蘇 玖

真題展現(xiàn)

（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a-3b＋6＝0，則的最小值為________.

思維延伸

（改編1）已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求的最大值.

本題解法較多，大家可以嘗試.如果改成兩個代數(shù)式的平方和問題，就有：

（改編2）已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求的最小值.

前面幾道題的條件a＋b＝1，從幾何直觀上看，也可以轉(zhuǎn)化為點（a，b）在直線x＋y＝1上，于是條件中點（a，b）也可以在其他的曲線上，同時通過解不等式求出最值.于是可改編為：

（改編3）已知點（a，b）在曲線y＝的第一象限上，求ab的最小值.

本題仍然通過基本不等式變換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a＋b的一元二次不等式，最后求解出答案，但如果條件仍為不等式，也可以改編為：

（改編4）已知a，b∈R＋，a＋b≤1，求的最小值.

前面都是求最大值或最小值，但也可以改編為已知最值，求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)的值.于是有：

（改編5）已知a為正常數(shù)，且不等式對一切正數(shù)x，y恒成立，求a的最小值.

還可以推廣到三元不等式，而且上述各題都是任意正數(shù)x，y，那么也可以研究存在正數(shù)x，y類型問題，于是可以改編為：

（改編6）已知a，b，c為正實數(shù)，若存在正數(shù)x，y，z使得不等式（x＋y＋成立，求的最大值.

點撥解析

1.解析：由基本不等式，得，于是，因此≤2，所以的最大值為2.

2.解析：

（解法二）由基本不等式得

3.解析：由條件可知，a，b∈R＋且有a＋b＝ab-3，因為，于是有，解不等式知或（舍去），所以ab≥9，故ab的最小值為9.

本題轉(zhuǎn)化為解二次不等式，求解最值.本題也可以求a＋b的最小值為6.

4.解析：（解法一）由a＋b≤1得ab≤，即，所以4.

（解法二）（三角換元法）因為a＋b≤1，因此令a＝rsin2θ，，0＜r≤1）.所以.因為0＜r≤1，因此，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，r＝1，即時等號成立.故的最小值為4.

本題的解法一是兩次使用基本不等式，但等號都是在a＝b時取到的，而解法二是利用圓面的三角代換，實質(zhì)是動圓的問題，解法一較簡潔明了.

5.解析：因為x，y，a都是正數(shù)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，于是的最小值為（1＋.要使不等式恒成立，則必有9≤（1＋，解之得a≥4，故a的最小值為4.

本題先利用基本不等式求出左邊式子的最小值，然后9就小于或等于這個最小值，建立關(guān)于a的不等式，從而求出a的取值范圍.

6.解析：由題意知，由于a，b，c和x，y，z都為正數(shù)，因此，因此的最小值為，所以，即，

本題是存在型問題仍然轉(zhuǎn)化為先求最小值（用a，b，c表示），再建立關(guān)于不等式a，b，c的不等式，同時本題利用代數(shù)恒等式即三元數(shù)組之和的完全平方式.

回顧悟道

通過上述各題的改編，可以發(fā)現(xiàn)基本不等式在求最值時的重要作用.要掌握并能靈活運用幾個均值不等式：若a，b∈R＋，則，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立.利用它們求最值或者證明不等式時往往要通過基本不等式的變形使用.有時要通過兩次或者多次不等式變換才能達到目標(biāo)，也有的題目要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)才能達到目標(biāo).

小試牛刀

已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求ab的最大值.

（改編1）：__________________________

（改編2）：_________________________

答案與解析

原題解析：由基本不等式得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

另法：消元法和配方法結(jié)合，因為a＋b＝1，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，同時時等號成立，所以ab≤.

（改編1）已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求的最大值；

（改編2）已知a，b∈R＋滿足a＋b＝1，求的最小值.

提示：改編1因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的最大值為.