高長(zhǎng)玉

(安徽省淮南市第二中學(xué) 232001)

“兩角差的余弦公式”(簡(jiǎn)稱差余公式)是經(jīng)典內(nèi)容，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，包含了豐富的數(shù)學(xué)思想與方法.本課的教學(xué)對(duì)學(xué)生獲得“四基”、提升“四能”、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)都很有作用.本文在分析這一內(nèi)容教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為指向，給出筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)，敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.

1 教學(xué)現(xiàn)狀分析

1.1 教材現(xiàn)狀

對(duì)比幾種不同版本教材，發(fā)現(xiàn)對(duì)本節(jié)知識(shí)引入與展開的處理方式有所不同：

(1)人教A版：先在章頭圖創(chuàng)設(shè)了一個(gè)涉及兩角和三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題情境，再在單位圓中推導(dǎo)α,β為銳角，且α>β時(shí)的兩角差余弦公式cos(α-β)，最后再借助向量工具證明α,β取任意角的一般情況.

(2)人教B版：直接提出“如何計(jì)算α+β，α-β的三角函數(shù)”，隨即給出公式.

與北師大版教材處理方式類似，蘇教版和湘教版教材也采用向量數(shù)量積引導(dǎo)出差余公式.

1.2 課堂教學(xué)現(xiàn)狀

受教材編寫意圖引導(dǎo)、教師理念和學(xué)生能力差異等因素的影響，目前對(duì)本節(jié)知識(shí)引入與展開常見以下幾種方式.

(1)問題鋪墊、單刀直入式

按人教B版的方式，教師先是拋出諸如“如何求值sin75°,cos15°”的問題引出課題“兩角和與差的余弦公式”，再用向量法推導(dǎo)差余公式.

(2)情境設(shè)置、“猜想”指引式

教師設(shè)置類似于人教A版章頭圖中實(shí)際應(yīng)用的問題情境，引入研究課題，繼而呈現(xiàn)諸如：

cos30°=cos(60°-30°)

cos90°=cos(120°-30°)

=cos120°cos30°+sin120°sin30°=0，

的結(jié)論，讓學(xué)生直觀感知，猜想公式，再引導(dǎo)學(xué)生用向量法給予證明.

(3)“巧設(shè)”問題、引導(dǎo)“探究”式

教師設(shè)置諸如“已知a=(cos75°,sin75°),b=(cos45°,sin45°),試求a·b的值”的問題，然后給出計(jì)算a·b的兩種方法：

解法一：a·b=cos75°cos45°+sin75°·sin45°；

解法二：a·b=a·bcos30°=cos30°，

再猜想公式，并用向量法證明.

對(duì)于上述知識(shí)引入、展開的方式，筆者認(rèn)為有以下幾個(gè)值得商榷的問題：

第一，設(shè)置的問題有些突兀，不自然，不連貫，教師的主觀意志強(qiáng)；

第二，缺乏必要的引導(dǎo)，公式的發(fā)現(xiàn)成為“被發(fā)現(xiàn)”，導(dǎo)致學(xué)生思維的參與度不高.

第三，沒有顧及學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備現(xiàn)狀，在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)上都存在欠缺.

2 教學(xué)再設(shè)計(jì)

針對(duì)上述問題，并考慮到筆者所在學(xué)校是省級(jí)示范高中，生源狀況較好的實(shí)際，筆者對(duì)本課的教學(xué)進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，通過教學(xué)實(shí)踐檢驗(yàn)，收到較好效果.下面呈現(xiàn)幾個(gè)片斷.

片斷一設(shè)置問題情境、引入新課

問題(1) 前面我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過許多三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，你能寫出一些與大家分享嗎？

問題(2) 通過這些誘導(dǎo)公式你能提出一些新問題嗎？你有哪些初步的判斷？

對(duì)于問題(1)，要求學(xué)生寫的越多越好；通過問題(1)的分享，為問題(2)的思考做好鋪墊.

通過對(duì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的舉例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行觀察、比較、分析，初步判斷兩角和與差的正余弦函數(shù)sin(α±β),cos(α±β)與兩個(gè)角的正弦sinα,sinβ和余弦cosα,cosβ都有關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖①通過對(duì)誘導(dǎo)公式共性的歸納，給兩角和與差的三角函數(shù)公式提供猜想的指向，即兩角和與差的正、余弦與兩角的正、余弦皆有關(guān)系(但不是簡(jiǎn)單的“分配律”的關(guān)系)；

②從誘導(dǎo)公式出發(fā)，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)提出問題，啟發(fā)學(xué)生從特殊到一般，思考兩角和與差的三角函數(shù)問題，有利于學(xué)生展開創(chuàng)造性思維，得出有關(guān)猜想.

片斷二猜想公式、知識(shí)展開

(1)研究對(duì)象的選擇

探究1： 兩角和的問題可以轉(zhuǎn)化為兩角的差嗎？反之呢？

探究2： 當(dāng)α,β都是銳角且α>β時(shí)，α+β一定為銳角嗎？α-β呢？

學(xué)生在完成這兩個(gè)探究之后，自然選擇了先研究差角的余弦.

設(shè)計(jì)意圖①讓學(xué)生體驗(yàn)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使其有一種金蟬脫殼的愜意；

②滲透從“特殊”入手的研究策略，幫助學(xué)生找到思維的切入點(diǎn).

(2)探究特殊結(jié)論

學(xué)生聯(lián)想到同樣是“特殊情況”的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法，自然會(huì)想到：可以考慮在直角坐標(biāo)系中，借助于單位圓，利用三角函數(shù)線探究銳角α-β的余弦函數(shù).

筆者用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生作如下思考：

問題1：如圖1，在單位圓中，為了便于作出角α-β的余弦線，你認(rèn)為設(shè)哪兩個(gè)角為α、β較為妥當(dāng)？

圖1

圖2

設(shè)∠AOx=α，∠AOB=β，如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥x軸(點(diǎn)C為垂足)，則cos(α-β)=OC.

由初步判斷，α-β的余弦與sinα,sinβ和cosα,cosβ都有關(guān)系.但對(duì)于角β，它的兩邊均不與x軸非負(fù)半軸重合，引導(dǎo)學(xué)生考慮構(gòu)造含角β的直角三角形.

問題2： 怎樣構(gòu)造含角β的直角三角形？你是如何想到的？

圖3

如圖3，學(xué)生一般會(huì)選擇過點(diǎn)B作BD⊥OA(點(diǎn)D為垂足),理由是“BD與BC方便建立聯(lián)系”.

問題3： 如圖3，在Rt△BOD中，已知什么，可知什么？

學(xué)生容易回答，已知∠AOB=β，OB=1,可知OD=cosβ，DB=sinβ.

問題4： 如何建立未知線段OC與已知線段OD、DB的聯(lián)系？

利用幾何畫板，分別用黃色、紅色閃現(xiàn)已知、未知線段，結(jié)合筆者在解題教學(xué)中經(jīng)常提到的“四個(gè)什么”——已知什么，可知什么，要知什么，想知什么.學(xué)生會(huì)想到把這兩條已知線段投影到x軸上，可使未知與已知聯(lián)系起來.

圖4

如圖4，過點(diǎn)D作DE⊥OC(點(diǎn)E為垂足),則OC=OE+EC.

啟發(fā)學(xué)生，要求OE，就要觀察OE所在的三角形，學(xué)生容易得出OE=OD·cos∠BOD=cosβ·cosα.

如何求EC的長(zhǎng)自然地成了一個(gè)呼之欲出的問題.

問題5： 在直角梯形ECBD中(如圖4)，可以知道哪些已知條件？

除了直角外，考慮到發(fā)現(xiàn)∠EDB=∠AOx=α有一定難度，可以借助多媒體將∠EDB與∠AOx的兩邊分別用綠色與紫色間隔性閃爍.

問題6： 在直角梯形中，求邊長(zhǎng)問題，我們常用的方法是什么？

學(xué)生一般有兩種轉(zhuǎn)化方法：一種是過點(diǎn)B作BF⊥DE(點(diǎn)F為垂足)(如圖5);另一種方法是過點(diǎn)C作CF∥BD交DE于點(diǎn)F.都可以得出EC=sinβ·sinα(如圖6).

圖5

圖6

因此，有結(jié)論cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提問，通過層層遞進(jìn)的問題引導(dǎo)學(xué)生思考與探究，給學(xué)生留下充分的悟的時(shí)間，使公式的發(fā)現(xiàn)一步步拾階而上.

問題7： 基于研究問題所采用的“從特殊到一般”的歸納策略，你會(huì)提出怎樣的猜想？

學(xué)生容易得出猜想：對(duì)任意角α,β,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立.

追問：觀察表達(dá)式的右邊，從運(yùn)算上看是什么形式？這與前面我們學(xué)過的哪一種運(yùn)算在形式上類似？

學(xué)生容易想到平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.由于表達(dá)式右邊的結(jié)構(gòu)是x1x2+y1y2的形式，學(xué)生想到構(gòu)造向量(x1,y1)與(x2,y2)已是情理之中.

接著利用向量的數(shù)量積定義知猜想“正確”.

問題8： 你認(rèn)為以上推導(dǎo)天衣無縫嗎？

在學(xué)生滿足于成功的喜悅之際，突然這么一問，很有戲劇性，容易引起學(xué)生的好奇心和求知欲.

在學(xué)生百思不得其解的情況下，教師適時(shí)點(diǎn)撥，請(qǐng)他們回憶一下向量夾角的范圍.他們很快會(huì)意識(shí)到以上只是證明了“α,β∈[0,π]，且α>β時(shí)，猜想成立”.

設(shè)計(jì)意圖滲透由特殊到一般的歸納策略，通過觀察、歸納、猜想培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力；問題8的設(shè)計(jì)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的批判思維能力，對(duì)規(guī)范答題，解決“會(huì)而不對(duì)”、“對(duì)而不全”等問題很有幫助.

問題9： 針對(duì)以上角α與β的大小關(guān)系，你會(huì)作怎樣的分類？

當(dāng)α=β時(shí)，結(jié)論顯然成立；

當(dāng)α<β時(shí)，可以從兩個(gè)角度說明猜想成立：一是由誘導(dǎo)公式cos(α-β)=cos(β-α)，二是從余弦函數(shù)的奇偶性.

問題10： 現(xiàn)在已經(jīng)證明了“α,β∈[0,π]時(shí)猜想成立”，怎樣擴(kuò)大α,β的范圍？

學(xué)生意識(shí)到只要證明一個(gè)周期內(nèi)猜想成立，再根據(jù)周期性便知任意角時(shí)猜想也成立，學(xué)生通過自主探究，可以有以下兩種處理方法：

方法一：設(shè)α∈(π,2π]，β∈[0,π]，令α=π+θ，

則左邊=cos(π+θ-β)=-cos(θ-β)，

而右邊=cos(π+θ)cosβ+sin(π+θ)sinβ

=-(cosθcosβ+sinθsinβ)，

又cos(θ-β)=cosθcosβ+sinθsinβ，從而結(jié)論成立.

考慮到對(duì)稱性，β∈(π,2π]時(shí)結(jié)論也成立.至此，證明了“α,β∈[0,2π]時(shí)，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ”成立.

方法二：因?yàn)棣?β∈[0,π]時(shí)猜想成立，

所以α,β∈[-π,0]時(shí)猜想成立(因?yàn)橛嘞液瘮?shù)為偶函數(shù)).

所以α,β∈[-π,π]時(shí)猜想成立.

設(shè)計(jì)意圖“從揭露已有知識(shí)在解決新問題時(shí)遇到的困難開始，以引起學(xué)生的好奇心和求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究新知的積極性”[1]在這一思想的指導(dǎo)下，培養(yǎng)學(xué)生分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟由特殊到一般的歸納策略.

3 結(jié)束語

章建躍博士認(rèn)為，“四個(gè)理解(理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué))”是教師專業(yè)化發(fā)展的必由之路，也是提高教學(xué)質(zhì)量的根本保證.他同時(shí)強(qiáng)調(diào)，課堂教學(xué)要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，在整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的展開過程中，都要發(fā)揮“一般觀念”的作用，加強(qiáng)“如何思考”、“如何發(fā)現(xiàn)”的啟發(fā)和引導(dǎo).

在此思想的指導(dǎo)下，這節(jié)課本著一切數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)都從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，重視數(shù)學(xué)探究，關(guān)注學(xué)生發(fā)展.教學(xué)情境的設(shè)置既遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，又符合學(xué)生發(fā)展的需要，并輔之以信息技術(shù)手段，使得課堂教學(xué)科學(xué)而自然，“拉近”了教師、教材與學(xué)生之間的距離，學(xué)生身臨其境地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程，切實(shí)地感悟到數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題的思想方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的“四基”、“四能”，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等都具有非常積極的意義[2].