修風(fēng)光
(沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院,沈陽 110159)
在xoy平面上沿整數(shù)格點按一定步伐行走的路徑統(tǒng)稱為格路。Dyck路是格路的一種,由于在有序分拆、無序分拆、恒等式的組合證明、RNA第二結(jié)構(gòu)等研究中有廣泛的應(yīng)用,受到眾多研究者的重視,對各種有限制條件的格路計數(shù)一直是組合數(shù)學(xué)中一個熱門的研究課題。
本文在對Dyck路的研究過程中得到了如下一個跟Narayana數(shù)有關(guān)的新的恒等式:
接下來給出此恒等式的證明及推廣。
同時令D表示所有半長為n的Dyck路的集合,p(?)表示一個半長為n的Dyck路?中所含峰的個數(shù)。定義集合[1,n]和D的卷積[1,n]×D={(m,?):m∈[1,n],?∈D}。
又因為|S|=|Τ|+|Τc|,
進(jìn)而有
本文以Dyck路中特殊的點(如峰點或谷點)的坐標(biāo),運用數(shù)論知識,通過建立兩個集合之間的雙射,給出了與Narayana數(shù)有關(guān)的恒等式的組合證明及推廣。同時還得到了一些與 Narayana數(shù)有關(guān)的發(fā)生函數(shù)。