，，

(天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,天津 300387)

0 引言

隨機(jī)共振的概念是由Benzi等人[1]在1981年提出來(lái)的，當(dāng)時(shí)只是為了解釋地球古氣象冰川期與暖氣期的交替問題。在1983年, Fauve等人[2]依據(jù)隨機(jī)共振思想，在Schmitt觸發(fā)器電路中加入了一定強(qiáng)度的噪聲，奇跡地發(fā)現(xiàn)觸發(fā)器輸出的信噪比出現(xiàn)了一個(gè)峰值，即隨機(jī)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生，開創(chuàng)了隨機(jī)共振在信號(hào)處理領(lǐng)域中應(yīng)用的先河。在過去的二三十年里，隨機(jī)共振已成為強(qiáng)噪聲背景中弱信號(hào)檢測(cè)的重要方法之一[3-5]。

隨著社會(huì)與科技的發(fā)展，信息在人們的生活與生產(chǎn)中扮演著越來(lái)越重要的角色。然而在現(xiàn)實(shí)世界中，有信號(hào)的地方必然伴隨著噪聲的存在，對(duì)于如何在強(qiáng)噪聲背景下獲取微弱信號(hào)的問題已成為目前信息技術(shù)學(xué)科研究的熱點(diǎn)課題之一。隨機(jī)共振作為信息處理的重要工具之一，已在生物學(xué)、電子學(xué)、通信學(xué)、光學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6-10]。

在現(xiàn)有隨機(jī)共振領(lǐng)域的研究中[11-14]，應(yīng)用的背景噪聲大多是高斯白噪聲，高斯白噪聲是一種極為理想的噪聲，而部分信道環(huán)境中的噪聲往往含有較強(qiáng)的沖擊性，并不符合高斯分布，levy噪聲包含了多個(gè)隨機(jī)變量產(chǎn)生隨機(jī)因素的影響，能夠更好地描述這些沖擊特性。目前，以levy噪聲作為背景噪聲在級(jí)聯(lián)系統(tǒng)中的應(yīng)用還沒有得到研究。級(jí)聯(lián)系統(tǒng)作為微弱信號(hào)提取的重要工具之一，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和系統(tǒng)穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，再加上levy噪聲具有的普遍性，能夠使隨機(jī)共振的應(yīng)用領(lǐng)域更加寬廣。

1 Levy噪聲分布函數(shù)及其頻譜圖像

Levy噪聲又叫alpha噪聲，服從于alpha穩(wěn)定分布理論，是唯一滿足廣義中心極限定理的分布，其拖尾以平方律衰減。Levy噪聲的特征函數(shù)表達(dá)式[15]如下：

logφ(t)=

(1)

(2)

式(1)中，α∈(0,2)為特征指數(shù)，決定分布拖尾的衰減速率，當(dāng)α=1時(shí)為柯西分布，當(dāng)α=2時(shí)服從于均值為μ、方差為2σ2的高斯分布，當(dāng)α≠2時(shí)，分布的均值為μ，而方差不存在。β∈[-1,1]為偏斜參數(shù)，當(dāng)β=0時(shí)圖形左右對(duì)稱，當(dāng)β為正時(shí)，圖形向右傾斜，反之，圖形向左傾斜。σ>0為尺度參數(shù)，決定著分布關(guān)于μ的離散成度。μ∈R為位置參數(shù)，通過調(diào)節(jié)μ的值可以實(shí)現(xiàn)左右平移。RfalWeron[15]證明了levy分布隨機(jī)變量的表達(dá)式。式(2)中，V服從區(qū)間為(-2π,2π)的均勻分布，W服從均值為1的指數(shù)分布。Sα,β與Bα,β的定義表達(dá)式如下：

在β=0，σ=1和μ=0的條件下，不同的α特征指數(shù)所對(duì)應(yīng)的levy分布如圖1所示。由圖1可以看出，α越小，噪聲的沖擊性越強(qiáng)。本文采用文獻(xiàn)[16]的截?cái)喾椒?，?duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。

圖1 不同特征指數(shù)α所對(duì)應(yīng)的levy噪聲時(shí)域分布圖

2 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)原理

2.1 隨機(jī)共振系統(tǒng)模型

在所有隨機(jī)共振系統(tǒng)中，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)是最為典型的一種非線性系統(tǒng)，主要用于在強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)的增強(qiáng)檢測(cè)，已在生物、物理、化學(xué)等自然學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用。具有獨(dú)特雙勢(shì)阱結(jié)構(gòu)的朗之萬(wàn)方程(LE)可以作為描述雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的典型模型，其方程如下：

(3)

圖2 當(dāng)a=1，b=1時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的勢(shì)阱圖

2.2 粒子密度函數(shù)曲線及粒子相圖分布

方程(1)對(duì)應(yīng)的Fokker-Plank為：

(4)

其中：A(x)=ax-bx3+S(x)，B(x)=D。由于方程(4)為超越方程，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行直接求解，但可利用有限差分的方法對(duì)方程(1)進(jìn)行近似數(shù)值計(jì)算。設(shè)系統(tǒng)參數(shù)a、b分別為0.6和0.3，信號(hào)幅值A(chǔ)與頻率f分別為0.3和0.005，噪聲參數(shù)α、β、σ和μ分別為2、0、1和0，得到粒子密度概率分布曲線如圖3所示。圖3中，Line1、Line2和Line3的噪聲強(qiáng)度D分別為0、0.3和0.5。當(dāng)噪聲強(qiáng)度為0時(shí)，粒子密度分布如圖3(a)的Line1所示，此時(shí)粒子僅受信號(hào)的牽引，密度曲線相對(duì)光滑。噪聲強(qiáng)度D由0變?yōu)?.3后，由圖3(a)的Line2可以看出，粒子密度分布依然主要集中在零點(diǎn)的一側(cè)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度D增加到0.5時(shí)(圖3(a)的Line3)，粒子分布在零點(diǎn)的兩側(cè)，但左右兩側(cè)的分布并不均勻。從微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的角度上來(lái)解釋這一現(xiàn)象，當(dāng)噪聲強(qiáng)度D為0.3時(shí)，由于外界噪聲激勵(lì)強(qiáng)度不夠，粒子獲得的能量不足以使其越過勢(shì)壘，只能在一個(gè)勢(shì)阱中左右運(yùn)動(dòng)，所以對(duì)應(yīng)粒子的概率密度分布集中在零點(diǎn)的一側(cè)。至于其分布是在勢(shì)阱還是在右勢(shì)阱中，是由粒子在零點(diǎn)時(shí)刻所受信號(hào)的牽引與噪聲干擾的合力決定。當(dāng)噪聲強(qiáng)度為0.5時(shí)，粒子受到較強(qiáng)的噪聲激勵(lì)，獲得了足夠能量躍過勢(shì)壘從一個(gè)勢(shì)阱進(jìn)入了另外一個(gè)勢(shì)阱之中。此時(shí)，粒子在勢(shì)阱間的轉(zhuǎn)移會(huì)受到噪聲的影響，因此，粒子在零點(diǎn)兩側(cè)的分布并不是絕對(duì)對(duì)稱的，圖3(a)中的Line3只是這些隨機(jī)中的一個(gè)概率分布。將噪聲特征指數(shù)α改為1.8，其余所有參數(shù)與圖3(a)保持一致，采用文獻(xiàn)[16]的方法，將系統(tǒng)輸入信號(hào)幅值大于3的沖擊分量截?cái)嗟?，得到粒子密度分布如圖3(b)所示。從圖中可以看出，圖3(b)的Line1和Line2的分布規(guī)律分別與圖3(a)的Line2和Line3相似。

圖4為不同噪聲強(qiáng)度D激勵(lì)下隨機(jī)共振系統(tǒng)中粒子運(yùn)動(dòng)的相圖軌跡。其中，噪聲參數(shù)α、β、σ和μ分別為2、0、1和0，信號(hào)參數(shù)與圖3保持一致。圖4(a)、(b)、(c)和(d)的噪聲強(qiáng)度D分別為0、0、0.1和0.3。從微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的角度上對(duì)圖4進(jìn)行解釋。圖4(a)的系統(tǒng)參數(shù)a和b分別為0.1和0.5。從圖4(a)中可以看出，此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)相圖近似關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)勢(shì)壘高度ΔU為0.005，而信號(hào)幅值A(chǔ)為0.3，因此即使在沒有外力作用的情況下，粒子憑借信號(hào)的牽引依然可以跨躍勢(shì)壘，在2個(gè)中往復(fù)運(yùn)動(dòng)。圖4(b)的系統(tǒng)參數(shù)a和b分別為0.8和0.5，勢(shì)壘高度ΔU為0.32，大于信號(hào)幅值0.3，與圖4(a)的情況不同，在無(wú)外力協(xié)助下，粒子是無(wú)法躍過勢(shì)壘的，僅能夠在一個(gè)勢(shì)阱中往復(fù)運(yùn)動(dòng)。因此，圖4(b)的相圖軌跡分布在區(qū)間[1, 1.8]中。圖4(c)、(d)系統(tǒng)參數(shù)a和b分別為12.29和0.12。圖4(c)的噪聲強(qiáng)度較弱，粒子即使獲得了部分噪聲的能量也無(wú)法跨躍勢(shì)壘障礙，粒子僅能在一個(gè)勢(shì)阱中往復(fù)運(yùn)動(dòng)，與圖4(b)相似，由于受噪聲的干擾，其相圖分布軌跡已不如圖4(b)光滑和清晰。增加噪聲強(qiáng)度D，其余參數(shù)與圖4(c)保持一致，得到粒子的相圖軌跡如圖4(d)所示。此時(shí)粒子獲得足夠的外界激勵(lì)能量，跨躍勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)勢(shì)阱之中，相對(duì)來(lái)講，噪聲強(qiáng)度越大，粒子在勢(shì)阱間的跨躍頻率就越高。由于噪聲的強(qiáng)烈干擾，導(dǎo)致圖4(d)粒子往返的相圖軌跡無(wú)法重合，因此看起來(lái)比較模糊。

圖3 不同噪聲強(qiáng)度D激勵(lì)下系統(tǒng)輸出的粒子概率分布

圖4 不同噪聲強(qiáng)度D激勵(lì)下系統(tǒng)輸出的相圖

2.3 數(shù)值計(jì)算方法

本文采用信噪比[17]和頻譜值作為信號(hào)質(zhì)量改善指標(biāo)，由于levy噪聲的復(fù)雜性和待檢測(cè)信號(hào)的不確定，很難將信號(hào)和噪聲區(qū)分出來(lái)，信噪比只能近似的計(jì)算。首先利用信噪比作為信號(hào)質(zhì)量改善指標(biāo)，通過單級(jí)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出，找到微弱信號(hào)頻率所在的范圍，然后再以頻譜幅值作為信號(hào)質(zhì)量改善標(biāo)準(zhǔn)，增大微弱信號(hào)的功率。本文采用四節(jié)龍格庫(kù)塔法對(duì)公式(3)進(jìn)行求解，具體步驟如式(5)所示。

(5)

其中：h為采樣步長(zhǎng)，z為系統(tǒng)輸入信號(hào)，x為系統(tǒng)輸出信號(hào)。

3 Levy噪聲背景下級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。

圖5為級(jí)聯(lián)隨機(jī)共振系統(tǒng)仿真模型，其中l(wèi)evy噪聲是 由“From workspace” 模塊提供，基于該模型結(jié)構(gòu)搭建自適應(yīng)隨機(jī)共振系統(tǒng)。整篇文章的參數(shù)調(diào)節(jié)均基于該系統(tǒng)模型。

3.1 以信噪比為信號(hào)質(zhì)量改善標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)共振現(xiàn)象

固定levy噪聲參數(shù)α、β、σ和分別為0.5、0、1和0，微弱正弦信號(hào)幅度A與其頻率f0分別為0.3和0.005。圖6(a)、(b)分別是系統(tǒng)輸入信號(hào)的時(shí)域分布和頻域分布圖，從圖中可以看出，此時(shí)信號(hào)已完全湮沒在噪聲之中。設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)a與b的掃描區(qū)間分別為[0,1]和[0,1]，掃描步長(zhǎng)均為0.01，利用信噪比作為信號(hào)質(zhì)量改善指標(biāo)，得到系統(tǒng)輸出如圖7(a)、(b)所示。圖7(a)是系統(tǒng)輸出的時(shí)域分布圖，從圖中可以觀察到微弱周期信號(hào)的大致輪廓，從頻域圖(圖7(b))中，可以得到微弱信號(hào)的頻率為0.005 Hz，此時(shí)系統(tǒng)輸出信噪比為16.58 dB。

圖5 級(jí)聯(lián)隨機(jī)共振系統(tǒng)

圖6 系統(tǒng)輸入信號(hào)分布圖

圖7 系統(tǒng)輸出信號(hào)分布圖

然后，分析在不同特征參數(shù)α與β條件下，信號(hào)頻率0.005 Hz處的頻譜值跟隨雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a與b的變化趨勢(shì)。設(shè)a與b的掃描區(qū)間分別為[0,13]和[0,2]，掃描步長(zhǎng)均為0.01，保持信號(hào)參數(shù)與噪聲參不變，信號(hào)在0.005 Hz處的頻幅值隨a與b的變化趨勢(shì)如圖8所示。從圖8中得到，譜峰達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的a與b值分別為10.29和0.12。

圖8 系統(tǒng)輸出待測(cè)信號(hào)頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)a、b的變化

3.2 不同噪聲參數(shù)α與β下待測(cè)信號(hào)頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)a的變化趨勢(shì)

固定b為0.12，信號(hào)參數(shù)與圖7保持一致，噪聲參數(shù)σ和μ分別為1和0，設(shè)參數(shù)a的掃描區(qū)間為[0,14]，掃描步長(zhǎng)為0.01。得到不同參數(shù)α與β下待測(cè)信號(hào)的頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)a的變化趨勢(shì)，如圖9所示。從圖中可以看出，頻譜值隨a的變化出現(xiàn)了2個(gè)峰值。從微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的角度分析，當(dāng)a從0逐漸增大時(shí)，a剛開始太小，勢(shì)壘高度也很低，這時(shí)憑借粒子自身的能量就可以躍過勢(shì)壘，此時(shí)粒子并無(wú)獲得太多的噪聲能量。隨著a逐漸增大，勢(shì)壘有了一定的高度，但是a比較小，勢(shì)壘不是很高，粒子不用獲得太多的噪聲能量，就能躍過勢(shì)壘產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象，因此在a∈(0.3,0.8)中存在一個(gè)較為明顯的峰值。隨著a逐步增大，勢(shì)壘也隨之增高，粒子需要從噪聲中獲得一定的能量才能躍過勢(shì)壘，在a∈(10,11)時(shí)，信號(hào)頻譜出現(xiàn)了一個(gè)較高的峰值，三者(噪聲、信號(hào)和系統(tǒng))達(dá)到了最佳協(xié)同狀態(tài)，此時(shí)信號(hào)的頻譜值也是最高的。如果a接著增加，打破了三者的最佳協(xié)同狀態(tài)，因此頻譜值隨之下降。當(dāng)a大于13時(shí)，還會(huì)造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，有時(shí)出現(xiàn)系統(tǒng)輸出無(wú)解的狀態(tài)。再看頻譜值與α、β之間的關(guān)系，從圖9(a)、(b)中很容易發(fā)現(xiàn)，不同α與β下系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)a的變化趨勢(shì)基本相似，只是在幅值上有相應(yīng)的差別，當(dāng)a等于2時(shí)，信號(hào)的幅值最高。

圖9 不同噪聲參數(shù)α與β下待測(cè)信號(hào)頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)a的變化圖

3.3 不同噪聲參數(shù)α與β下待測(cè)信號(hào)頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)b的變化趨勢(shì)

固定a=10.29，設(shè)定b的掃描區(qū)間為[0,1]，掃描步長(zhǎng)0.01，其余參數(shù)與圖7保持一致, 圖10為待測(cè)信號(hào)的頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)b的變化趨勢(shì)。與圖9相似，當(dāng)b趨于0時(shí)，勢(shì)壘高度趨于無(wú)窮大，這與圖9中a較大時(shí)情形一樣，此時(shí)粒子很難躍過勢(shì)壘，勢(shì)壘高度隨著b的增大而減小，當(dāng)b在[0.05,0.2]區(qū)間時(shí)，出現(xiàn)了多個(gè)較高的尖峰值。同樣，從圖中的趨勢(shì)可以看出，系統(tǒng)參數(shù)b的最佳區(qū)間受levy噪聲參數(shù)α、β的影響不大，可將最佳參數(shù)b的區(qū)間鎖定在[0.08,0.15]中，不同α、β所對(duì)應(yīng)的最高幅值差別均浮動(dòng)在一個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)。

圖10 不同噪聲參數(shù)α與β下待測(cè)信號(hào)頻譜值隨系統(tǒng)參數(shù)b的變化圖

3.4 levy噪聲驅(qū)動(dòng)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)響應(yīng)

噪聲與信號(hào)參數(shù)與圖7保持一致，將3.2節(jié)得到的最佳系統(tǒng)參數(shù)代入級(jí)聯(lián)系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出如圖11所示。圖11(a)、(b)分別是一級(jí)系統(tǒng)輸出的時(shí)域圖與頻域圖。圖11(c)、(d)是二級(jí)系統(tǒng)的輸出。從圖中可以得到，二級(jí)系統(tǒng)輸出的時(shí)域圖(圖11 (c))比一級(jí)系統(tǒng)(圖11 (a))更加流暢，在信號(hào)頻率0.005 Hz處，二級(jí)系統(tǒng)輸出的頻譜幅值是一級(jí)系統(tǒng)的2.2倍，信噪比也提高了2.04 dB。這表明，在二級(jí)系統(tǒng)中，微弱信號(hào)獲得了更多的噪聲能量，同時(shí)噪聲強(qiáng)度也被相應(yīng)削弱。

圖11 級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的輸出

3.5 不同噪聲強(qiáng)度D下級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的響應(yīng)

設(shè)定噪聲強(qiáng)度D的掃描區(qū)間為[0, 2]，掃描步長(zhǎng)為0.1，保持噪聲其余參數(shù)與信號(hào)參數(shù)不變，得到級(jí)聯(lián)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜值跟隨噪聲強(qiáng)度D的變化趨勢(shì)如圖12所示(其中Line1與Line2分別為一級(jí)系統(tǒng)和二級(jí)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜值)。從圖12中可以看出，系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜值跟隨噪聲強(qiáng)度D的增加呈現(xiàn)非線性變化趨勢(shì)，并且在該噪聲區(qū)間中，噪聲強(qiáng)度為0.6時(shí)，一級(jí)系統(tǒng)與二級(jí)系統(tǒng)輸出的信號(hào)幅值都為最高。這說此時(shí)明噪聲、信號(hào)與系統(tǒng)三者達(dá)到了最佳協(xié)同狀態(tài)，信號(hào)從噪聲中獲取的能量最多。同時(shí)也體現(xiàn)出，隨機(jī)共振的最佳協(xié)同狀態(tài)需要噪聲、信號(hào)與系統(tǒng)的三者之間的匹配，過強(qiáng)或者過弱的噪聲強(qiáng)度都會(huì)打破原有的最佳協(xié)同狀態(tài)。從圖12整體變化趨勢(shì)來(lái)講，當(dāng)噪聲強(qiáng)度D的區(qū)間在[1.5, 2]時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜值趨于平緩，無(wú)較大浮動(dòng)。對(duì)比Line1與Line2的縱坐標(biāo)可以得出，二級(jí)系統(tǒng)的輸出跟隨著一級(jí)系統(tǒng)的輸出，但信號(hào)幅值始終高于一級(jí)系統(tǒng)。這說明，二級(jí)系統(tǒng)在一級(jí)系統(tǒng)輸出的基礎(chǔ)上，將更多噪聲能量轉(zhuǎn)化到了信號(hào)之中。因此，二級(jí)系統(tǒng)的輸出優(yōu)于一級(jí)系統(tǒng)。

圖12 系統(tǒng)輸出信號(hào)幅值跟隨噪聲強(qiáng)度D的變化趨勢(shì)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了levy噪聲背景下級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象，利用信噪比和頻譜幅值先后作為信號(hào)質(zhì)量改善指標(biāo)，分析了不同噪聲參數(shù)α與β條件下，頻譜幅值隨系統(tǒng)參數(shù)a和b的變化趨勢(shì)，并將得到的最佳系統(tǒng)參數(shù)代入到級(jí)聯(lián)系統(tǒng)之中，成功實(shí)現(xiàn)了levy噪聲中微弱信號(hào)的提取。通過對(duì)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得出如下結(jié)論：

1)不同的噪聲參數(shù)α與β下，可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)a與b實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。

2)系統(tǒng)輸出周期信號(hào)的頻譜幅值隨不同噪聲參數(shù)α與β的改變而改變，但不會(huì)變化太大，均在一個(gè)數(shù)量級(jí)以內(nèi)。并且隨機(jī)共振最佳參數(shù)區(qū)間隨噪聲參數(shù)α與β的改變而保持不變。

3)在levy噪聲環(huán)境中，級(jí)聯(lián)系統(tǒng)比單級(jí)系統(tǒng)處理噪聲的效果更好，二級(jí)系統(tǒng)輸出的頻譜值是一級(jí)系統(tǒng)的2.2倍，系統(tǒng)輸出的信號(hào)質(zhì)量得到了進(jìn)一步提高。

由中心極限定理和大數(shù)定理推導(dǎo)出的levy噪聲更加符合實(shí)際信道噪聲的分布特性，對(duì)levy噪聲背景中微弱信號(hào)檢測(cè)提取的研究更加具有現(xiàn)實(shí)意義。本文研究了levy噪聲下單一微弱信號(hào)提取的研究，下一步將對(duì)多路信號(hào)的檢測(cè)進(jìn)行研究。