模型可以挖掘題目中的隱含條件，從而顯著提高解題效率，下面對中點模型進行深入的思考，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

1. 把握模型本質(zhì)，挖掘模型內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是基于對客觀事物的過程、現(xiàn)象所呈現(xiàn)的主要特征、關(guān)系的提取，用數(shù)學(xué)語言概括表述的一種結(jié)構(gòu)，是通過對數(shù)學(xué)原型形式化所得到的. 例如上述三大中點模型分別是對等腰三角形、三角形內(nèi)平行線和直角三角形相關(guān)邊長特征的總結(jié)概括. 而在學(xué)習(xí)和總結(jié)模型時需要深刻理解模型的內(nèi)涵，把握模型背后的本質(zhì)內(nèi)容. 實質(zhì)上任何模型的構(gòu)建均是依托相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理定義和相關(guān)性質(zhì)，如本文所探究的中點模型，分別涉及了“三線合一”定理、中位線定理、直角三角形中的斜邊中線定理，這些定理是模型構(gòu)建的基礎(chǔ)，也是核心所在. 因此在實際教學(xué)中需要教師結(jié)合具體的圖形理解對應(yīng)的幾何定理，然后提取圖形中的特征結(jié)構(gòu)來建立數(shù)學(xué)模型.

2. 深入解讀模型，構(gòu)建應(yīng)用思路

數(shù)學(xué)模型雖然是對問題原型的特征、關(guān)系的高度概括，但如果不能合理利用依然難以借助模型來構(gòu)建相應(yīng)的解題思路. 因此在學(xué)習(xí)模型時不僅需要理解定理背后的隱含知識，還需要對其中所涉及的知識內(nèi)容加以解讀，從而準確把握其中的知識關(guān)聯(lián)，掌握應(yīng)用模型分析問題、獲取關(guān)鍵條件的思路. 例如上述所呈現(xiàn)的中位線定理模型在使用時，需要采用“識別中點→把握中位線→提取平行及線段關(guān)系→建立相似三角形”的解題思路，同時還需要掌握利用定理模型進行條件反推的思路，實現(xiàn)模型的雙向利用，最大化發(fā)揮模型的價值.

3. 領(lǐng)悟模型思想，提升數(shù)學(xué)思維

學(xué)習(xí)模型不僅需要掌握模型背后的知識定理及解題思路，更為關(guān)鍵的一點是感受數(shù)學(xué)模型背后的數(shù)學(xué)思想，即構(gòu)造思想、模型思想和數(shù)形結(jié)合思想. 這些思想不僅是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的思想基礎(chǔ)，還是利用數(shù)學(xué)模型解析問題的核心所在，是構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想. 因此在教學(xué)數(shù)學(xué)模型時，需要教師適度滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生經(jīng)歷模型構(gòu)建的過程，逐步感知其中的思想方法，從思想上培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

總之，在初中數(shù)學(xué)中包含有眾多的數(shù)學(xué)模型，上述所呈現(xiàn)的中點模型只是其中的一類，在教學(xué)時需要使學(xué)生深刻領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵，掌握模型適用的范圍及對應(yīng)思路，逐步提升學(xué)生使用模型解題的靈活性，促進學(xué)生的思維發(fā)展.