反比例函數(shù)解析式求解方法

奚學(xué)

[摘???要]分析反比例函數(shù)解析式求解的基本方法，以幫助學(xué)生有效解決反比例函數(shù)解析式問題.

[關(guān)鍵詞]反比例;函數(shù);解析式

[中圖分類號(hào)]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]????A????????[文章編號(hào)]????1674-6058（2019）35-0022-02

反比例函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，在各類考試中頻繁出現(xiàn).那么求解有關(guān)反比例函數(shù)解析式的基本方法有哪些？本文加以總結(jié)，供大家參考.

一、利用反比例函數(shù)的定義

數(shù)學(xué)中的很多問題往往都是由定義引發(fā)的，因此求解反比例函數(shù)解析式，首選定義法.

[例1]若[y=（m+3）xm2-10]是反比例函數(shù)，求其函數(shù)解析式.

解析：由反比例函數(shù)的定義可知[m2-10=-1，m+3≠0，]解得m=3，所以此反比例函數(shù)的解析式為?y?=?[6x]?.

點(diǎn)評(píng)：形如[y=kx（k≠0）]形式的函數(shù)叫反比例函數(shù)，其中隱含著兩個(gè)條件：自變量的指數(shù)為[-1]，比例系數(shù)[k]不為零.

二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)在第一象限的增減性，決定了比例系數(shù)的正負(fù).

[例2]已知函數(shù)[y=（n+3）xn2+2n-9]是反比例函數(shù)，且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，求其函數(shù)解析式.

解析：由題意，得[n2+2n-9=-1，n+3>0，]?解得n=2.

∴此函數(shù)的解析式是[y=5x]??.

點(diǎn)評(píng)：解答本題容易忽視比例系數(shù)到底取正還是取負(fù)，從而出現(xiàn)兩解的錯(cuò)解.因此，解題時(shí)應(yīng)看清題目意思.

三、利用反比例函數(shù)的圖像

利用反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)，也可求出反比例函數(shù)的解析式.

[例3]如圖1，在△ABC中，AC?=?BC，AB⊥x軸，垂足為A，反比例函數(shù)[y=kx（x>0）]的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D.已知[AB=4，BC=52]?.

（1）若OA?=?4，求k的值;

（2）連接OC，若BD?=?BC，求OC的長.

解析：（1）如圖2，作[CE⊥AB]，垂足為E.

因?yàn)锳C?=?BC，AB?=?4，所以AE?=?BE?=?2.

在Rt△BCE中，[BC=52]，BE?=?2，所以[CE=522-22=32]?.

因?yàn)镺A?=?4，故C點(diǎn)的坐標(biāo)為[52?，2?].?因?yàn)辄c(diǎn)C在[y=kx]?的圖像上，?所以[k=52×2=5].

（2）如圖2，作[CF⊥x]軸，垂足為F，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），因?yàn)閇BD=BC=52]?，AB?=?4，所以[AD=32]，所以D，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[m，32?，m-32?，2]?.

因?yàn)辄c(diǎn)C，D都在[y=kx]的圖像上，所以[32m=2m-32]?[？m=6?].

因?yàn)镃點(diǎn)的坐標(biāo)為[92?，2]，所以[OF=92]?，CF?=?2.

在Rt△OFC中，[OC2=OF2+CF2]，故[OC=972]?.

點(diǎn)評(píng)：這類問題的關(guān)鍵是求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，往往需轉(zhuǎn)化為幾何問題解決，本題中利用了勾股定理.

四、利用待定系數(shù)法

待定系數(shù)法，是求函數(shù)解析式最常見的方法之一.對(duì)于反比例函數(shù)來說，待定的系數(shù)只有一個(gè)比例系數(shù)[k]，一般來說只需一個(gè)條件，就可算出[k]的值.

[例4]如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y?=?kx+b的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)[y=mx]的圖像交于C、D兩點(diǎn)，[DE⊥x]軸于點(diǎn)E.已知C點(diǎn)的坐標(biāo)是（6，-1），D（n，3）.

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;

（2）根據(jù)圖像直接回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？

解析：（1）把C（6，-1）代入[y=mx]，得m?=?6?×?（-1）=???-6，則反比例函數(shù)的解析式為[y=-6x]，?把y?=?3代入[y=-6x]，得x?=?-2?.∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3）.

將C（6，-1），D（-2，3）代入[y=kx+b]，得[6k+b=-1????，-2k+b=3?????，]?[？k=12?，b=2?，]則一次函數(shù)的解析式為[y=-12x+2].

（2）根據(jù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)[x<-2]或[0

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題.利用待定系數(shù)法求解析式，既體現(xiàn)了方程思想，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.此類問題的方程往往從已知的圖形中得到.

五、利用圖形的面積求解析式

反比例函數(shù)上的任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積是一個(gè)常數(shù)，即為比例系數(shù).這類問題往往設(shè)置在矩形或三角形的面積之中.

[例5]如圖4，反比例函數(shù)[y=kx（k≠0）]的圖像上有一點(diǎn)A，AB平行于x軸交y軸于點(diǎn)B，△ABO的面積是1，則反比例函數(shù)的解析式是（）？.？？？？？？

[A.?？y=12x]？？？？？？？？？？？??？？？[B.？?y=1x]？

[C.？?y=2x]？？？？？???????????？?[D.?？y=14x]

解析：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)[y=kx（k≠0）]的圖像上，

∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為[x，kx]?，∴AB=?x，[OB=kx?].

∵△ABO的面積是1，所以[12AB？OB=1]，

即[12？x？kx=1？k=2]?.∴反比例函數(shù)的解析式是[y=2x]?.故選C?.

六、利用實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系

[例6]李剛想用鐵棍撬起一塊大石頭，當(dāng)阻力和阻力臂一定時(shí)，它們分別為[1200?N]和[0.5?m].

（1）試求動(dòng)力[F]與動(dòng)力臂[l]之間的關(guān)系式[y=F（l）];試問當(dāng)[l=1.5?m]時(shí)，用多大力才能把大石頭撬起來？

（2）如果李剛想少用力，只想用（1）中的一半力，那么如何改變動(dòng)力臂？

解析：（1）根據(jù)物理中的?杠桿原理，知[F·l=1200×0.5]，于是[F=600l]?.當(dāng)[l=1.5?m]時(shí)，[F=6001.5=400]，所以要想撬起這塊大石頭，李剛至少要用[400?N]的力.

（2）如果李剛想少用力，只想用（1）中的一半力，也就是用[200??N]的力，則有[F？l=600]，[l=600F].當(dāng)[F=400×12=200]時(shí)，[l=600200=3]，[3-1.5=1.5（m）]?.

所以，李剛想省去一半的力，那么動(dòng)力臂至少要延長[1.5?m].

點(diǎn)評(píng)：物理公式其實(shí)就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，它可以演變成正比例函數(shù)和反比例函數(shù).這類跨學(xué)科的問題更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，備受命題者青睞，應(yīng)引起大家的注意.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）