朱 宇

《植樹問題》是人教版小學數(shù)學五年級上冊第七單元“數(shù)學廣角”的內(nèi)容，包括3 個例題和15道習題，著重研究生活中有關間隔現(xiàn)象蘊含的規(guī)律。通過本單元的學習，學生能充分經(jīng)歷觀察、猜測、驗證、推理等數(shù)學活動，初步體會解決植樹問題的思想方法，經(jīng)歷數(shù)學模型建構過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提高解決實際問題的能力。

一、教材變化點

《植樹問題》存在變量多、情況復雜、抽象水平高等諸多因素，因此，考慮到學生的認知水平與理解能力，新教材將原四年級下冊“數(shù)學廣角”中的《植樹問題》推延至五年級上冊。

1.題材更加鮮活。

為了激發(fā)學生的探究興趣，獲得更加深刻的建模體驗，新教材保留了原教材“直線上的植樹問題”（例1、例2），“封閉曲線上的植樹問題”（例3），又進一步充實了模型運用的實際問題，增加了“馬拉松比賽設置飲水點”“項鏈上的水晶”等新穎有趣的實際問題。有效激發(fā)學生探究欲望，幫助學生多角度體會和運用植樹問題的數(shù)學思想方法。

2.突出畫圖策略。

《植樹問題》最重要的數(shù)學思想就是模型思想，讓學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型的過程是教學難點。教材突出了線段圖的作用，通過幾何直觀幫助學生理解不同情況下植樹棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關系，逐步建立植樹問題的數(shù)學模型。從形象的線段圖開始，抽象出表示兩端都栽與兩端都不栽的線段圖，最后嘗試畫出封閉曲線上植樹的線段圖，并與“一端栽另一端不栽”的情況相關聯(lián)。

二、年段銜接點

《植樹問題》實際上是一類數(shù)學問題的形象說法，通過點與段之間對應關系的探索，從本質(zhì)上完成數(shù)學模型的建構與理解。本課的教學并不是只讓學生會解決與之類似的實際問題，而是把解決植樹問題的過程作為滲透數(shù)學思想方法的一個支點，為第三學段數(shù)學思想方法的進一步學習奠定基礎。

從廣義角度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關系式、圖形、圖表、程序等都是數(shù)學模型。如“部分+部分=總量”“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這兩個結(jié)構，就是小學數(shù)學中最基本的加法模型和乘法模型。從本質(zhì)上說，《植樹問題》屬于乘法模型，與“段數(shù)×段長=總長”這一基本數(shù)量關系有關。這個模型也適用于安裝路燈、敲鐘、鋸木頭等問題，這些具體問題事實上都有著相同的數(shù)學結(jié)構。

三、疑難問題與策略建議

1.怎樣以“一一對應”的思想統(tǒng)領？

本課教學的最終目的并不只是讓學生認識規(guī)律，而是尋找規(guī)律產(chǎn)生的原因，建立“一一對應”的思維方式。教學中不必過于強調(diào)“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這三種情況的區(qū)分，而應該突出“一一對應”的思想，為學生提供主動探索的機會，并嘗試用“一一對應”的方法說明棵數(shù)和間隔數(shù)的對應關系。

策略與建議：

（1）化繁為簡。根據(jù)信息和背景材料對問題進行必要的簡化，重點關注對關鍵字詞的理解，如“全長100 米的路的一邊”“每隔5 米”“兩端要栽”等。在此基礎上，把現(xiàn)實中的“樹”和“間隔”抽象看成“點”和“段”。在研究策略的交流中，學生感受到100 米太長了，主動提出可以將100 米縮短成10米、20米進行研究。

（2）聚焦本質(zhì)。教學中緊緊抓住植樹問題的本質(zhì)即對應問題進行教學。當樹和間隔一一對應，棵數(shù)與間隔數(shù)一樣多（封閉圖形中棵數(shù)和間隔數(shù)正好一一對應）；當樹和間隔一一對應，最后還多出一棵，這時棵數(shù)就比間隔數(shù)多“1”；當間隔和樹一一對應，最后樹沒有了，而間隔還有一個，這時樹比間隔少“1”。需要說明的是，此對應思想還可以由“一對一”輻射到“一對多”的情況。

（3）畫圖表征?！包c—段”一一對應：畫一“點”再畫一“段”；或者“段—點”一一對應：先畫一“段”再畫一“點”。依此重復，直至達到要求的長度。同時引導學生比較“一一對應”中完整與不完整的兩種情況：當完全對應時，點與段的數(shù)量相等；當不完全對應時，先出現(xiàn)的物體多“1”。學生借助線段圖和“一一對應”的方法進行驗證，得出結(jié)論。再據(jù)此追問：如果小路延長到500 米、5000 米、50000米，還是兩端都栽，棵數(shù)和間隔數(shù)又有什么關系呢？根據(jù)規(guī)律進行想象、推理活動，讓模型逐步清晰起來。

2.怎樣借助線段圖促進模型建構？

本單元教學建議中明確指出，要用線段圖幫助學生思考，發(fā)展學生的模型思想。用線段圖促進模型建構，對于學生來說存在較大的難度。

策略與建議：

（1）從生活現(xiàn)象中提煉。首先，模擬植樹活動，搭建從生活原型到抽象成線段圖的橋梁。再通過多媒體演示，把每一棵樹都看成一個點，從最左端開始畫，每隔一段距離畫一個點，1 棵、2棵、3 棵……這樣就形成了數(shù)學上的植樹圖。在線段圖生成過程中，學生親眼目睹“路的一邊”“棵數(shù)”“每隔5 米”演變成線段圖上的“一條線段”“點數(shù)”“間隔”，直觀地認識了間隔及間隔數(shù)。

（2）在比較辨析中感悟。學生畫線段圖探索三種情況下的植樹規(guī)律時，很多學生的思維出現(xiàn)混亂，特別是在一端栽一端不栽和兩端不栽的情況下，不知道怎樣畫棵數(shù)和間隔數(shù)。對此，首先要讓學生親身感受100 米畫完很麻煩，嘗試先研究“小數(shù)據(jù)”20 米的情況，滲透“以小見大”的方法。接著教師提出問題：在全長20 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵，有幾種栽法？請用線段圖表示出來。學生各自畫圖，只要符合“相鄰兩棵樹間隔5 米”，怎么種就怎么畫，想到幾種情況就概括、歸納幾種規(guī)律。特別提醒學生，先想一想要畫幾個間隔才是20 米。學生借助線段圖，自主提煉出三種植樹模型，并借助課件驗證。

（3）在問題抽象中建模。在“描述問題—提出猜想—舉例驗證—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—解決問題”的探索流程中，學生通過畫線段圖、觀察線段圖、想象線段圖、運用線段圖，把抽象的植樹問題具體形象地呈現(xiàn)出來，再現(xiàn)生活中的植樹原型，豐富植樹問題的表象，培養(yǎng)想象能力和抽象概括能力，讓植樹問題模型根植于線段圖中。最后，引導學生聯(lián)系生活實際，讓抽象的植樹問題模型生動鮮活，發(fā)展模型思想。

3.怎樣聯(lián)系生活夯實模型建構？

雖然學生能理解三種情況下棵數(shù)與段數(shù)的關系，建立不同情況下棵數(shù)與段數(shù)的關系模型，但是在將模型應用于實際問題的時候，往往發(fā)生偏差。所以，我們不僅要利用觀察、操作、歸納、類比、猜測、驗證等方法建構模型，還要應用模型特征去解釋生活中的現(xiàn)象，經(jīng)歷模型產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程。

策略與建議：

（1）自制簡易模型。把手掌張開，五指四空兒，“指”表示“棵”，指與指之間的“空兒”表示“段”，表示兩端都種的情況，“棵數(shù)＝段數(shù)+1”；把大拇指彎曲，四指四空兒，表示一端種一端不種的情況，“棵數(shù)＝段數(shù)”；把大拇指和小指同時彎曲，三指四空兒，相當于兩端都不種的情況,表示“棵數(shù)＝段數(shù)－1”。這個直觀模型還可以表示封閉路線上的植樹問題。

（2）實例解釋模型。模型初步形成以后，要以圖片、文字等形式讓學生了解生活中與植樹問題相似的現(xiàn)象，體會現(xiàn)實生活中如安裝路燈、擺花盆、剪繩子、排隊等實際問題與植樹問題含有相同的數(shù)量關系，都可以用植樹問題的模型來解決。

（3）應用拓展模型。我們不能只是簡單套用模型，而應通過有變式、有層次的實際問題，引領學生縱向深化、內(nèi)化模型，加深學生對數(shù)學模型的理解。例如，在建立起“兩端都不栽”的模型后，可以設計如下問題：兩棟教學樓之間的道路全長300米，在路的兩邊栽樹，如果每隔10米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？讓學生由“兩棟教學樓”聯(lián)想到“兩端都不栽”，達到聯(lián)系生活、拓展模型的目的。也就是說，既要通過探索活動讓學生建構植樹問題的數(shù)學模型，又要應用模型特征去解釋生活中的現(xiàn)象，舉一反三，夯實數(shù)學模型的建構。

資料存盤

1.《植樹問題》課標要求與解讀。

“總目標”中提出：在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法；學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式。

“學段目標”的第二學段中提出：嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題，并運用一些知識加以解決；能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性。

“課程內(nèi)容”的第二學段中提出：通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。

教材中設置“數(shù)學廣角”單元教學內(nèi)容，目的不是教會學生機械的公式和抽象的模型，而是讓學生體驗探索建立模型的過程和數(shù)學思想方法。

2.本單元涉及的思想方法。

本單元的主要數(shù)學思想方法有：抽象的方法，數(shù)形結(jié)合思想，類比的思想，歸納猜想、分類討論、模型、化歸的方法。

3.與植樹問題相關的系列問題。

由植樹問題拓展的問題：環(huán)形植樹問題、方陣植樹問題、方陣外圈植樹問題等；與植樹問題類似的其他領域問題：“鋸木頭”中的段數(shù)與次數(shù)、“裝路燈”中燈的盞數(shù)與間隔、“爬樓梯”中的樓層數(shù)與階梯數(shù)等。