高中數(shù)學(xué)中排列組合的學(xué)習(xí)要點(diǎn)探討

曾辰宇

摘 要：在高中的數(shù)學(xué)課程中，排列組合是學(xué)習(xí)重點(diǎn)，本文主要研究高中數(shù)學(xué)中排列組合的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，總結(jié)了三種解決問(wèn)題的方法，分別是直接法、插空法、間接法。直接法要挑選出題目中的重點(diǎn)條件，插空法用于多個(gè)元素要求按照不相鄰條件排列的情況，間接法在解決問(wèn)題要先忽略題目中的一些附件條件。最后討論排列組合知識(shí)在密碼破解中的作用，希望能為關(guān)注此話(huà)題的研究學(xué)者提供參考意見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：排列組合；插空法；密碼

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們比較關(guān)注數(shù)學(xué)思想，比較注重排列和組合這兩大計(jì)數(shù)原理在數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用。同時(shí)也注重這兩種計(jì)數(shù)方式在本質(zhì)上的區(qū)別和聯(lián)系。在做題時(shí)我們往往都能寫(xiě)出解題過(guò)程，但是解出的答案卻不正確。所以在做題時(shí)要掌握對(duì)題目化繁為簡(jiǎn)的方法，也要將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。要對(duì)排列組合的知識(shí)有更深層次的理解，真正學(xué)會(huì)如何辨別排列和組合。

1直接法

直接法適用于解決一部分的排列組合問(wèn)題，挑選出題目中的重點(diǎn)條件，分析這些條件中的各個(gè)元素，判斷題目中的限制基礎(chǔ)，進(jìn)而考慮其他的多種元素問(wèn)題。比如重點(diǎn)考慮其中的位置元素，確定題目中限制位置的主要要求，之后再考慮其他的條件。一道排列組合的題目是這樣的：某次教務(wù)工作人員排列班級(jí)的課程表，課程表的課程有化學(xué)、物理、生物、語(yǔ)文。課程安排有特殊的要求，就是物理課程不能被安排在第二節(jié)課上，也不能安排在第三節(jié)課上，此時(shí)課程的安排方式有多少種？在解答這一排列組合的題目時(shí)，要抓住關(guān)鍵的限制要求，就是物理課程不能安排在第二節(jié)課上，也不能安排在第三節(jié)課上，所以要先思考物理課程如何安排，此時(shí)物理課程只能被安排在第一節(jié)課上或者是第四節(jié)課上，所以物理課程的排列方式有[C12]種，之后再考慮其它的課程要如何安排。此時(shí)可以按照隨機(jī)排列的方式來(lái)安排，組合方式共有[A33]種，此時(shí)這四個(gè)學(xué)科的排列方式共有[C12A33]=12種。

2間接法

間接法能夠解決一部分的排列組合問(wèn)題，使用這種方法解決問(wèn)題就是要先忽略題目中的一些附件條件，之后再計(jì)算排列組合的數(shù)量，接著將附加條件考慮在內(nèi)，計(jì)算出不符合題目要求的數(shù)量，最后前后相減，得出題目的答案。有這樣一道題：學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，現(xiàn)有5名男同學(xué)、4名女同學(xué)，要從這些學(xué)生中挑選出3名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，而且挑選的學(xué)生既要有女生，還要有男生。請(qǐng)問(wèn)共有多少中挑選方式。如果使用直接法來(lái)解決這一問(wèn)題，難度較大，思考起來(lái)比較復(fù)雜。所以應(yīng)該使用間接法來(lái)解決這一問(wèn)題。題目中的一個(gè)附件條件是組合方式中必須要同時(shí)有男生和女生，間接法就是先忽略這一條件。這樣問(wèn)題就變成了從9名學(xué)生中挑選3名學(xué)生，此時(shí)組合方式共有[C39]。之后思考附加條件，考慮其中的兩種情況，一種是挑選的3名學(xué)生都是男生，另一種是挑選的3名學(xué)生都是女生，要把這兩種情況剔除，挑選的3名學(xué)生都是女生的組合方式有[C34]，挑選的3名學(xué)生都是男生的組合方式有[C35]，最后列出這道題的最終算式：[C39]-[C34]-[C35]=70種。

3插空法

插空法能夠解決一部分的排列組合問(wèn)題，這種方法適用于多個(gè)元素要求按照不相鄰條件排列的情況。其中一些元素沒(méi)有限制條件，先把這些元素排列好。之后將有限制條件的元素插入其中。此時(shí)列好的算式就與題目的要求完全符合。比如：學(xué)校組織學(xué)生和老師一起去電影院看電影，在電影院內(nèi)，一排座位的數(shù)量是12個(gè)，4名老師和8名學(xué)生坐一排，要求是教師不能相鄰，而且要坐在學(xué)生中間，那么一共有多少種排列方式？可以利用插空法來(lái)解答這一題目。學(xué)生位置沒(méi)有限制條件，組合方式共有[A88]種。老師的位置有限制條件，8個(gè)學(xué)生之間有7個(gè)空檔，將4名老師安排在這7個(gè)空檔位置上，安排的方式共有[A47]種。所以這道題的最終算式就是[A88A47]。這一題目的本質(zhì)是不相鄰排列問(wèn)題。其中有條件限制的是老師的座位，而安排學(xué)生的位置不受限制，所以要使用插空法特殊安排老師的位置。也就是說(shuō)要先安排沒(méi)有條件限制的元素，之后再安排有條件限制的元素。這樣問(wèn)題的解決就會(huì)變得比較容易。

4密碼問(wèn)題

當(dāng)前互聯(lián)網(wǎng)獲得了良好的發(fā)展，密碼的應(yīng)用也變得很有必要，能夠有效保護(hù)用戶(hù)的隱私，能夠有效規(guī)避黑客襲擊，確保用戶(hù)的自身權(quán)益不受侵害。密碼的作用是驗(yàn)證用戶(hù)的身份，而且這種方式比較方便，在網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用比較廣泛。學(xué)習(xí)密碼所有排列組合的知識(shí)，能夠了解密碼所有存在的排列可能，進(jìn)而保證自己所設(shè)密碼的安全性。以銀行卡密碼為例，設(shè)置的密碼是六位數(shù)，運(yùn)用排列組合的知識(shí)，解決“六位數(shù)的密碼共有多少種排列組合方式”這一問(wèn)題，答案是106。在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)十分發(fā)達(dá)的條件下，很有可能在較短的時(shí)間內(nèi)，就將銀行卡密碼破解，所以六位數(shù)的銀行卡密碼并不安全，銀行為了切實(shí)保障用戶(hù)的財(cái)產(chǎn)安全，規(guī)定銀行卡如果一天內(nèi)三次輸入的密碼都是錯(cuò)誤的，那么銀行卡就會(huì)被鎖定。此時(shí)犯罪分子如果想要破解六位數(shù)的密碼，一天只能?chē)L試兩次，將所有的可能都嘗試一遍需要花費(fèi)1369年。這樣破解銀行卡密碼的難度就變得很大。其他的密碼，比如QQ密碼、微信密碼都需要設(shè)置英文字母大小寫(xiě)，還要與數(shù)字、符號(hào)結(jié)合，這樣才能保證密碼的安全。在實(shí)際生活中，黑客破解密碼使用的方法是順序排列組合，所以我們要養(yǎng)成不定期更改密碼的習(xí)慣，這樣密碼就永遠(yuǎn)不會(huì)被破解。

5總結(jié)

綜上所述，古典概率論和排列組合之間有著十分緊密的聯(lián)系，這兩種知識(shí)覆蓋各個(gè)領(lǐng)域，有著十分廣泛的應(yīng)用范圍。如今計(jì)算機(jī)技術(shù)快速發(fā)展，其中編碼程序、升級(jí)軟件構(gòu)架都是在排列組合的知識(shí)基礎(chǔ)下完成的，所以作為一個(gè)高中生，要熟練掌握排列組合相關(guān)知識(shí)，為日后步入大學(xué)乃至社會(huì)打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]謝瀅欣.高中數(shù)學(xué)中排列組合問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（19）：134.

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