趙雷廷

(中國鐵道科學研究院集團有限公司 機車車輛研究所， 北京 100094)

地鐵牽引傳動系統(tǒng)具有功率大、調(diào)速范圍寬、啟動轉(zhuǎn)矩高等特點。由于受到開關(guān)損耗以及散熱限制，系統(tǒng)牽引變流器開關(guān)頻率通常設置較低，且采用分段同步調(diào)制技術(shù)[1]，因此，會在一定程度上影響電機矢量控制中電流調(diào)節(jié)的充分發(fā)揮。針對上述問題，在20世紀90年代業(yè)界提出了一種異步電機間接定子量控制策略[2-4](Indirect Stator-quantity Control,ISC)，其通過對定子磁鏈軌跡的跟蹤實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩控制，不僅可以充分利用開關(guān)頻率，減小峰值電流以及電機諧波損耗，而且還有效規(guī)避了直接轉(zhuǎn)矩控制在低速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)矩脈動大、控制特性差的問題[5]。文章利用小信號分析法建立了ISC控制策略的近似線性化等效模型，進而推導出既考慮控制帶寬又保證穩(wěn)定裕度的電機轉(zhuǎn)矩及定子磁鏈PI調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定方法。

此外，由于地鐵車輛運行過程中存在網(wǎng)側(cè)電壓波動、直流側(cè)濾波電感和支撐電容參數(shù)受限制選取以及牽引變流器-異步電機系統(tǒng)在ISC控制策略下呈現(xiàn)的負阻抗特性等不利因素，系統(tǒng)直流側(cè)電壓、電流將很容易產(chǎn)生持續(xù)振蕩，從而引起電機輸出轉(zhuǎn)矩脈動[6]。近年來，國內(nèi)外眾多學者針對上述問題已經(jīng)展開了一定分析并提出了相應的解決措施[7-9]，將牽引變流器-異步電機系統(tǒng)簡單等效為一個降低系統(tǒng)阻尼系數(shù)的恒定負阻抗[10]。本文則在上述理論基礎上，將ISC近似線性化等效模型與直流側(cè)輸入濾波器模型相結(jié)合，建立了牽引傳動系統(tǒng)綜合線性化等效模型，從而將牽引變流器—異步電機系統(tǒng)等效為隨系統(tǒng)工作點移動而實時變化的線性化輸入導納模型，繼而展開系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，并提出了一種主動穩(wěn)定控制器，有效的抑制了直流側(cè)振蕩現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 異步電機ISC控制策略

1.1 線性化等效模型建立

結(jié)合異步電機數(shù)學模型、牽引變流器脈寬調(diào)制模型最終建立ISC控制策略近似線性化等效模型。

根據(jù)等效電路可以得到異步電機數(shù)學模型式(1)

(1)

圖1 異步電機 型等效電路

考慮到控制系統(tǒng)為獲取電機定子電壓、定子電流的基波分量，其A/D采樣在當前開關(guān)周期中點進行，計算得到的開關(guān)時間在下一個開關(guān)周期起始處加載，因此，實際電機定子電壓相對于控制系統(tǒng)給定的指令電壓值將滯后半個開關(guān)周期，當忽略高頻諧波且施加網(wǎng)側(cè)電壓波動補償措施時牽引變流器脈寬調(diào)制策略線性化模型如式(2)

(2)

其中下標0表示對應變量的穩(wěn)態(tài)值，A(t)為一個開關(guān)周期內(nèi)求取變量平均值的函數(shù)，ωe則表示電機定子頻率。

為補償控制系統(tǒng)延時，ISC控制策略根據(jù)預測模型計算下一控制周期與當前控制周期的定子磁鏈空間矢量差值，從而得到下一控制周期的定子電壓給定值，實現(xiàn)對異步電機轉(zhuǎn)矩的控制。

圖2 定子磁鏈軌跡

因此可得到離散時間域下電機定子電壓給定值為式(3)

Rsis(t0+Td)

(3)

為建立ISC控制策略近似線性化等效模型，在連續(xù)時間域下定義控制系統(tǒng)給定電機定子電壓如式(4)所示

(4)

其中

(5)

定義變量如式(6)

(6)

則將式(4)和式(5)在系統(tǒng)工作點附近分別線性化，可以得到

usref(t)=KvTcucl(t)+KvTψψμ(t)+Ksis(t)

(7)

ucl=uc+Fωωm(t)+Fmrmr(t)

(8)

其中

uc=F(yref(t)-Ay(t))+Ffωyref(t)

(9)

(10)

(11)

us(t)=KvTcuc(t)+KvTψψμ(t)+Ksis(t)+

KvTcFmrmr+KvTcFωωm(t)-AGUdUd(t)

(12)

y(t)=DPuc(t)+Q(1-DA)GUdUd(t)+

(1-D)ωm(t)

(13)

其中

(14)

Q(s)=

(15)

(16)

根據(jù)得到的近似線性化等效模型建立ISC控制閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 ISC控制閉環(huán)系統(tǒng)框圖

1.2 PI調(diào)節(jié)器參數(shù)整定

為完善ISC控制策略近似線性化等效模型，則需要針對電機輸出轉(zhuǎn)矩以及定子磁鏈PI調(diào)節(jié)器的參數(shù)進行合理的整定。從圖3可以看出電機轉(zhuǎn)矩和定子磁鏈控制實現(xiàn)了近似解耦，繼而得到電機轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如式(17)～式(19)所示。

(17)

引入新的傳遞函數(shù)

(18)

≈e-Td·s×e-Td·s=e-Tk·s

(19)

則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可近似表示為

(20)

為使電機轉(zhuǎn)矩閉環(huán)控制系統(tǒng)具有較大的相角穩(wěn)定裕度，開環(huán)傳遞函數(shù)在其穿越頻率ωc附近應保持-20 db/dec的斜率，即一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率應盡可能的小于穿越頻率。

(21)

因此可以得到開環(huán)傳遞函數(shù)獲得目標穿越頻率ωcd時系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩PI調(diào)節(jié)器比例參數(shù)的表達式

KPI=Tσωcd-1

(22)

結(jié)合式(21)得到積分參數(shù)的限制函數(shù)

(23)

一般積分參數(shù)選取限制值的1/4時，系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應而且穩(wěn)態(tài)誤差較小

(24)

系統(tǒng)相角穩(wěn)定裕度公式如下所示

(25)

可以看出其第一項近似為76.3°，而第二項則與系統(tǒng)延時以及穿越頻率的大小相關(guān)，因此為保證一定的目標穩(wěn)定裕度φmd，目標穿越頻率限制函數(shù)如式(26)所示

(26)

電機定子磁鏈控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)亦可從圖3中得到式(27)

(27)

同理推導出其開環(huán)傳遞函數(shù)獲得目標穿越頻率ωμcd時定子磁鏈PI調(diào)節(jié)器比例參數(shù)的表達式(28)

(28)

其相角穩(wěn)定裕度公式為式(29)

(29)

因此為保證一定的目標穩(wěn)定裕度φμmd，目標穿越頻率限制函數(shù)如式(30)所示

(30)

2 基于ISC控制策略的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

圖4(a)所示為地鐵牽引傳動系統(tǒng)框圖，R為線路電阻與電感內(nèi)阻之和、L為濾波電感，C為支撐電容。如果將直流網(wǎng)側(cè)電壓E(t)與直流側(cè)電流id(t)作為牽引傳動系統(tǒng)的輸入，直流側(cè)電壓Ud(t)作為系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)輸入濾波器頻域下方程為式(31)

(31)

同時定義牽引變流器—異步電機系統(tǒng)等效輸入導納線性化模型為式(32)

(32)

因此可以得到如圖4(b)所示的牽引傳動系統(tǒng)線性化結(jié)構(gòu)圖。

圖4 地鐵牽引傳動系統(tǒng)框圖

繼而將牽引傳動系統(tǒng)整體穩(wěn)定性的分析歸結(jié)于對系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)YZDC的分析。

將ISC控制策略近似線性化等效模型與地鐵牽引傳動系統(tǒng)直流側(cè)濾波器模型相結(jié)合，最終可以將牽引變流器—異步電機系統(tǒng)等效為隨系統(tǒng)工作點移動而變化的輸入導納線性化模型如圖5所示。

圖5 輸入導納線性化模型

根據(jù)圖5推導出其精確表達式為

(33)

Gc11=

(34)

如圖(6)所示為系統(tǒng)在直流側(cè)電壓1 500 V，濾波電感5.2 mH，支撐電容8.6 mF，線路電阻與電感內(nèi)阻之和34.8 mΩ，電機等效漏感2 mH的條件下開環(huán)傳遞函數(shù)YZDC頻率域穩(wěn)定分析仿真結(jié)果，在幅頻特性曲線大于0的頻率范圍之內(nèi)相頻特性曲線穿越180°一次，根據(jù)奈奎斯特對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可知此時系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，整個系統(tǒng)將產(chǎn)生持續(xù)振蕩。

圖6 開環(huán)傳遞函數(shù)YZDC伯德圖

因此如何獲得理想的牽引變流器—異步電機等效輸入導納線性化模型，從而改善系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻、相頻特性成為了系統(tǒng)穩(wěn)定性設計的關(guān)鍵。

3 主動穩(wěn)定控制器設計

通過設計主動穩(wěn)定控制器在線修正電機輸出轉(zhuǎn)矩分量給定值，以獲得最終的理想牽引變流器—異步電機等效輸入導納線性化模型，修正公式如式(35)所示

(35)

其中Kst為主動穩(wěn)定控制器，B為帶通濾波器。傳遞函數(shù)ZDC由于濾波電感以及支撐電容參數(shù)受限制選取導致阻尼系數(shù)較小，因此在諧振頻率ω0附近其對數(shù)幅頻曲線有較大的尖峰，同時相角從90°突變至-90°，如果此時線性化輸入導納Y等效為復頻域下一向量，當Re{Y(ω0)}<0時，arg(YZDC(ω))必然穿越(2k+1)180°(k=0、±1、±2…)從而導致系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。設計的主動穩(wěn)定控制器分為兩個部分，其中Kω和KT分別用于穩(wěn)定當前等效輸入導納線性化模型即式(33)中的第1項Y1和第2項Y2。

采用主動穩(wěn)定控制器后理想的牽引變流器—異步電機等效輸入導納線性化模型如式(36)所示

(36)

根據(jù)式(33)和式(36)可以得到系統(tǒng)在惰性情況下即T0=0且KT=0時，理想輸入導納為

(37)

其中

(38)

因此可以得到

(39)

為抑制系統(tǒng)振蕩，提高穩(wěn)定性，則需要理想的等效輸入導納在復頻域下相角始終處于90°～-90°之間，至少在輸入濾波器諧振頻率附近滿足上述條件，繼而可以得到限制條件為

(40)

選取兩倍的限制值可以得到主動穩(wěn)定控制器Kω分量的表達式

(41)

同理為保證系統(tǒng)工作在牽引或者制動的工況下仍然處于穩(wěn)定狀態(tài)則還應滿足如式(42)要求

(42)

根據(jù)式(42)可以看出系統(tǒng)只有工作在帶寬頻率段且為牽引工況時才需要穩(wěn)定系數(shù)KT，因此設計KT如式(43)所示

(43)

結(jié)合式(41)推導出主動穩(wěn)定控制器精確模型為

(44)

ISC控制策略采用主動穩(wěn)定控制器之后的整體系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖如圖7所示，與圖6相比，在同一工作點下其幅頻特性曲線大于0的頻率范圍之內(nèi)相頻特性曲線沒有穿越(2k+1)180°，從而使得系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 仿真驗證

如圖8所示為基于主動穩(wěn)定控制器的異步電機ISC控制策略系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，利用定子磁鏈規(guī)劃最優(yōu)效率控制模塊獲得當前負載下能使異步電機效率達到最優(yōu)的定子磁鏈給定值；通過采用主動穩(wěn)定控制器得到電機輸出轉(zhuǎn)矩給定值，從而抑制直流側(cè)振蕩，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；結(jié)合預測模型計算結(jié)果，最終給出牽引變流器開關(guān)時間，驅(qū)動異步電機正常運行。

圖7 理想線性化導納下的開環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖

圖8 間接定子量控制策略結(jié)構(gòu)

基于上述控制策略利用Matlab進行系統(tǒng)仿真，圖9所示為電機轉(zhuǎn)矩(標幺值)以及定子磁鏈(交、直軸分量與合成矢量比值)波形，其具有良好的動態(tài)響應和微小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖9 電機轉(zhuǎn)矩及定子磁鏈波形

圖10給出了未采用主動穩(wěn)定控制器與采用主動穩(wěn)定控制器兩種情況下，地鐵牽引傳動系統(tǒng)主要變量的仿真波形對比。

可以看出系統(tǒng)采用基于主動穩(wěn)定控制器的ISC控制策略之后如圖10(b)所示，在轉(zhuǎn)速從0上升至3 300 r/min，運行工況由牽引→惰性→制動的過程中，消除了之前未采用主動穩(wěn)定控制器時如圖10(a)所示的系統(tǒng)振蕩現(xiàn)象，其直流側(cè)電壓Ud、網(wǎng)側(cè)直流電流ig以及電機輸出轉(zhuǎn)矩T變化平穩(wěn)。

圖10 牽引傳動系統(tǒng)運行仿真圖

5 結(jié) 論

利用小信號分析法，分別建立了系統(tǒng)在某一工作點的異步電機數(shù)學模型、牽引變流器脈寬調(diào)制等效模型從而得到ISC控制策略的近似線性化等效模型，推導出同時考慮系統(tǒng)控制帶寬以及穩(wěn)定裕度的電機轉(zhuǎn)矩、定子磁鏈PI調(diào)節(jié)器參數(shù)整定方法。結(jié)合地鐵牽引傳動系統(tǒng)直流側(cè)濾波器等效模型，將牽引變流器—異步電機系統(tǒng)等效為輸入導納線性化模型，繼而利用奈奎斯特對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)闡釋了直流側(cè)振蕩的機理，并在此基礎上提出了基于主動穩(wěn)定控制器的ISC控制策略，通過在線修正電機輸出轉(zhuǎn)矩給定值成功解決了地鐵牽引傳動系統(tǒng)振蕩的問題，確保了地鐵車輛的安全穩(wěn)定運行。