王明輝

一、引言

將一個國家核算期內(nèi)（通常是一年）實現(xiàn)的國內(nèi)生產(chǎn)總值與這個國家的常住人口（或戶籍人口）相比進行計算，得到的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（人均GDP），不僅是衡量各國人民生活水平的重要標準，而且是人們了解和把握一個國家的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，常作為經(jīng)濟學(xué)中衡量經(jīng)濟發(fā)展狀況的指標，是最重要的宏觀經(jīng)濟指標之一。特別是從2010年起，我國GDP總量超越日本位居世界第二后，主流意識都逐漸強調(diào)起人均GDP的重要性，這是一種必要的戒驕戒躁、理性清醒和自覺，因為我國的人均GDP和發(fā)達國家相比差距還很大，要認識到“第二大”并不等于“第二強”。所以，較為精確地分析并預(yù)測人均GDP的變化趨勢是非常有必要的。

在過去的70多年里，時間序列分析，尤其是線性時間序列ARIMA模型[1]發(fā)展迅速、成果豐富。其研究日趨成熟，并得到廣泛且非常成功的應(yīng)用。然而在很多領(lǐng)域，例如在經(jīng)濟、金融、環(huán)境、氣象和生物等諸多領(lǐng)域，存在著大量涉及非線性時間序列的問題，用線性時序分析方法去研究和解決這些問題，易丟失信息，效果欠佳。經(jīng)驗表明，非線性時間序列分析方法在這些領(lǐng)域已經(jīng)取得成功的應(yīng)用。非線性時間序列，哪怕是很簡單的非線性時間序列，都能顯示出奇異的現(xiàn)象，足以令人新奇不已。況且，非線性時間序列分析與許多非線性科學(xué)領(lǐng)域有著密切的聯(lián)系，例如與混沌、分形和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域均有密切的關(guān)系。這也說明非線性時間序列能表現(xiàn)出更豐富、更復(fù)雜的客觀現(xiàn)象，比線性時間序列有著更廣闊的應(yīng)用前景，能解決許多復(fù)雜的實際問題。事實上，在很多領(lǐng)域，已經(jīng)顯示出非線性時間序列分析的應(yīng)用前景。因此，近年來對非線性時間序列分析的研究受到廣泛關(guān)注[2]。

研究非線性時間序列，很難仿效或沿用已有的線性時間序列的理論與方法，而且所面臨的困難也遠遠超過線性情況。正像在其他非線性科學(xué)領(lǐng)域一樣，人們遇到了許多新的激動人心的挑戰(zhàn)。常見的處理非線性關(guān)系的方法有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機、投影尋蹤和基于樹的方法等高計算強度方法。然而，這些方法要么在實際使用過程中有很大的局限性，要么得到的結(jié)果無法解釋。使用半?yún)?shù)模型來模擬非線性關(guān)系則在一定程度可以避免這些問題。

半?yún)?shù)模型是二十世紀八十年代發(fā)展起來的一類重要的統(tǒng)計模型。這類模型由于引入了表示模型誤差或其他系統(tǒng)誤差的非參數(shù)分量，因而既含有參數(shù)分量，又含有非參數(shù)分量，兼顧了參數(shù)模型和非參數(shù)模型的優(yōu)點，較之參數(shù)模型或非參數(shù)模型有更大的適應(yīng)性，也具有更強的解釋能力，同時又可避免許多“維數(shù)災(zāi)難”問題。

因此，本文采用1978～2016年的人均GDP數(shù)據(jù)，嘗試建立半?yún)?shù)時間序列模型，通過分析其變化特征，預(yù)測未來三年的數(shù)值，并給出其95%的置信區(qū)間，以期對現(xiàn)有模型進行一定程度的擴充，同時給未來的研究者提供一定的借鑒意義，也可為促進經(jīng)濟更好更快地發(fā)展提供參考依據(jù)。

二、半?yún)?shù)時間序列模型

半?yún)?shù)時間序列模型是一類非線性時間序列模型的統(tǒng)稱，包括可加、單指標和變系數(shù)等模型，其中一種較為簡單的模型為具有自回歸誤差項的部分線性模型。Yu等[3]對于具有獨立同分布誤差項的自回歸模型，假定回歸函數(shù)來自某個參數(shù)分布族，使用條件最小二乘方法得到參數(shù)估計后，再運用非參數(shù)核方法進行調(diào)整，最后證明了回歸函數(shù)估計量具有弱相合性。Farnoosh和Mortazavi[4]則將該方法運用到具有一階自相關(guān)誤差項的自回歸模型中。Farnoosh等[5]研究了具有獨立同分布誤差項的部分線性自回歸模型中回歸函數(shù)的半?yún)?shù)估計和性質(zhì)。

本文主要采用具有一階自回歸誤差項的部分線性模型：

三、人均GDP的實證分析

1.數(shù)據(jù)預(yù)處理

圖1 人均GDP時序圖

本文主要研究1978～2016年的人均GDP（1978年=100），原始數(shù)據(jù)Yt來源于《中國統(tǒng)計年鑒—2017》，對于=Yt/1000繪制時序圖。

圖2 一階差分序列時序圖

從圖1可看出該序列在這39年間呈曲線增長趨勢，顯然非平穩(wěn)，一階差分后的時序圖見圖2，仍顯示不平穩(wěn)，但二階差分后在顯著性水平0.05下，變?yōu)榘自肼曅蛄校虼瞬贿m合采用ARIMA模型進行擬合。

2.模型建立

取 g（x，θ）=θex，采用上節(jié)所述方法建立具有一階自回歸誤差項的部分線性時間序列模型，所得擬合方程如下：

圖3 的真實值（實線）與估計值（虛線）對比

3.模型檢驗

對參數(shù)進行顯著性檢驗，結(jié)果顯示在表1中，因此在0.05的顯著性水平下，三個參數(shù)均顯著。

表1 參數(shù)顯著性檢驗結(jié)果

圖4 殘差序列Q-Q圖

圖4為殘差序列的Q-Q圖，用來描述殘差序列是否服從正態(tài)分布。圖中的數(shù)據(jù)點基本上按照對角直線排列，趨于一條直線，并被對角直接穿過，且有95%的樣本點落在[-2，2]值區(qū)間內(nèi)，故應(yīng)認為殘差序列近似服從正態(tài)分布。再加上采用Shapiro-Wilk正態(tài)性檢驗方法，所得統(tǒng)計量的值為0.9682，對應(yīng)的P值為0.3618，更加印證了殘差序列具有正態(tài)性。兩者從側(cè)面反映了本節(jié)方法的擬合效果。

4.模型預(yù)測

利用上節(jié)模型預(yù)測2017～2019年的，并還原為人均GDP，所得結(jié)果見表2，同時給出它們的95%置信區(qū)間，預(yù)測結(jié)果延續(xù)了該序列的增長趨勢，2019年的數(shù)據(jù)將突破3000，會是1978年的30倍。

表2 2017～2019年的預(yù)測值

5.與其他模型的比較

前面已經(jīng)做過分析，該人均GDP序列不適合采用ARIMA模型進行擬合，為了說明本文方法的可行性，我們采用二次回歸、三次回歸、指數(shù)回歸和冪模型進行建模，各方法所對應(yīng)方程如下：

表3列出了本文所用方法與其他方法的參數(shù)估計和模型匯總。經(jīng)過顯著性檢驗，發(fā)現(xiàn)上述模型的擬合方程均在0.05的顯著性水平下顯著，同時模型殘差也能通過正態(tài)性檢驗。只有兩個參數(shù)在該顯著性水平下不顯著，刪除這兩個參數(shù)后的擬合方程也包含在表中。與其他方法相比，本文采用的方法擬合效果較好，具有一定的優(yōu)越性。

四、結(jié)語

本文以我國人均GDP為研究對象，利用1978～2016年的數(shù)據(jù)，通過建立半?yún)?shù)時間序列模型分析其變化特征，并預(yù)測了未來三年的數(shù)值，給出了其95%的置信區(qū)間。該方法不僅是對現(xiàn)有模型的擴展，而且具有一定的參考價值和實用價值。

不可否認，該建模方法也存在一定的難點和不足。首先，模型的定階存在一定難度，即Yt和ut滯后階數(shù)的確定暫時沒有較為完善的方法。其次，參數(shù)分布族{g（x，θ）；θ∈Θ}的確定也具有一定的難度，且直接影響模型的擬合效果。這些難點都對研究者提出較大挑戰(zhàn)，需要其較為準確地把握數(shù)據(jù)本身的趨勢，這將是我們下一步的研究重點。

表3 參數(shù)估計和模型匯總