構(gòu)造函數(shù)法在不等式中的應(yīng)用

盧岱

【摘要】不等式問(wèn)題的求解或證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，能夠培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維和多種技巧.本文立足于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探究，針對(duì)許多復(fù)雜的不等式問(wèn)題，構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)對(duì)新函數(shù)的單調(diào)性研究獲得問(wèn)題的解決方法，從而展示了構(gòu)造函數(shù)法在不等式中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】不等式;構(gòu)造函數(shù);單調(diào)性

一、引 言

不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).對(duì)于一些簡(jiǎn)單的不等式問(wèn)題，傳統(tǒng)的解題方法有比較法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、重要不等式法等.對(duì)于比較難或者抽象的不等式問(wèn)題，傳統(tǒng)方法具有局限性.但是，不等式靈活多變的求解及證明過(guò)程，也是有規(guī)律可循的.事實(shí)上，任何不等式都可以表示為

也就是說(shuō)，不等式問(wèn)題實(shí)際上就是一個(gè)求極值（最值）問(wèn)題.我們知道，極值問(wèn)題的求解可以依照以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：

1.求導(dǎo)數(shù)f′（x）.

2.研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性.

3.研究導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn).

4.求出最值點(diǎn).

因此，通過(guò)把不等式適當(dāng)變形，再構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過(guò)對(duì)其導(dǎo)數(shù)的研究，獲得函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、最值，常能使不等式問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷明了的解決方法.

利用構(gòu)造法解決不等式問(wèn)題的步驟一般為：（1）對(duì)不等式進(jìn)行合理變形，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)或多個(gè)函數(shù);（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;（3）得出不等式結(jié)論.其中，如何構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).本文總結(jié)了幾類構(gòu)造函數(shù)的方法，并通過(guò)實(shí)例得出了規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，具有較強(qiáng)的針對(duì)性和實(shí)效性.

二、不等式問(wèn)題中構(gòu)造函數(shù)的幾種方法

三、結(jié) 論

不等式問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，證明的方法多種多樣.針對(duì)不同的類型合理地構(gòu)造函數(shù)，將其導(dǎo)數(shù)作為一種研究工具，利用相關(guān)的理論，會(huì)將靈活多變的不等式問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單.

通過(guò)以上例題，我們體會(huì)到，不論采用哪種方法構(gòu)造函數(shù)，都需要在解題時(shí)細(xì)心觀察與分析，類比聯(lián)想與變形轉(zhuǎn)化，自主探究與自我反思，盡量使所構(gòu)造的函數(shù)容易求導(dǎo)、容易判斷函數(shù)的符號(hào).

【參考文獻(xiàn)】

[1]竺寶林.例談導(dǎo)數(shù)視角下“構(gòu)造函數(shù)證明不等式問(wèn)題”的解決策略[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（3）：45-48.

[2]賀建勛.例談構(gòu)造函數(shù)證明不等式[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（4）：36-38.

[3]常顯貞.構(gòu)造法在不等式證明中的應(yīng)用[J].教學(xué)與管理，1992（5）：34-35.

[4]藍(lán)云波.也談構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)解答不等式恒成立問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（5）：31-33.

[5]武增明.構(gòu)造函數(shù)證明不等式的數(shù)學(xué)思維途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（12）：21-22.