多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值計算方法及其性質(zhì)

楊靛青， 呂偉強， 俞裕蘭

(1. 福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院， 福建 福州 350116; 2. 福建商學(xué)院國際經(jīng)濟貿(mào)易系， 福建 福州 350500)

0 引言

在合作對策的研究中, 有一類對策主要研究的是考慮局中人組成多層次聯(lián)盟單元后參與大聯(lián)盟合作, 獲得大聯(lián)盟收益后再逐層次在聯(lián)盟單元內(nèi)部進行公平、 合理的分配, 這種合作對策稱為多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策. 經(jīng)典合作對策主要考慮的是局中人以獨立個體形式參加大聯(lián)盟, 它可以被視為多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策的特殊情況, 即單層聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策. 1977年,Owen提出兩層聯(lián)盟結(jié)構(gòu)(簡稱聯(lián)盟結(jié)構(gòu))合作對策, 其主要思想是局中人先組成聯(lián)盟單元, 然后以聯(lián)盟單元形式參與大聯(lián)盟利益分配, 最后在聯(lián)盟單元內(nèi)部進行利益分配. 此后, 在Owen聯(lián)盟結(jié)構(gòu)思想的影響下, 聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策的夏普利值(也稱Owen值)、 班茲哈夫值、τ值和核心等[1-3]陸續(xù)被提出. 1989年Winter公理化多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策夏普利值進而證明其滿足的性質(zhì). 在此基礎(chǔ)上， Alvarez-mozos等將經(jīng)典合作對策班茲哈夫值擴展到多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策上. 楊靛青等[6-7]構(gòu)造了多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值， 給出了該值的簡便計算方法并討論了其滿足的一些重要性質(zhì). 在現(xiàn)實管理中, 由于客觀原因限制, 局中人可能以一定參與程度組成多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)后參加大聯(lián)盟合作, 而在進行利益分配時也應(yīng)考慮局中人參與程度的影響, 這種合作對策被稱為多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策. 早期對多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策的研究主要集中于單層模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策. Aubin根據(jù)Zadeh提出的模糊集思想, 首次將經(jīng)典(清晰)聯(lián)盟合作對策進行推廣, 定義了單層模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策(簡稱模糊聯(lián)盟合作對策), 并提出了模糊核心解. 此后, 其他研究先后提出了模糊聯(lián)盟合作對策的穩(wěn)定集、 Weber集、 夏普利值和τ值等[9-11]解概念. Meng等[12]將聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策夏普利值進行拓展, 提出模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策的夏普利值, 證明該解的存在性和唯一性. 目前對多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策解的研究已取得了一些成果, 但主要集中在Shapley值、 核心等解上, 沒有發(fā)現(xiàn)對多層級模糊結(jié)構(gòu)合作對策τ值進行研究.

本研究探討了多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值的求解方法和性質(zhì). 結(jié)合模糊集概念和多層級聯(lián)盟結(jié)構(gòu)思想, 定義多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu). 在此基礎(chǔ)上, 定義了τ值, 研究其計算方法和滿足的性質(zhì), 證明了此類對策τ值滿足有效性、 商對策性及策略等價下的共變性等性質(zhì).

1 多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策

清晰聯(lián)盟合作對策可表示為一個序?qū)Α碞,v0〉, 其中N={1, 2, …,n}表示n個局中人集合,v0為清晰聯(lián)盟合作對策的支付函數(shù), 它是N的冪集2N到實數(shù)集R的映射, 即v0:2N→R且滿足v0(?)=0. 記G0(N)為N上清晰聯(lián)盟合作對策的集合. 為方便起見, 將N{i}簡寫成Ni,v0({i})簡寫成v0(i),v0(S∪{i})簡寫成v0(S∪i).

2 多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值的計算方法及性質(zhì)

2.1 模糊聯(lián)盟商對策τ值

定義1設(shè)v[SBr]∈GLq(N)和S(N)∈L(N), 滿足

1)m(v[S(Br)])≤M(v[S(Br)]);

定義2設(shè)v[S(Br)]∈Guqb和S(N)∈L(N)， 稱:

τ(v[S(Br)])=m(v[S(Br)])+α(M(v[S(Br)])-m(v[S(Br)]))

2.2 多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值及其性質(zhì)

(1)

(2)

(3)

2)mi(v, [S(Br)])≤Mi(v, [S(Br)]),i∈I(Br);

則稱為〈v, [S(Br)], [S(Br+1)]〉是擬均衡的. 記Gcqb為擬均衡的r層聯(lián)盟模糊結(jié)構(gòu)合作對策集合.

定義4若〈v, [S(Br)], [S(Br+1)]〉∈Gcqb和S(N)∈L(N), 則

定理1多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值具有以下性質(zhì)：

證明 根據(jù)多層級模糊結(jié)構(gòu)聯(lián)盟合作對策τ值的定義, 可以很容易地證明其滿足有效性、 個體合理性和商對策性. 下面重點證明策略等價下的共變性.

2.3 多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)凸合作對策

定義7設(shè)v∈G(N)和S(N)∈L(N). 若對任意T1，T2?N, 有

v(S(T1)∨S(T2))+v(S(T1)∧S(T2))≥v(S(T1))+v(S(T2))

由于v[S(Br)]∈Gfcov, 則根據(jù)定義7, 對i∈I(Br)和S?I(Br)i, 有

(4)

由于τr+1(v)存在, 根據(jù)定義1和定理2， 對任意j∈I(Br+1)， 有

(7)

(8)

又dj≥0, 有

(9)

由于dj≥0,Si≥0, 有:

由式(6), 可得

(10)

由式(4)以及式(9)～(10), 可得

mi(v, [S(Br)])≤Mi(v, [S(Br)]) (11)

由式(5)以及式(7)～(10)可得：

由式(5)與式(7)可得：

(12)

由Gcqb的定義, 有〈v, [S(Br)], [S(Br+1)]〉∈Gcqb.

3 算例分析

4 結(jié)語

本研究定義了多層級模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策τ值并提出其計算方法, 討論存在性條件, 并證明滿足有效性、策略等價下的共變性等性質(zhì).該值是合作對策τ值的一般形式. 對于凸合作對策, 該τ值存在且簡化τ值的計算過程. 但該τ值的存在要滿足合作對策是擬均衡的且聯(lián)盟結(jié)構(gòu)相對固定, 下一步將重點研究不同聯(lián)盟結(jié)構(gòu)對τ值的影響.