王雅麗，虞莉娟，張華軍，張清勇，蘇義鑫

（武漢理工大學 自動化學院，武漢430070）

0 引 言

頻率估計是數(shù)字信號處理的重要內容，在通信、振動控制、地震監(jiān)測等方面有廣泛的應用［1-2］。在現(xiàn)代電力電子設備中，由于電網(wǎng)頻率和相位信息是功率開關管（IGBT、IGCT、GTO）開通和關斷的參考，一旦開通或關斷不準確可能導致設備中出現(xiàn)環(huán)流，環(huán)流過大則會影響多臺設備之間的并聯(lián)效果，嚴重時甚至會燒毀功率開關管［3-4］，因此電網(wǎng)電壓信號的實時在線頻率估計是十分必要的。由于自適應陷波器結構簡單，具有尖銳的阻帶截止特性，且能夠根據(jù)外部環(huán)境的變化自動調節(jié)陷波參數(shù)，因此被認為是一種良好的頻率估計濾波器［5］。常用的頻率估計方法主要有傅里葉變換法［6-8］、最小誤差平方法［9］、小波變換［10］、最小二乘法［11］等，此類方法計算量較大，對算法實現(xiàn)的硬件載體要求較高。因此，針對頻率動態(tài)變化的信號，可采用自適應陷波器以獲得準確的頻率信息［12］。同時為了估計信號中多個頻率信息，通常將多個單頻陷波系統(tǒng)級聯(lián)實現(xiàn)多頻率估計［13］，但該方法的結構和陷波器參數(shù)調整算法均較復雜，不易于工程實際中的應用。

本文針對電力系統(tǒng)頻率估計問題，提出一種二階自適應陷波器頻率估計方法，結合電網(wǎng)電壓信號基波和諧波的特性，以陷波器實時輸出平方值為陷波器參數(shù)優(yōu)化目標函數(shù)，根據(jù)隨機優(yōu)化理論推導了陷波器參數(shù)在線迭代算法。通過仿真研究和實驗測試，檢驗了所提出的頻率估計算法的響應速度和估計誤差。

1 二階陷波器原理

陷波器也叫帶阻濾波器，能保證在其它頻率成分不失真情況下，有效地濾除輸入信號中特定的頻率成分［14-17］。對于二階陷波器，應滿足其傳遞函數(shù)的零點在單位圓上，以使陷波深度無窮大，同時傳遞函數(shù)的零點與極點應匹配，以使除陷波頻率ω0外的其他頻率成分不受影響。因此，可在單位圓上角度為ω0處引入一對復共軛零點z1，2=e±jω0，且在零點徑向附近放置一對復共軛極點p1，2=re±jω0（ 0＜r＜1），以減小陷波帶寬，則二階陷波器的零極點位置配置原理如圖1所示。

圖1 零點和極點的位置Fig．1 Position of zeros and poles

可得二階陷波器傳遞函數(shù)：

又由于：

因此，二階陷波器傳遞函數(shù)可化為：

二階陷波器結構原理如圖2所示。

圖2 二階陷波器原理Fig．2 Principle of second-order notch filter

其中u（k）表示陷波器輸入信號，陷波器各級輸出信號分別用e1（k） 、e（k） 表示。

令a=-2cosw0，代入式（4）可得：

其中r稱為極半徑參數(shù)，且0＜r＜1，即極點在單位圓內，系統(tǒng)穩(wěn)定。二階陷波器的幅值特性如圖3所示，由于零點在單位圓上，所以傳遞函數(shù)在ω=ω0處的凹口深度為無窮深，幾乎可以完全濾除特定的頻率成分。

圖3 二階陷波器幅值特性Fig．3 Amplitude characteristics of second-order notch filter

此外，凹口的尖銳程度是由傳遞函數(shù)極點和零點的接近程度 1-r大小決定，即凹口帶寬BW=π (1-r) ，可由品質因數(shù)Q=f0／BW=2／ω0（1-r） 來表征。對于特定的頻率成分，極半徑參數(shù)r越大，則極點越靠近單位圓，頻率響應曲線凹陷越深，陷波器凹口帶寬越小，品質因數(shù)越大，陷波效果越好；反之，極半徑參數(shù)r越小，則極點離單位圓越遠，頻率響應曲線凹陷越淺，陷波器凹口帶寬變窄，品質因數(shù)越小，陷波效果也越差。當r=1時，陷波器成為只濾除頻率ω0的理想濾波器。圖4描繪了陷波頻率ω0=50 Hz時不同的極點半徑r造成的濾波器幅頻特性曲線。

圖4 不同r對應的陷波器幅頻特性曲線Fig．4 Amplitude-frequency characteristic curve of the notch filter corresponding to r

從圖4中還可以發(fā)現(xiàn)，陷波器的帶阻頻率與歸一化頻率w0之間不同，這種原因在于歸一化頻率需要根據(jù)不同的采樣頻率來計算實際的帶阻頻率。陷波器帶阻角頻率ωstop=ω0×fs，帶阻頻率fstop=ωstop／2π 。 此外，r越大，則對陷波頻率以外的其他信號的衰減越小，在實際應用中可以根據(jù)實際的濾波效果選擇合適的r。

通過以上分析可知，a為與陷波頻率ω0有關的陷波器參數(shù)，因此可通過調節(jié)參數(shù)a對信號頻率進行估計，即選取適當?shù)臉O半徑r，固定陷波帶寬，通過自適應調整陷波參數(shù)a，將諧波信號幾乎完全濾除，對基波信號頻率實現(xiàn)實時在線估計。

2 交流電壓自適應頻率估計

在電力系統(tǒng)中［18-19］，由于受到非線性負載的影響，穩(wěn)態(tài)的工頻供電電壓波形將偏離正弦波形而發(fā)生畸變，以若干個正弦波疊加的形式可將電網(wǎng)電壓信號表示為：

式中r（t）表示在電網(wǎng)電壓信號中占主要成分的基波信號；e（t）表示其他一些能量較小的信號，即諧波信號；且U1、φ1分別為基波電壓有效值和初相位，Un、φn分別為第n次諧波電壓有效值及初相位。

在用自適應陷波器對電網(wǎng)電壓基波信號的頻率進行估計時，其原理如圖5所示，可將含有n次諧波的電壓信號作為陷波器輸入信號，通過自適應算法對基波頻率的梯度搜索及陷波器的濾波作用，可達到基波信號r（k）與諧波信號e（k）分離的目的，進而對信號頻率進行估計。由于在最小均方誤差準則下，一旦陷波器沒有完全濾除基波信號，則陷波器輸出的諧波信號能量便會增加，對基波信號的頻率估計將不準確，因此應適當選取陷波器的有關參數(shù)，盡可能將諧波信號完全濾除，提高頻率估計的準確性。

圖5 自適應陷波器原理Fig．5 Principle ofadaptive notch filter

建立如下參數(shù)優(yōu)化目標函數(shù)：

式中e（k）是輸入信號u k()經過陷波器H z()后輸出的誤差信號，則目標函數(shù)梯度為：

又由陷波器傳遞函數(shù)可得：

則 de k()／da為：

因此目標函數(shù)梯度g k()為：

根據(jù)梯度搜索迭代公式，參數(shù)a的迭代公式為：

若令α=2μ，則：

式中α為迭代步長，也稱學習速率，且α＞0，影響系統(tǒng)的控制精度和響應速度。α越小，即學習速率越慢，輸出信號失調越小，但響應速度變慢；反之，α越大，即學習速率越快，會導致較快的響應速度，但輸出信號的失調也變大，可能導致算法無法收斂［20］。在工程應用中需根據(jù)實際情況折中考慮，做出最佳選擇。

3 仿真研究

為了對所提出的頻率估計方法展開更進一步的分析、驗證，首先在基波頻率固定的情況下對電壓信號進行跟蹤實驗研究。以電網(wǎng)單相電壓信號頻率估計為例，取采樣頻率fs=10 000 Hz，極半徑參數(shù)r=0．99。將待估計頻率ω0=50 Hz的基波信號注入3次，5次和7次諧波，其幅值分別為基波幅值20%，13%和11%的信號作為輸入信號，如圖6所示。即采樣得到的電壓信號為：

圖6 輸入信號u t()曲線Fig．6 Curve of the input signal u t()

表1為取待估計頻率f0=50 Hz，當初始帶阻頻率從f=50．1 z至f=60 z變化，步長α分別為 0．5×10-10、 1．0×1010、 1．3×10-10、 1．5×10-10、 2．0×10-10時，針對提出的頻率估計方法從響應時間與估計誤差兩方面進行對比的結果。從表中可以看出，當初始帶阻頻率相同時，隨迭代步長的增大，自適應陷波系統(tǒng)的超調量逐漸增大，陷波參數(shù)曲線的響應速度越來越快，但頻率估計精度將隨之小幅降低。當步長相同時，陷波參數(shù)曲線的估計誤差與初始帶阻頻率無關，表明該方法具有較好的頻率估計穩(wěn)定性能，但當初始頻率f與待估計頻率f0非常接近時，由于初始梯度較大，會引起陷波參數(shù)曲線較大的振蕩，響應時間增大；若初始頻率f與待估計頻率f0相差較大，則亦會增大梯度搜索時間，即響應時間增長。綜上，應選擇合適的初始頻率同時滿足較小的響應時間和較小的估計誤差。

表1 初始頻率f和步長均不同條件下陷波參數(shù)曲線響應時間與估計誤差對比Tab．1Comparison of the response time and the estimation error of notch parameter curve under different conditions of initial frequency and step length

根據(jù)表1分析，且為適應更寬范圍的頻率波動，仿真測試中陷波器的初始帶阻頻率設置為60 Hz，即參數(shù)的初始值為：a=-2cos( 2π×60／10 000)。

由以上分析可知步長α對自適應陷波器的頻率估計性能有重要影響，通過式（13）的迭代計算，可得圖7所示在不同步長情況下參數(shù)a收斂曲線。綜合比較系統(tǒng)可知，當步長α=1．3×10-10時，陷波參數(shù)a經過約800次算法迭代收斂于最優(yōu)值，即收斂時間ts=0．08 s，相較于其他步長收斂速度更快，且控制精度較高。由此驗證了式（13）所示算法具有全局收斂能力，可以應用于工程實際。

取步長α=1．3×10-10，可得圖8所示陷波器輸出誤差信號曲線，電壓基波信號經過陷波器帶阻頻率逐步調整后，誤差信號隨之逐漸減小，當陷波參數(shù)a收斂于理論最優(yōu)值時，輸出誤差信號也趨于穩(wěn)定，為3次、5次和7次諧波信號疊加。將輸入信號與陷波器輸出誤差信號線性疊加，即可準確提取圖9所示待估計頻率的電壓基波信號，進而獲得基波信號頻率，從而驗證了式（13）中提出的自適應迭代算法的有效性。

圖7 參數(shù)a收斂曲線Fig．7 Convergence curve of the parameter a

圖8 輸出信號e t()曲線Fig．8 Curve of the output signal e t()

圖9 自適應陷波系統(tǒng)輸出的電壓基波信號Fig．9 Fundamental waveform signal output by the adaptive notch system

4 實驗驗證

為進一步驗證所提頻率估計方法的有效性及工程應用的可靠性，將此方法應用于對實際電網(wǎng)電壓基波信號的頻率估計。實驗利用圖10所示的LV25-P／SP5電壓互感器對輸電線路上單相電壓信號進行采集，采樣頻率fs=10 000 Hz，得到的電壓信號曲線如圖11所示，可以看出采集的相電壓含有很小的諧波畸變信號。另取極半徑參數(shù)r=0．99，陷波器的初始帶阻頻率為60 Hz。

圖10 電壓互感器Fig．10 Voltage transformer

圖11 輸入信號u t()曲線Fig．11 Curve of the input signal u（t）

將采集到的電網(wǎng)電壓信號輸入自適應陷波系統(tǒng)，經過自適應算法調整，得到圖12所示的參數(shù)a收斂曲線及圖13所示的陷波器輸出誤差信號曲線，最終系統(tǒng)將輸出穩(wěn)定的電壓基波信號曲線，即諧波干擾信號被完全濾除，準確提取出了工頻ω0=50Hz的基波信號。

圖13 輸出信號e t()曲線Fig．13 Curve of the output signal e t()

5 結束語

提出一種新的基于自適應陷波器的簡單頻率估計方法，運用隨機優(yōu)化的方法對自適應陷波器的參數(shù)進行配置，使陷波器檢測得到的基波信號頻率不斷逼近待估計信號頻率，實現(xiàn)基波信號的準確提取。將此方法應用于頻率恒定信號的跟蹤，對含諧波的電網(wǎng)電壓基波信號進行頻率估計，響應速度較快，穩(wěn)定性較高。通過Simulink仿真分析及實驗平臺的驗證，進一步說明了此方法的收斂性、有效性以及實時性，可應用于工程實際。