函數(shù)的奇偶性在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

王月娉

[摘???要]奇偶性是函數(shù)的一個很重要的性質(zhì).在解數(shù)學(xué)題時，如果能夠準(zhǔn)確運(yùn)用函數(shù)的奇偶性，很多問題都能迎刃而解.研究利用函數(shù)奇偶性解決問題的方法，對提高學(xué)生解題能力有很大的幫助.

[關(guān)鍵詞]函數(shù);奇偶性;運(yùn)用

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0019-02

奇偶性是函數(shù)的一個很重要的性質(zhì).利用函數(shù)的奇偶性解題的方法，課本沒有專門的介紹，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定的難度.學(xué)生雖然掌握了判斷函數(shù)奇偶性的方法，但是利用函數(shù)的奇偶性解題時仍會出現(xiàn)錯誤.因此有必要進(jìn)一步研究其性質(zhì)的運(yùn)用.

函數(shù)的奇偶性有很多重要的結(jié)論.比如：

（1）一個函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱;如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，那么它是非奇非偶函數(shù).

（2）若奇函數(shù)[f（x）]在[x=0]處有定義，則必有[f（0）=0]?.

（3）若函數(shù)[f（x）]是奇函數(shù)，則[f（x）max+f（x）min=0]?.

（4）奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于[y]軸對稱.反之也成立.

（5）奇函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.

下面通過具體實(shí)例來介紹函數(shù)的奇偶性在解題中的運(yùn)用.

【類型一】正確把握定義

函數(shù)具有奇偶性，它的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以在解題時一定要把握好這一知識點(diǎn).

[例1]已知[f（x）=ax2+bx]是定義在[[a-1?，2a]]上的偶函數(shù)，那么[a+b=]（）.

A.?[-13] B.?[13] C.?[12] D.?[-12]

解：?依題意可知，區(qū)間[[a-1?，2a]]是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，則[（a-1）+2a=0]，?所以[a=13]?.

又函數(shù)[f（x）]是偶函數(shù)，所以[f（-x）=f（x）]，即[ax2-bx=ax2+bx]對定義區(qū)間上的任意[x]恒成立，所以[b=0]，所以[a+b=13]?.

【類型二】求函數(shù)解析式

求函數(shù)的解析式的方法很多，如果涉及奇偶性，我們一定要抓住“對稱”這一特點(diǎn).

[例2]已知函數(shù)[f（x）]是定義在[R]上的奇函數(shù)，且當(dāng)[x>0]時，?[f（x）=x2-x]，則函數(shù)[f（x）]?的解析式是?????????????.

解：因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）]是定義在[R]上的奇函數(shù)，所以[f（0）=0].

當(dāng)[x<0]時，[-x>0]，

所以[f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x].

又[f（-x）=-f（x）]，所以[f（x）=-f（-x）=-x2-x].

綜上可得??[f（x）=x2-x?，?x>00??，???????x=0-x2-x，x<0]??.

【類型三】函數(shù)求值

求函數(shù)值題型，方法眾多.如果題目給出函數(shù)的奇偶性，那么我們就要充分利用它的性質(zhì)解題.這樣我們就可以避免復(fù)雜的運(yùn)算，達(dá)到快速解題的目的.

[例3]已知函數(shù)[f（x）]是定義在[R]上的奇函數(shù)，當(dāng)[x<0]時，[f（x）=2x3+x2]，則[f（2）=]?????????????????????.

解法一：由題設(shè)可知，對任意[x∈R]，有[f（-x）=]?[-f（x）]，即[f（x）=-f（-x）]，所以[f（2）=-f（-2）=12]?.

解法二：當(dāng)[x>0]時，[-x<0]，則[f（-x）=2（-x）3+]???[（-x）2=-2x3+x2].

又[f（-x）=-f（x）]，所以?[f（x）=-f（-x）=2x3-x2]，

即當(dāng)[x>0]時，?[f（x）=2x3-x2]，所以??[f（2）=12]?.

[例4]已知[y=f（x）]?是奇函數(shù)，當(dāng)[x<0]時，[f（x）=x2+ax]，且[f（3）=6]，則[a]的值為（）.

A.?[5]B.?[1]C.?[-1]D.?[-3]

解法一：因?yàn)閇y=f（x）]是奇函數(shù)，且[f（3）=6]，所以[f（-3）=-6]，則[9-3a=-6]，解得[a=5]，??選A?.

解法二：當(dāng)[x>0]時，[-x<0]，則[f（-x）=x2-ax]?，又?[f（-x）=-f（x）]，

所以[f（x）=-f（-x）=-x2+ax]，

即當(dāng)[x>0]時，?[f（x）=-x2+ax]，

由?[f（3）=6]得[-9+3a=6]，??解得[a=5]，??選A?.

【類型四】圖像的應(yīng)用

函數(shù)的圖像能夠直觀地體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).因此，解題時如果依據(jù)題設(shè)條件作出它的簡圖，借助圖像尋求解題思路，或者直接得到答案，能夠收到事半功倍的效果.

[例5]若定義在[R]上的奇函數(shù)[f（x）]在[（0?，?+∞）]上為增函數(shù)，且[f12=0].則滿足[f（x）>0]的[x]的集合為 ??????????????.

解：作出簡圖，如圖1所示依題意[f（0）=0]，?[f-12=0]，且

[f（x）]在[（-∞?，?0）]上也為增函數(shù)，

所以滿足[f（x）>0]的[x]的集合為

[x-1212]?.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)學(xué)是一個原則，無數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用.”這就意味著教師在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)的內(nèi)容、意義和方法，引導(dǎo)學(xué)生對于一個數(shù)學(xué)問題，要從多角度進(jìn)行分析，認(rèn)真探究，總結(jié)規(guī)律并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)論，這樣才能提高他們的解題能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）