葉怡

一、問題提出

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)內(nèi)容抽象，不像長(zhǎng)度、重量等可以通過具體的實(shí)物表現(xiàn)，且經(jīng)過圖形變換之后判斷全等又增加了學(xué)習(xí)難度。不少教師在組織教學(xué)時(shí)講得細(xì)一點(diǎn)，很容易忽視學(xué)生的整體感受、過程體驗(yàn)和自主建構(gòu)的時(shí)間，以至于教師賣力分析，但學(xué)生無法在腦海中建立起知識(shí)間的聯(lián)系。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要能夠從學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上進(jìn)行，突出整體關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維。如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念能夠以一種自然而又令人恍然大悟的方式與眾多的其他數(shù)學(xué)概念相聯(lián)系，那么它就是具有重要意義的。

二、教學(xué)案例——八年級(jí)上冊(cè)12.1《全等三角形》

這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容是讓學(xué)生理解全等三角形的有關(guān)概念及其性質(zhì)，以及全等的表示方法，對(duì)應(yīng)部分的關(guān)系，教師在教學(xué)中僅僅是讓學(xué)生觀察兩張形狀相同，大小相同的圖形得出全等，對(duì)于學(xué)生來說，不需要作出思維上的努力就可以通過觀察辨別出來，這樣思考過程是學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生很容易得到，但只是對(duì)于全等有了簡(jiǎn)單感性的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)是整體的，結(jié)構(gòu)的，邏輯的，要抓住核心的和關(guān)鍵，扣住本質(zhì)和聯(lián)系，凸顯整體和關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在具體數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思維方法。就能化繁為簡(jiǎn)化難為易，條理清晰，事半功倍。為了學(xué)生能對(duì)概念可以抓住本質(zhì)，學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，下面進(jìn)行片段展示。

【片段一】感知特征，認(rèn)識(shí)概念

出示我們經(jīng)?？吹降男螤睿笮⊥耆嗤膱D形：

師：你能找出生活實(shí)際中形狀，大小完全相同的圖形嗎？

（學(xué)生觀察可得出）

師追問：你是如何辨別兩個(gè)圖形的形狀，大小是完全相同？

生：（交流談?wù)撜业椒椒ǎ蓚€(gè)圖形重疊，看看他們是否能夠完全重合，能完全重合，他們的形狀，大小就相同。這時(shí)學(xué)生從“兩個(gè)圖形的形狀，大小完全相同”到“兩個(gè)圖形完全重合”就在大腦的思維中建構(gòu)起來了，教師再適時(shí)點(diǎn)題，提出“全等形”的概念，接著教師把圖形換成三角形，拿出兩個(gè)形狀，大小完全相同的三角形，就比較自然的過渡到全等三角形的概念，這樣在學(xué)生的思維空間中得到了自然生長(zhǎng)。這是一種結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是將數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)行有效對(duì)接，是建立在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)和學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，在知識(shí)的形成與演化的過程中把握數(shù)學(xué)本身的邏輯結(jié)構(gòu)，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)和完善以此洞悉學(xué)生身心發(fā)展的基本規(guī)律。在教學(xué)案例中教師從讓學(xué)生觀察圖形到如何辨別圖形喚醒了學(xué)生對(duì)全等的整體認(rèn)知，在“感性經(jīng)驗(yàn)”的支撐下建立全等的直觀表象，從更高層次辨別的方法上把握了學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生重新建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)。

【片段二】關(guān)系探究，理解概念

師：我把這兩個(gè)三角形重合在一起之后，你發(fā)現(xiàn)了我們可以把這兩個(gè)三角形稱之什么？

生：全等三角形。

讓學(xué)生總結(jié)全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，全等用符號(hào)“≌”表示，讀作全等三角形。學(xué)生在學(xué)習(xí)全等三角形的概念上從具體特殊的研究中發(fā)現(xiàn)共性，普遍性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與知識(shí)。在探索過程中提煉出概括數(shù)學(xué)概念素養(yǎng)。

師：適時(shí)展示三角形經(jīng)過平移，翻折180°，旋轉(zhuǎn)之后是否還是全等三角形考察學(xué)生，如：

師：上面圖形位置變化了，仍然全等嗎？

生：會(huì)，雖然位置改變，但是形狀，大小沒有改變這個(gè)事實(shí)，即平移，翻折，旋轉(zhuǎn)前后圖形仍然全等。

師：那么位置改變后，我們只需要將它們重合在一起比較形狀，大小，那么是不是隨意疊在一起呢？

生：肯定不是，在討論交流中學(xué)生就會(huì)在大腦上思考出如何重合在一起的方法，答依據(jù)角度大小等判斷方法。從位置變化到是否全等？如何判斷等問題層層深入，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏在具體數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思維方法。

教師：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角，因此圖①△ABC≌△DEF。

師：說說圖②，圖③的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

教師總結(jié)：圖②中對(duì)應(yīng)邊AB和DB按照對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的順序?qū)?，為了今后方便不能寫成AB對(duì)應(yīng)邊BD，對(duì)應(yīng)的字母按照重合的順序?qū)憽?/p>

在圖形的三種變換下理清全等三角形判斷方法，這兩部分知識(shí)整合在一起學(xué)習(xí)，將學(xué)生認(rèn)知進(jìn)行整合來研究關(guān)系，找到聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)建構(gòu)，用思維帶動(dòng)知識(shí)學(xué)習(xí)，著力于同類之間邏輯關(guān)聯(lián)的整體結(jié)構(gòu)，初步從知識(shí)系統(tǒng)化走向思維結(jié)構(gòu)化。

【片段三】實(shí)踐運(yùn)用，拓展思維

（出示變式練習(xí)）

（1） 圖①△ABE≌△ACD，用字母表示出這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，讓學(xué)生找出并說明找的方法！

（2） 圖②與圖③直接讓學(xué)生表示全等三角形，并且表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

翻轉(zhuǎn)，平移，旋轉(zhuǎn)之后的變式圖形的練習(xí)是對(duì)學(xué)生思維的鞏固，先從一些具體的研究中發(fā)現(xiàn)全等的共性、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與其他知識(shí)的關(guān)系，通過知識(shí)變式提煉出數(shù)學(xué)思想和方法。因?yàn)橹挥凶プ∪热切闻c圖形變換之間的聯(lián)系，才能更好地把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、生成知識(shí)。

【片段四】回顧反思，總結(jié)方法

師：回顧剛才的練習(xí)，你有什么哪些方法判斷全等？

（讓學(xué)生討論匯報(bào)全等三角形對(duì)應(yīng)元素的方法）

生：可以通過題目給出的兩三角形△ABE≌△ACD中找出對(duì)應(yīng)元素，觀察圖形中角度大小相等以此讓學(xué)生掌握全等的認(rèn)識(shí)。“回頭看”這種思維活動(dòng)，學(xué)生能從圖形平移，旋轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)之后依然能判斷全等，聯(lián)想到知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)是今后學(xué)習(xí)的持續(xù)生長(zhǎng)力，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)有效地促進(jìn)學(xué)生自覺的進(jìn)行比較，總結(jié)和反思。不斷引領(lǐng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行回顧反思，使零散的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)匯聚起來，使得學(xué)生能夠條理化清晰化去認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。

在今后學(xué)習(xí)中，將概念的教學(xué)置于由易到難、螺旋上升的整體性知識(shí)系統(tǒng)中，采用遞進(jìn)式、整體性的教學(xué)推進(jìn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的萌芽、產(chǎn)生、辨析、比較、建模的過程，理解概念的本質(zhì)意義，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法優(yōu)越性，形成結(jié)構(gòu)化思維。比如，在教學(xué)《矩形》的概念時(shí)讓學(xué)生觀察一般的平行四邊形到矩形的變化過程，從而得出矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。抓住了平行四邊形與矩形的聯(lián)系，這一看似抽象的過程、始終聯(lián)系具體實(shí)例展開，始終致力于讓學(xué)生用自己的語言來描述學(xué)習(xí)體會(huì)和領(lǐng)悟。認(rèn)知心理學(xué)家布魯納指出，學(xué)習(xí)過程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織過程。然而，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織是由科學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的內(nèi)化和活化來實(shí)現(xiàn)的。所以，認(rèn)知心理學(xué)家既強(qiáng)調(diào)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用，也強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，認(rèn)為具有內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的材料與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，新舊知識(shí)發(fā)生相互作用，新知識(shí)在學(xué)生頭腦中才能獲得新的意義。只有通過這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，我們才能弄清相關(guān)概念的直觀背景，包括如何能將新的概念與先前已掌握的其他概念很好地聯(lián)系起來。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)