李高,常秀芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同037009）

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，具有應(yīng)用的廣泛性、邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性的特點[1-5]。

數(shù)學(xué)是生活、學(xué)習(xí)和工作中不可缺少的重要工具，是一門重要的基礎(chǔ)科學(xué)，是通向科學(xué)大門的金鑰匙。只有在成功地清晰準(zhǔn)確的運用數(shù)學(xué)概念時，可以使你思考問題時更加合乎邏輯、更有條理、更嚴(yán)密精確、更深入簡潔、更善于創(chuàng)新，才算達(dá)到了真正完善的地步。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在。其發(fā)展源遠(yuǎn)流長，人們對自然數(shù)的認(rèn)識也是永無止境。

1 數(shù)的萌生

最初的人類是沒有數(shù)的概念的，后來，人們在采集果實、狩獵或捕魚的現(xiàn)實生活活動中，經(jīng)常需要判斷勞動工具以及獲得的勞動成果夠不夠分配，人們當(dāng)初還不會用具體的數(shù)來表示物體的多與少，卻是用一一搭配的方式，即現(xiàn)在數(shù)學(xué)所描述的一一對應(yīng)的方式方法進(jìn)行來比較確定的。比如，狩獵或捕魚時，把人與工具搭配起來，一人一件工具，依據(jù)搭配的情況看夠不夠分，就用工具與人配對的結(jié)果來判斷工具是多了、或者是少了、或者是與獵人同樣多。這樣經(jīng)過反反復(fù)復(fù)的社會生活實踐，才漸漸地形成了朦朧的“多”與“少”的概念[2]，以后隨著生產(chǎn)的發(fā)展，人們需要對物品進(jìn)行數(shù)量的比較，數(shù)的概念才開始萌發(fā)。

數(shù)的初步概念早在有史以前就已經(jīng)產(chǎn)生了，但是，它的發(fā)展經(jīng)歷了一個漫長的過程，進(jìn)展是相當(dāng)遲緩的，起初人類只是能把一個物體與多個物體區(qū)分開，慢慢地人類就可以能把一個物體、二個物體和多個物體區(qū)別開來，至于三個物體，人們已經(jīng)認(rèn)為是很多了。直到今天，我們還用“再三”來表示多次，目前世界上還有一些不發(fā)達(dá)地區(qū)的民族的語言，只有頭幾個自然數(shù)的名稱，有的只有頭兩個數(shù)的名稱，即一和二，把這兩個數(shù)配合起來才組成三(二一一),四(二一二),五(二一二一),六(二一二一二)；大于六的數(shù)就說“很多”,這也說明，經(jīng)過很長一段時間,人類才逐漸能區(qū)分開數(shù)量稍大一些的物體。

人類能區(qū)分開數(shù)量不大的物體，用的是最原始的計數(shù)形式，這時還沒有把數(shù)同具體物體分離開來，只能用彼此等價的一個具體物體作為代表來指明這一類物體的個數(shù)。例如，用“月亮”、“太陽”或“一個人的耳朵”或“一只手”這個等價的一類具體事物作為代表來表示一個，隨著生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動的復(fù)雜化，人類開始利用手指來表示沒有名稱的數(shù)。但是，“屈指可數(shù)”的數(shù)目畢竟是極為有限的，當(dāng)多到屈指難已數(shù)數(shù)的時候，人們就開始逐漸利用周圍具體的事物作為數(shù)數(shù)的工具。例如，在樹木、木棒上刻痕，在繩上打結(jié)，把石子放成一堆等。經(jīng)過了很長的一段時期，人類才漸漸地把數(shù)與具體物體的集合分離開來，產(chǎn)生了數(shù)的名稱。早期出現(xiàn)的數(shù)的名稱往往就是幫助數(shù)數(shù)的那些物體的名稱。如今我們保留著用一只手的各種指勢表示一、二、三、四、五、六、七、八、九、十的痕跡。

2 數(shù)的形成

自然數(shù)是在人類的生產(chǎn)和生活實踐中逐漸產(chǎn)生的。在長期重復(fù)進(jìn)行著分配比較的過程中，人們逐漸地認(rèn)識到有很多種物體可以一一對應(yīng)，哪是一樣的多。比如，一個人的手和他的眼睛、腳、耳朵都是同樣的多。進(jìn)而把這些同樣的多的物體歸為一類，也就是現(xiàn)在所說的等價類集合，并開始從同一等價類集合中任意選取一個大家最熟悉、應(yīng)用又比較方便、且不易變化(有固定的元素)的集合類作為代表，用來表示這等價類集合所具有的共同特征。例如，看到兩只羊或兩只鹿就用兩只耳朵或兩只眼睛來表示，看到五頭?；蛭迤ヱR就用五個手指來表示，這種被選作代表的集合，我們現(xiàn)在叫做標(biāo)準(zhǔn)集合。開始時標(biāo)準(zhǔn)集合只是用作形象地表示數(shù)量多少的一種方法，還沒有從具體物體集合中把數(shù)抽象出來。隨著生產(chǎn)和交換的不斷增多，以及語言的發(fā)展，人們在世世代代反反復(fù)復(fù)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)集合來表示多少的過程中，逐漸地把數(shù)從具體物體的集合中抽象出來，有些數(shù)的名稱就采用了標(biāo)準(zhǔn)集合的名稱。到現(xiàn)在，有的原始部落仍然保留這種痕跡，例如表示五個，就說“一只手”,表示十個就說“兩只手”[7]。以后，隨著文字的出現(xiàn)與發(fā)展，漸漸地創(chuàng)造了符號來表示這些抽象出來的數(shù)，于是進(jìn)一步產(chǎn)生了數(shù)字符號。幾經(jīng)演變才有了今天的數(shù)字符號，有了位值原則記數(shù)法，即現(xiàn)在的寫法。例如用“1”、“2”等符號來表示“一”、“二”等,自然數(shù)也就產(chǎn)生了。

3 自然數(shù)的概念

從數(shù)的萌芽與形成過程可知，便于數(shù)數(shù)或表示有多少的數(shù)是自然而然產(chǎn)生數(shù)的，故稱為自然數(shù)。因此，自然數(shù)是一切等價的非空有限集合的標(biāo)記，即自然數(shù)表示非空有限集合中的元的個數(shù)。

自然數(shù)它具有有始、有序、無限的性質(zhì)，最小的自然數(shù)為1。

4 零

自然數(shù)是從表示“有”多少的需求中逐漸產(chǎn)生的，在生產(chǎn)生活實踐中，還常常會遇到?jīng)]有物體的情況，為了表示“沒有”,就產(chǎn)生了一個新的數(shù)——零。

作為數(shù)字的零并用一個獨立的數(shù)學(xué)符號來表示，是在自然數(shù)與分?jǐn)?shù)(不帶正、負(fù)號)產(chǎn)生之后才出現(xiàn)的。在較早的記數(shù)方法中，為了表示某一數(shù)位上數(shù)字或一個計數(shù)單位都沒有，不是用零占位的，而是“空寫”或“不寫”，甚至用空格“□”來代替。在公元三與四世紀(jì)的印度人是在數(shù)字的中間加上一個小點來表示哪個空位的，后來把小點改成“0”，修改的時間很難確定，但在公元876年，在印度已有數(shù)字符號“0”的記載。通常認(rèn)為這是世界上最早的，另有一種說法是古希臘在二世紀(jì)已使用0號，后來傳入印度。我國古代是用算籌記數(shù)的，采取空位來表示零?，F(xiàn)在我們翻印古代書籍時，對缺字常用“□”表示，在我國古代記數(shù)時數(shù)字里零的空位也是用“□”表示的，以后由于漢字書寫時常用行書，方塊也就很容易地劃成圓圈“○”了，以○作零的符號，最早在《大明歷》(1180年)中就有記載，到秦九韶的《數(shù)書九章》(1247年)就大量使用○號。

“零”作為一個單獨的數(shù)，它不僅可以用來表示“沒有”，另外還可以作為某些數(shù)量或事物的界限。例如，在數(shù)軸上的零是正數(shù)與負(fù)數(shù)的界限；在攝氏溫度計上零又是零上溫度與零下溫度的分界。溫度是零度，并不是“沒有”溫度，而是在常溫常壓情況下，水結(jié)冰的溫度。所以“零”是一個具有完全確定的意義的數(shù)。

5 現(xiàn)行教材中自然數(shù)的定義

5.1 序數(shù)理論

序數(shù)理論是在德國數(shù)學(xué)家戴德金工作的基礎(chǔ)上由意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾于1889年在《用一種新方法陳述的算術(shù)原理》一書中提出來的。他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，并用公理體系給出了自然數(shù)的如下定義：

定義：自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的后繼者。③1不是任何元素的后繼者。④不同元素有不同的后繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，且只要X在M中就能推出X的后繼者也在M中，那么M=N。

依據(jù)皮亞諾理論規(guī)定：0是自然數(shù)；每一個自然數(shù)只有一個后續(xù)的自然數(shù)，自然數(shù)n的后面的一個自然數(shù)是n+1；最小的自然數(shù)是0；沒有最大的自然數(shù)。自然數(shù)為0，1，2，3，4，…。

5.2 我國現(xiàn)行教材中關(guān)于自然數(shù)的定義

自然數(shù)是我們在用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)，即用來表示物體個數(shù)的數(shù)字0、1、2 3、…叫做自然數(shù)。如果一個物體也沒有，就用0表示。0是自然數(shù)。自然數(shù)是由0開始(包括0)的，一個接一個，組成一個無窮的集體，自然數(shù)都是整、數(shù)，這是與皮亞諾的自然數(shù)一致。

6 教材中自然數(shù)定義的商榷

“0”是否應(yīng)該包括在自然數(shù)之內(nèi)，在國內(nèi)引起了較強(qiáng)烈爭議與討論。

從教材的歷史上看，建國以來，我國中小學(xué)的教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括0。從1993年教育部頒布，并于1993年執(zhí)行的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》(GB 3100-3102-93)《量和單位》(11-2.9)第311頁，規(guī)定了自然數(shù)是包括了零。所以在近幾年的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行修訂中，教材研究編輯撰寫人員依據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)之規(guī)定進(jìn)行了修改撰寫。即一個物體也沒有，就用0表示，0也是自然數(shù)。

現(xiàn)階段我國中小學(xué)修訂的教材中是把0包括在自然數(shù)內(nèi)，可能考慮的是與國際接軌，為了與皮亞諾的算術(shù)公理系統(tǒng)中自然數(shù)定義一致的原因。

皮亞諾的算術(shù)公理系統(tǒng)開始時有九條公理，其中的四條是敘述關(guān)于“相等”的，另外的五條是用來刻畫自然數(shù)的，而且是以1為基本概念的，并不是以0作為基本概念。皮亞諾只是在后來的著作中對這一算術(shù)體系作了修改，剔除了關(guān)于“相等”的四公理，進(jìn)而以0替代了1作為基本概念，這樣建構(gòu)了沿用至今的皮亞諾公理體系。

皮亞諾對自然數(shù)的修改可能是出自于他對公理體系的完善，使公理體系更加嚴(yán)密，讓后人無懈可擊、無可挑剔，即使序數(shù)理論里的每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的后繼者，才將公理中的1要換成0。任何事情都有一個開端，用0或用1開始又何妨呢，可是自然數(shù)從0開始盡管完善了理論，但為后繼的學(xué)習(xí)或工作帶來了諸多的不便。

從數(shù)和零的形成來看，從單元素集合中取出一個元，那么它就成為空集。表示集合中沒有元素，就用零作為空集標(biāo)記，因此零是抽象出來的，不是數(shù)數(shù)的結(jié)果，也不是計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。數(shù)零盡管比自然數(shù)“一”少一個單位，可以把零放在自然數(shù)列的最前面，它比任何自然數(shù)都小，但零不應(yīng)是自然數(shù)。自然數(shù)應(yīng)為正整數(shù)，即從1開始算起。這樣才在數(shù)論中，與研究數(shù)的理論是相一致的。否則把非負(fù)整數(shù)認(rèn)為是自然數(shù)，即從0開始算起，與數(shù)論的理論相悖的。

自然數(shù)和零統(tǒng)稱為整數(shù)，整數(shù)是由自然數(shù)和零統(tǒng)組成的。

因此，現(xiàn)行中小學(xué)教材把零作為自然數(shù)是極其不妥的，把0算在內(nèi)的話充其量算是擴(kuò)大的自然數(shù)。自然數(shù)從1開始，不僅符合數(shù)的形成與發(fā)展，而且也不違背皮亞諾的序數(shù)理論，同時對后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，比如整標(biāo)函數(shù)定義的描述，是定義域為自然數(shù)的函數(shù)，使得整標(biāo)函數(shù)定義更加完美。為此，建議現(xiàn)行中小學(xué)教材中自然數(shù)的概念予以恢復(fù)到修訂之前的定義上。