張小川 董濤

定角對定邊類問題在各地的中考試題中屢見不鮮，且多以壓軸題的形式出現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上，進一步思考：當問題中出現(xiàn)“定角定高”、“定角定中線”、“定角定角平分線”時，又該如何轉(zhuǎn)化？

為使讀者清楚問題的背景，先給出定角對定邊的基本問題.如圖1，線段AB的長是定長，在平面內(nèi)一點C，∠ACB度數(shù)為定值，則點C的運動軌跡是三角形ABC外接圓上的圓弧，解決與之相關(guān)的問題，通常做法是作出三角形ABC的外接圓[1][2]，外接圓的位置和半徑是固定不變的.這個結(jié)論在諸多文獻都有討論，文[1]和文[2]說明了這種方法的正確性，本文嘗試探索“定角定高求最值”“定角定中線求最值”“定角定角平分線求最值”的轉(zhuǎn)化思路.

1 ?定角定高求最值

1.1 定角為直角

如圖2，∠ACB=90°恒定不變，點C到直線AB的距離CD=a為定值，角的兩邊與直線交于A、B兩點，在∠ACB繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，求線段AB長度的最小值和△ABC面積的最小值.

分析 ?如圖3，因為∠ACB=90°保持不變，容易想到作△ABC的外接圓O，設(shè)半徑為r.

在∠ACB繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，外接圓O的位置和大小也隨之改變.

連接OC，則OC=r，AB=2r，要計算AB的最小值，可以計算r最小值.