屈俐俐,李變

(1.中國科學(xué)院 國家授時(shí)中心,西安 710600；2.中國科學(xué)院 時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710600)

0 引言

國際權(quán)度局(BIPM)基于全球70多個(gè)守時(shí)實(shí)驗(yàn)室自由運(yùn)轉(zhuǎn)的原子鐘數(shù)據(jù)資料,采用ALGOS算法計(jì)算得到自由原子時(shí)(EAL),然后利用基準(zhǔn)頻標(biāo)(PFS)對EAL進(jìn)行頻率修正后導(dǎo)出國際原子時(shí)(TAI)。

BIPM從1973年起采用ALGOS算法用于EAL的計(jì)算,計(jì)算時(shí)主要考慮EAL的長期穩(wěn)定度。四十多年來,為了適用原子鐘和比對鏈路性能的提升,BIPM對EAL的計(jì)算方法做過多次修改,其中針對ALGOS算法中的加權(quán)方法改進(jìn)的次數(shù)最多。最近20年來BIPM對用于EAL計(jì)算的ALGOS算法(以下簡稱“EAL算法”)做過幾次大的修改,第一次是在1996年將計(jì)算周期由每兩月改為每月計(jì)算一次[1],數(shù)據(jù)點(diǎn)的間隔由每10 d改為每5 d；第二次是在1998年,對算法中的權(quán)系統(tǒng)做了調(diào)整,由最大絕對權(quán)重改為最大相對權(quán)重[2]；第三次是2001年最大權(quán)采用ωmax=A/N,其中N是每月參加EAL計(jì)算的鐘的數(shù)量,A是經(jīng)驗(yàn)值[3]；最近一次BIPM對EAL算法進(jìn)行修改是2014年[4],本文主要針對2001年和2014年權(quán)重算法修改前后,參與EAL計(jì)算的原子鐘權(quán)重結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析研究。

1 EAL算法

EAL算法自1973年以來,期間經(jīng)過幾次修改,但每次修改只是少許調(diào)整(計(jì)算間隔改變、相對權(quán)重替代絕對權(quán)重和最大權(quán)原則等),一直沿用至2013年。該算法對于沒有頻率漂移,并且主要表現(xiàn)為隨機(jī)游走頻率調(diào)制噪聲的原子鐘(如：銫原子鐘)是非常適合的。然而,目前參與EAL計(jì)算的原子鐘除了5071A銫原子鐘以外,還有大量的氫原子鐘。這種以微波激射振蕩器為基礎(chǔ)的自激型頻標(biāo),因具有極純的信號(hào)頻譜表現(xiàn)出非常優(yōu)秀的短期穩(wěn)定度。但是因物理結(jié)構(gòu)及自身工作特性,氫原子鐘存在頻率漂移,且頻率漂移量相對穩(wěn)定。為了充分發(fā)揮氫原子鐘的優(yōu)勢,G.Panfilo等人針對2001版EAL算法中的取權(quán)方法與頻率預(yù)報(bào)方法提出了相應(yīng)的改善方法。

1.1 2001版的EAL算法

為了提高時(shí)間尺度的可靠性,2001版EAL算法是在原算法的基礎(chǔ)上,增加了最大權(quán)限制原則,解決了時(shí)間尺度過多依賴某一臺(tái)性能優(yōu)秀的原子鐘的問題。之后該算法也被大多數(shù)時(shí)間實(shí)驗(yàn)室用于地方原子時(shí)的建立。

1.1.1 2001版的時(shí)間尺度計(jì)算方法

2001版的時(shí)間尺度計(jì)算方法基本公式如下[5]：

(1)

xi(t)=EAL(t)-hi(t),

(2)

hi′(t)=ai(t0)+Bip(t-t0),

(3)

式(1)～(3)中:hi(t)為鐘i讀數(shù)；xi(t)是EAL(t)和hi(t)的差；hi′(t)是hi(t)預(yù)測值；ai(t0)是鐘i相對于EAL(t)在時(shí)刻t0的相位差；Bip(t)是鐘i相對于EAL(t)在[t0,t]的預(yù)報(bào)頻率；ωi(t)表示鐘i的權(quán)重。

EAL每個(gè)月計(jì)算一次,采用的數(shù)據(jù)是通過遠(yuǎn)程時(shí)間比對得到的各守時(shí)實(shí)驗(yàn)室的鐘與UTC(PTB)的比對結(jié)果,數(shù)據(jù)間隔5 d,數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)刻是約化儒略日(MJD)尾數(shù)為4和9的UTC 00:00的標(biāo)準(zhǔn)歷元。

計(jì)算所用的方程為：

Xij(t)=xj(t)-xi(t),i=1,2,…,N,i≠j,

(4)

(5)

t=t0+mT/6,m=0,1,…,6,T=30 d,

(6)[注]在實(shí)際計(jì)算中,一年中某個(gè)月會(huì)出現(xiàn)T=35 d的情況,這時(shí)t=t0+mT/7,m=0,1,…,7。

式(4)～(6)中,t0是上個(gè)時(shí)間段的最后一個(gè)歸算歷元,也是本次計(jì)算的第一個(gè)歸算歷元,t是計(jì)算EAL的時(shí)刻,T是當(dāng)前計(jì)算的時(shí)間段。N是參加計(jì)算的原子鐘數(shù),ωi(t)表示鐘i的權(quán)重。當(dāng)前時(shí)間段[t0,t0+T]的預(yù)報(bào)速率Bip(t)等于前一時(shí)間段[t0-T,t0]上的速率。

1.1.2 2001版的權(quán)系統(tǒng)計(jì)算方法

(7)

式(7)中,k為時(shí)間段索引,Bip,Ik(t)是鐘i在時(shí)間段Ik內(nèi)的速率值,< >表示統(tǒng)計(jì)平均。

權(quán)值計(jì)算公式為:

(8)

雖然性能優(yōu)秀的鐘應(yīng)該對EAL的貢獻(xiàn)更大,但是會(huì)導(dǎo)致EAL對性能優(yōu)秀的極少數(shù)原子鐘的依賴性過大,降低EAL的可靠性,所以對單鐘的最大權(quán)進(jìn)行限制。ωmax表示最大權(quán),當(dāng)ωi(t)≥ωmax,則ωi(t)=ωmax。

ωmax=A/N,

(9)

式(9)中,A為經(jīng)驗(yàn)常數(shù),在2014版算法之前,A值采用2.5,N是參加計(jì)算的鐘數(shù)。

1.2 2014版的EAL算法

2001版的EAL算法,速率預(yù)報(bào)只考慮鐘的相位和頻率影響,即一次預(yù)報(bào)模型,不考慮頻率漂移。而2014版的EAL算法中速率預(yù)報(bào)算法加入二次項(xiàng)來描述鐘的頻率漂移,也就是鐘性能采用二次預(yù)報(bào)模型。

1.2.1 2014版時(shí)間尺度計(jì)算方法

2014版的hi(t)預(yù)測公式如下[6-7]：

(10)

(11)

ai,Ik(tk)=EAL(tk)-hi(tk)=xi(tk)。

(12)

(13)

新增加的頻率漂移參數(shù)的求解如下：

(14)

1.2.2 2014版權(quán)系統(tǒng)計(jì)算方法

在原子時(shí)尺度算法中,每個(gè)鐘的權(quán)重與鐘的頻率穩(wěn)定度成反比。2014版的權(quán)重算法更注重鐘頻率的“可預(yù)測性”,因此,只要鐘的頻率漂移足夠穩(wěn)定,那么它的頻率預(yù)測值和實(shí)際測量值的偏差就很小。氫原子鐘通常存在明顯的頻率漂移,且頻率漂移的不確定性很小,所以在新算法中氫鐘會(huì)獲得較大的權(quán)重。

(15)

式(15)中,下標(biāo)i表示第i臺(tái)鐘,Ik表示計(jì)算時(shí)間間隔。

2014版算法認(rèn)為新的測量數(shù)據(jù)具有更可靠的統(tǒng)計(jì)特性,因此距離計(jì)算時(shí)刻越近的測量數(shù)據(jù)應(yīng)該給予較大的權(quán)重,計(jì)算公式如下：

(16)

式(16)中,下標(biāo)i是第i臺(tái)鐘,j代表計(jì)算間隔,Mi代表月份,BIPM時(shí)間部規(guī)定原子時(shí)的計(jì)算至少需要累積4個(gè)月的數(shù)據(jù)資料,因此4≤Mi≤12。

為了避免某個(gè)鐘權(quán)重過大,2001版與2014版均采用最大權(quán)限制原則。根據(jù)文獻(xiàn)[6-7],公式(9)中A值由原來的2.5改為4。

2 權(quán)系統(tǒng)修正前后原子鐘的取權(quán)結(jié)構(gòu)分析

Panfilo.G.等人在2014版EAL算法中,針對氫原子鐘具有良好短期穩(wěn)定度及頻率漂移相當(dāng)穩(wěn)定的特點(diǎn),對2001版EAL算法中權(quán)重計(jì)算提出了相應(yīng)的改善方法,以提高氫原子鐘在EAL計(jì)算中的權(quán)重。

2.1 EAL計(jì)算中的權(quán)分布

為了避免更換算法對EAL穩(wěn)定度的影響,BIPM采用2006年至2013年的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行試算,文獻(xiàn)[4-6]的結(jié)果表明：2014版采用平衡了氫鐘和銫鐘的權(quán)重分布的算法,提高了氫鐘在EAL計(jì)算中的權(quán)重。圖1和圖2是BIPM分別采用2001版和2014版EAL算法,計(jì)算EAL時(shí)不同類型原子鐘的權(quán)重分布情況。

圖1 2001版EAL算法中權(quán)重的構(gòu)成 圖2 2014版EAL算法中權(quán)重的構(gòu)成

圖1中基準(zhǔn)頻標(biāo)(PFS)的權(quán)重為3.8%,銫鐘(Cs)的權(quán)重高達(dá)86.4%,而氫鐘(HM)的權(quán)重只有9.8%。圖2是2017年4月BIPM采用2014版算法計(jì)算EAL時(shí)不同類型鐘的權(quán)重分布情況,其中基準(zhǔn)頻標(biāo)占4.6%,銫鐘的權(quán)重降低到25%,而氫鐘的權(quán)重提高到70.4%。不同版本算法中基準(zhǔn)頻標(biāo)所占權(quán)重份額較低、量值相對穩(wěn)定,且與本文分析內(nèi)容關(guān)系較小,所以后面的分析忽略與基準(zhǔn)頻標(biāo)相關(guān)的內(nèi)容。

2.2 原子鐘類型與權(quán)重關(guān)系

由于每月參加EAL計(jì)算的原子鐘數(shù)量不完全相同,總鐘數(shù)呈緩慢增加趨勢,且不同類型原子鐘數(shù)量的比例關(guān)系也不完全確定,因此分析歷年來不同類型原子鐘的權(quán)重結(jié)構(gòu)變化,只能基于不同類型原子鐘數(shù)量的變化比例和權(quán)重變化比例的增量來衡量。

圖3和圖4分別是氫鐘和銫鐘在2009年至2017年參加EAL計(jì)算時(shí),氫鐘和銫鐘的數(shù)量及它們所取權(quán)重的比例關(guān)系圖。

圖3 2009-2017年參加EAL計(jì)算的氫鐘數(shù)量及其權(quán)重比例

圖4 2009-2017年參加EAL計(jì)算的銫鐘數(shù)量及其權(quán)重比例

由圖3和圖4可以看出：①2009年以來氫鐘占總鐘數(shù)數(shù)量比例增加不到10%,但氫鐘所占權(quán)重比例在采用2014版算法后,從2014年前的10%～15%,大幅度提高到54%,并且之后一路走高,在2017年氫鐘所占權(quán)重超過了75%；②2014年之前,銫鐘數(shù)量占總鐘數(shù)的75%左右,權(quán)重基本保持在總權(quán)重的85%～88%之間,采用2014版算法后,銫鐘的權(quán)重大幅下降,目前約占總權(quán)重的20%。

為了分析2014版算法使用前后氫鐘和銫鐘對EAL的貢獻(xiàn),本文定義鐘的效率=權(quán)重/數(shù)量(只針對取到權(quán)的鐘),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：2009年至2013年,氫鐘的效率是50%,銫鐘的效率是114%；2014年至2017年,氫鐘的效率是227%,銫鐘的效率是45%。即氫鐘的效率提高了3.54倍,銫鐘的效率降低了1.53倍。

2.3 不同取權(quán)區(qū)間內(nèi)鐘的權(quán)重分布

在EAL計(jì)算中,利用公式(10)計(jì)算出的最大權(quán)每月并不相同,為了統(tǒng)計(jì)方便在本文中對權(quán)重進(jìn)行歸一化計(jì)算,最大權(quán)為1。為了下面分析的需要,將權(quán)重區(qū)間按0.2間隔劃分,即ω=0(取0權(quán)的鐘),0<ω≤0.2,0.2<ω≤0.4,0.4<ω≤0.6,0.6<ω≤0.8,0.8<ω<1,ω=1(取最大權(quán)的鐘)。

圖5和圖6分別是2011年至2017年EAL計(jì)算中,不同權(quán)重區(qū)間內(nèi)的原子鐘數(shù)量占總鐘數(shù)的百分比和原子鐘權(quán)重占總權(quán)重的百分比。

圖5 2011-2017年不同取權(quán)區(qū)間內(nèi)原子鐘數(shù)量的分布

由圖5可以看出：①兩種算法在ω=1,0.2<ω≤0.4和ω=0 3個(gè)權(quán)值區(qū)間內(nèi),原子鐘數(shù)量所占比例相當(dāng)；②2014版算法在0.8<ω<1,0.6<ω≤0.8和0.4<ω≤0.6 3個(gè)權(quán)值區(qū)間內(nèi),原子鐘數(shù)量所占比例明顯低于2001版算法：2014版算法中落在這3個(gè)權(quán)值區(qū)間內(nèi)鐘數(shù)量總和所占比例不足5%,而2001版算法中鐘數(shù)量總和所占比例約為25%；③在0<ω≤0.2權(quán)值區(qū)間,2014版算法中鐘數(shù)量所占比例超過50%,2001版算法中鐘數(shù)量所占比例約為35%。

圖6 2011-2017年不同權(quán)值區(qū)間內(nèi)鐘權(quán)重的分布

如圖6所示：①2001版算法中取得最大權(quán)(ω=1)的鐘所占的權(quán)重比例約為40%,且該比例比較穩(wěn)定；②在采用2014版算法后,取得最大權(quán)(ω=1)的鐘所占權(quán)重的比例從2014年的55%左右開始逐年增長,到2017年達(dá)到64%左右；③在0<ω<1區(qū)間,2001版算法中權(quán)值分布比2014版算法更合理。

2.4 不同取權(quán)區(qū)間內(nèi)鐘類型的分布

圖7和圖8分別是2011年至2017年在EAL計(jì)算中,氫鐘和銫鐘在不同權(quán)值區(qū)間鐘數(shù)量的分布比例。

由圖7可知：①在ω=1權(quán)值,2001版算法中氫鐘數(shù)量約為10%,2014版算法中氫鐘數(shù)量在40%左右；②在0<ω≤0.2權(quán)值區(qū)間,2001版算法中氫鐘數(shù)量超過50%,2014版算法中氫鐘數(shù)量在25%左右；③在其他權(quán)值區(qū)間,兩種算法中氫鐘數(shù)量相當(dāng)。

由圖8可知：①在ω=1權(quán)值,2001版算法中銫鐘數(shù)量約為15%,2014版算法中銫鐘數(shù)量小于1%；②在0<ω≤0.2權(quán)值區(qū)間,2001版算法中銫鐘數(shù)量小于35%,2014版算法中銫鐘數(shù)量在70%左右；③在0.4<ω≤0.6,0.6<ω≤0.8和0.8<ω<1權(quán)值區(qū)間,2001版算法中銫鐘數(shù)量總和在30%左右,2014版算法中銫鐘數(shù)量總和小于4%；④在0.2<ω≤0.4權(quán)值區(qū)間,兩種算法中銫鐘數(shù)量相當(dāng)。

圖7 2011-2017年EAL計(jì)算中氫鐘在不同權(quán)值區(qū)間占?xì)溏娍倲?shù)比例

圖8 2011-2017年EAL計(jì)算中銫鐘在不同權(quán)值區(qū)間占銫鐘總數(shù)比例

3 結(jié)論

參與EAL計(jì)算的原子鐘數(shù)據(jù)來源于全球70多個(gè)守時(shí)實(shí)驗(yàn)室,這些實(shí)驗(yàn)室配置的守時(shí)原子鐘主要是銫原子鐘和主動(dòng)型氫原子鐘,這兩類鐘占參與EAL計(jì)算的總鐘數(shù)的98%,一般情況下,氫鐘的數(shù)量占總鐘數(shù)的1/3。

銫鐘頻率波動(dòng)較大,幾乎沒有頻率漂移；氫鐘存在頻率漂移,但大多數(shù)氫鐘的頻率漂移量相對穩(wěn)定。因此氫鐘在采用2014版算法計(jì)算EAL時(shí),可以取得較高的權(quán)重。

BIPM提出2014版算法的目的是：①利用氫鐘良好的頻率預(yù)測特性,提高EAL的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度,這已在BIPM相關(guān)文獻(xiàn)中證明[6,8-11]；②平衡氫銫兩種原子鐘在EAL計(jì)算時(shí)的權(quán)重比例。

通過分析2014年以來3年多EAL的計(jì)算結(jié)果,該算法首先提高了氫鐘在計(jì)算EAL時(shí)的權(quán)重,氫鐘權(quán)重份額在這3年當(dāng)中呈現(xiàn)不斷增長的趨勢,從2014年的54%提高到2017年的75%,權(quán)重在3年間增加了21%,況且根據(jù)圖3和圖4該比例仍將會(huì)繼續(xù)提高,這樣,未來幾年很有可能會(huì)出現(xiàn)EAL算法修改前的銫鐘權(quán)重完全占據(jù)主導(dǎo)地位的狀況,只不過這次是由銫鐘更換為氫鐘而已；其次,2014版算法中取最大權(quán)(ω=1)的鐘數(shù)量不超過15%,但是所占權(quán)重比例過高；權(quán)值在0<ω≤0.2區(qū)間的鐘數(shù)量偏大；在0.2<ω<1區(qū)間的鐘數(shù)量甚少。這是由于最大權(quán)門限和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)A不匹配導(dǎo)致的,關(guān)于二者關(guān)系的分析將在另一篇文獻(xiàn)中給出。

通過以上的分析,對采用類ALGOS算法中權(quán)重的確定提出以下建議：

①依據(jù)守時(shí)鐘組的配置情況,適當(dāng)平衡不同類型鐘的權(quán)重；

②確定取最大權(quán)鐘的數(shù)量及其所占權(quán)重份額,取最大權(quán)的鐘的數(shù)量不超過總鐘數(shù)的15%,所占權(quán)重份額約50%左右為宜[11]；

③分析落在不同權(quán)值區(qū)間鐘的數(shù)量、鐘類型的分布狀況,避免出現(xiàn)2014版算法中兩頭過大,中間區(qū)域幾乎沒有鐘的超級(jí)啞鈴狀的情況出現(xiàn)；

④算法投入使用前,應(yīng)對算法使用后可能出現(xiàn)的狀況進(jìn)行評估,避免權(quán)重份額出現(xiàn)趨勢性改變;

⑤經(jīng)驗(yàn)常數(shù)A的確定需經(jīng)過大量試算。A值過大會(huì)使計(jì)算的時(shí)間尺度只依賴于少數(shù)性能好的鐘,從而降低時(shí)間尺度的可靠性；反之,又會(huì)使性能優(yōu)秀的鐘對時(shí)間尺度的貢獻(xiàn)過小,降低時(shí)間尺度的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

綜上所述,守時(shí)實(shí)驗(yàn)室在借鑒其他時(shí)間尺度算法時(shí),不可直接照搬,需結(jié)合自身原子鐘資源的情況進(jìn)行詳細(xì)分析并進(jìn)行大量試算,最終找到滿足守時(shí)實(shí)驗(yàn)室要求的時(shí)間尺度算法。