☉江蘇省儀征中學 姜業(yè)鋒

函數(shù)概念是高一新生所接觸的第一個極其重要的高中數(shù)學概念，雖然他們在初中數(shù)學中已經(jīng)有所了解，但高中數(shù)學要求他們對這個概念有一個全新的認識.在信息化高速發(fā)展的今天，密碼學充斥著我們生活的各個方面，筆者嘗試利用簡單信息傳輸?shù)脑韥硪龑W生對函數(shù)概念加以理解，收到了較好的教學效果.

一、教學難點及引入背景

函數(shù)是高中數(shù)學一個非常重要的概念，但是函數(shù)概念的高度抽象性也給學生帶來了理解上的困擾.照本宣科，脫離實際；但通過簡單的依賴關系去解釋函數(shù)概念又不利于學生抽象思維的發(fā)展.基于此，受蘇教版高中數(shù)學必修一課本函數(shù)模塊映射章節(jié)習題（將字母拼成的明文通過映射轉(zhuǎn)換為密文）啟發(fā)，結(jié)合時下信息的數(shù)字化傳輸這一背景，簡單“密碼學”正好是函數(shù)引入的完美材料.

二、分段剖析，明確概念

下面詳細介紹如何通過函數(shù)的角度對數(shù)字串進行信息傳輸，并加密.通過對該材料的深入剖析，進一步發(fā)掘該材料在函數(shù)教學中的實際應用.

（一）數(shù)字傳輸加密系統(tǒng)的建立

1.數(shù)字傳輸系統(tǒng)的建立及解讀

在自然數(shù)集N 中任取一個數(shù)字a，通過對應法則f：對a 除以26 取余.

很容易發(fā)現(xiàn)，此時最后答案仍屬于自然數(shù)集N.但不妨更加細致地考慮這個問題，例如，我們先輸入數(shù)字27，經(jīng)過對應法則f 作用后得到數(shù)字1.因此不難發(fā)現(xiàn)，無論任取數(shù)字a 為何，通過對應法則f 作用后答案必屬于集合{0，1，2，3，…，25}.基于此，我們建立了一個非常簡單的數(shù)字傳輸系統(tǒng).

2.加密系統(tǒng)的建立及解讀

在英文中有26 個英文字母，而我們需要傳輸?shù)娜魏涡畔⒍伎梢苑g成英文字母串.這時我們不妨約定，數(shù)字0 對應字母a，數(shù)字1 對應字母b……以此類推，數(shù)字25 對應字母z.因此，按照這種法則，我們建立了一個非常簡單的數(shù)字加密（數(shù)字—字母）系統(tǒng).

例如，我們需要傳輸信息：I love math.這時只需要輸入數(shù)字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}.當然，每個字母并不是只能由唯一的某個數(shù)字通過對應f 才能得到.通過對對應法則的分析發(fā)現(xiàn)，還可以輸入其他的數(shù)字串轉(zhuǎn)譯（對應）得到相同的信息.但這些數(shù)字串有一個共同的特點：每個對應的數(shù)字可以加上26 的整數(shù)倍.

（二）基于材料，剖析概念

1.聚焦概念，發(fā)掘教學難點

為了更好地貼合教材，更加高效地達成函數(shù)概念的教學目標，筆者將對以上材料做以下說明：

首先，教材中函數(shù)的概念是如下定義的：一般地，設A，B 是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合A 中的每一個元素x，在集合B 中都有唯一的元素y與之對應，那么這樣的對應叫做從A 到B 的一個函數(shù)，通常記為y=f（x），x∈A，其中，所有的輸入值x 組成的集合A 叫做函數(shù)y=f（x）的定義域.若A 是函數(shù)y=f（x）的定義域，則對于A 中的每一個x，都有一個輸出值y 與之對應.將所有輸出值y 組成的集合稱為函數(shù)的值域.這種高度抽象化的數(shù)學表述如何讓學生理解，并發(fā)掘這一概念的真正實質(zhì)是本節(jié)函數(shù)概念課需要突破的關鍵點和難點.

2.聚焦材料，對應概念，解讀概念

解讀一：函數(shù)f（x）的值域是數(shù)集B 的子集.

不難發(fā)現(xiàn)，在以上的材料中對應法則f 滿足函數(shù)的定義，其中，集合A、B 都是自然數(shù)集N.函數(shù)f（x）的值域為{0，1，2，3，…，25}，它是集合B 的子集，而在函數(shù)的概念教學中，這是一個需要給學生講解清楚的隱含知識點，借助該材料可以很形象地向?qū)W生說明這一點.

解讀二：單值對應的實質(zhì).

函數(shù)概念中“對于集合A 中的每一個元素x，在集合B 中都有唯一的元素y 與之對應”這一句學生很難把握.但通過材料，學生容易發(fā)現(xiàn)最終傳輸（轉(zhuǎn)譯）過去的信息必須唯一確定，而輸入該條信息的數(shù)字串并非唯一.例如，輸入數(shù)字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}，通過建立的數(shù)字傳輸加密系統(tǒng)，可以得到唯一的信息—I love math.而輸入數(shù)字串{（8+26n），（11+26n，14+26n，21+26n，4+26n），（12+26n，0+26n，19+26n，7+26n）}（n∈Z）也可以得到相同的信息.進而真正理解函數(shù)定義中這種單值對應的真正內(nèi)涵.

（三）借助材料，解讀函數(shù)其他相關內(nèi)容

1.復合函數(shù)

在教學過程（引入材料）中，學生提出，這種所謂的加密方式太過簡單，如果生活中采用此類信息傳輸安全性如何保證，這時引入復合函數(shù)的時機恰到好處.解決辦法：提出如果在進行轉(zhuǎn)譯（對應法則）之前，先對給出的數(shù)字x 運用另一種對應法則g1得到一個新的數(shù)字x1當然這一步驟可以重復進行以加強其復雜性，然后再通過對應法則f 進行轉(zhuǎn)譯，問題立馬迎刃而解.

現(xiàn)以傳輸一個字母d 為例.通過數(shù)字傳輸加密系統(tǒng)可知，數(shù)字3 對應字母d.這時可以輸入數(shù)字9，先通過對應關系得到數(shù)字3，再通過對應法則f，得到數(shù)字3，即f（g1（x））=3.容易發(fā)現(xiàn)，剛開始輸入的數(shù)字不是任意的，首先，它必須滿足函數(shù)g1的定義域，其次，通過函數(shù)g1作用后，它必須還要在函數(shù)f 的定義域內(nèi).只有同時滿足這兩點，函數(shù)f（g1（x））才有意義.這其實就是求復合函數(shù)的定義域.

復合函數(shù)的運用背景在這里有了現(xiàn)實表達，復合函數(shù)的運算順序，求復合函數(shù)的定義域的方法也就清晰明了了.

2.已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式

求函數(shù)解析式也是本章的一個難點.運用配湊法和換元法求函數(shù)解析式，即已知被對應法則作用后的形式（函數(shù)），求函數(shù)解析式.其本質(zhì)就是求這種對應法則，即看對應法則將變量到底如何作用？講明白這一點，解決這個問題的邏輯起點就已經(jīng)找到.這時不妨回到材料中來，學生肯定會追問，既然有加密過程，那如何解密？如果僅從本章（函數(shù)）的角度來說，解密過程其實就是去發(fā)現(xiàn)這種“對應法則”.例如，已知f（x+1）=3x+4，求f（x）.要求f（x），即要發(fā)現(xiàn)對應法則f 到底將括號里的變量整體x+1 具體如何作用.因為等號后面的解析式?jīng)]有x+1 的形式，自然需要將3x+4 寫成關于x+1 的形式：f（x+1）=3x+4=3（x+1）+1，發(fā)現(xiàn)這種對應法則f 是將自變量先3倍再與1 求和.自然而然得到f（x）=3x+1.當然從本材料的加密方式來說，還可以運用概率論的相關知識去推測加密過程，在這里不多加贅述.

三、一點教學反思

作為一種思想的體操與競賽，數(shù)學會使人增強拼搏精神和應變能力，通過不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終才能解決問題.該信息的數(shù)字化傳輸加密模型的引入，是基于真實情境的任務驅(qū)動，學生能很好地在活動過程中解決問題，形成能力.同時在教學過程中，關注數(shù)學的來龍去脈，指導數(shù)學概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的淵源和過程，會提高學生建立數(shù)學模型、運用數(shù)學知識處理現(xiàn)實世界中各種復雜問題的意識、信念和能力.數(shù)學課程的三維目標不是孤立的三個目標，而是一個目標的三個維度.其中，情感態(tài)度與價值觀這一維度如何在課堂中體現(xiàn)并加以落實，就要求教師在教學設計中不能為情境而情境，只有基于真實情境的任務驅(qū)動，學生才能在這一過程中獲得更高效的提高.

數(shù)學教育表面上只是一種知識教育，但本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，這種素質(zhì)教育不是從外界強加定義的，而是數(shù)學教育本身所蘊含的固有的內(nèi)在屬性.以教授學習數(shù)學知識為載體，通過嚴格認真的數(shù)學學習和訓練，就可以由不自覺到自覺地將上述這些方面的素質(zhì)和能力，耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習慣，逐步形成自己的數(shù)學素養(yǎng).筆者認為，作為一線的教育工作者，數(shù)學核心素養(yǎng)的形成，戰(zhàn)場雖然在課堂，但“補給”源于生活，要善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學素材，情境設計是形成知識遷移能力的關鍵，而獨具創(chuàng)造性的課堂引入是一個很好的抓手.