侯鳳儀，蔣曉穎，徐定華，3

(1. 上海財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433； 2. 浙江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，杭州 310027； 3. 浙江理工大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018)

經(jīng)濟增長理論為研究或闡述經(jīng)濟增長規(guī)律與影響因素的理論.經(jīng)濟增長具體指一個國家或地區(qū)所生產(chǎn)的商品和勞務(wù)能力的增長.經(jīng)濟學(xué)家建立各種經(jīng)濟模型來描述一種經(jīng)濟體所生產(chǎn)的物質(zhì)商品和勞務(wù)(即實際總產(chǎn)出)，并考察它均衡增長的條件，18—19世紀，古典經(jīng)濟學(xué)家亞當·斯密(Adam Smith)和大衛(wèi)·李嘉圖(David Ricardo)創(chuàng)立了古典經(jīng)濟增長理論，注重勞動力和資本，而知識和技術(shù)則被視為外生因素.到了20世紀50年代中期，羅伯特·索羅(Robert Solow)[1]以技術(shù)進步論為中心的新古典增長模型，指出技術(shù)進步才是經(jīng)濟增長的主要動力.索羅增長模型將經(jīng)濟增長理論研究由外生增長引入了內(nèi)生增長的道路，為經(jīng)濟增長研究打開了一扇新的大門，之后幾乎所有與經(jīng)濟增長有關(guān)的理論分析均以它作為參照點.20世紀90年代，格里高利·曼昆(Gregory Mankiw)、大衛(wèi)·羅默(David Romer)及大衛(wèi)·威爾(David Weil)[2]在證明新古典增長模型的有效性的同時，在索羅模型的基礎(chǔ)上增加了新的變量——人力資本的積累，論證了引進人力資本增量的必要性，并且利用1960—1985年期間的121個國家的經(jīng)濟數(shù)據(jù)做了實證分析，為之后相關(guān)的實證研究提供了很好的起點.這個模型對現(xiàn)今的經(jīng)濟增長研究依舊具有重要的價值.例如余長林[3]通過拓展MRW模型來分析人力資本投資結(jié)構(gòu)對經(jīng)濟增長的影響，并利用了中國29個省市的經(jīng)濟數(shù)據(jù)進行了實證研究；嚴成樑[4]也是在拓展的Mankiw-Romer-Weil(MRW)模型框架下，研究了資本投入對我國經(jīng)濟增長的影響，根據(jù)我國31個省的數(shù)據(jù)做了實證分析，并且估算了我國資本投資的回報率等；李強[5]在MRW模型的基礎(chǔ)上做實證研究，將技術(shù)進步和人力資本都作為內(nèi)生因子來討論穩(wěn)態(tài)增長條件.

常見的MRW模型分析都是在穩(wěn)定狀態(tài)下進行的，即物質(zhì)資本和人力資本的增長為零，并利用線性關(guān)系式來估計參數(shù)，在進行實證研究時選擇多個國家或者多個省市的數(shù)據(jù)進行回歸和參數(shù)估計.本文認為估計所得的參數(shù)并不能恰當?shù)孛枋龆鄠€國家和省市的真實情況.因為不同的國家不僅在技術(shù)增長率、資本折舊率等方面存在較大差異，在人力資本的結(jié)構(gòu)和勞動人口增長上也各有不同.Mankiw等的文章[2]在末尾也指出未來的研究方向應(yīng)是如何去解釋在索羅模型中被認為是外生的變量在國與國之間為什么會有較大的差異；同時稅收政策、教育政策和政治穩(wěn)定性也是國家之間經(jīng)濟差異的重要決定因素.此外，曼昆等在論證MRW模型時利用了1960—1985年期間121個國家的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，并且利用的是普通最小二乘法(Ordinary Least Squares)，但是通過對論文附表數(shù)據(jù)和模型本身的分析，可以發(fā)現(xiàn)不僅樣本數(shù)據(jù)存在缺失和可能的誤差，而且在參數(shù)估計時并沒有涉及到數(shù)據(jù)誤差的考量和處理.

因此，本文提出一種基于MRW模型的Tikhonov正則化算法，在非穩(wěn)態(tài)條件下對參數(shù)進行估計，并在實證分析時利用單一國家的時間序列數(shù)據(jù)，對單個國家的經(jīng)濟數(shù)據(jù)進行更合理的估計，估計隨著時間推移可以靈活變動，而不僅僅是針對穩(wěn)定狀態(tài).

1 反問題歸結(jié)

1992年，Mankiw等[2]在索羅增長模型的基礎(chǔ)上提出了新的MRW模型，MRW模型在索羅增長模型的基礎(chǔ)上加入了人力資本的積累，生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)?/p>

Y(t)=K(t)αH(t)β(A(t)L(t))1-α-β,

(1)

其中：Y代表產(chǎn)量；K代表物質(zhì)資本；H代表人力資本；L代表勞動，L(t)=L(0)ent；A表示知識或者勞動的有效性,A(t)=A(0)egt;n為勞動人口增長率；g為技術(shù)進步率，均為外生參數(shù)；α和β分別表示資本產(chǎn)出的、勞動力產(chǎn)出的彈性系數(shù).

令sk和sh分別表示物質(zhì)資本儲蓄率和人力資本儲蓄率，δ為折舊率，資本的增長為新增資本減去折舊部分，表示如下：

(2)

(3)

同理可以得到

(4)

根據(jù)式(1)可以得到

(5)

將式(5)代入式(3)和(4)中，則式(3)和(4)可化為

(6)

本文的反問題可以歸結(jié)為： 已知k(t1)=f1,k(t2)=f2,…,k(tM)=fM;h(t1)=g1,h(t2)=g2,…,h(tM)=gM(M為正整數(shù))，來估計參數(shù)α,β,sk,sh.

2 Tikhonov正則化算法設(shè)計

首先對式(6)作線性處理，得到

(7)

通常情況下需要近似表達導(dǎo)數(shù)時會采用差分法，但是由于現(xiàn)在獲得的k(t1),k(t2),…,k(tM);h(t1),h(t2),…,h(tM)，為觀測數(shù)據(jù)，通常存在測量誤差，尤其當M的值越大，劃分的間隔越小，原本測量數(shù)據(jù)的誤差會在最后結(jié)果的計算中放大.所以本文采用了陸帥和王彥博[6]提出的應(yīng)用Tikhonov正則化方法來估計1階的數(shù)值微分的方法.

|yi-f(xi)|≤ε，

ε是測量的誤差水平.現(xiàn)在需要估計f(x)的1階導(dǎo)數(shù).定義正則化泛函

其中：g(3)是函數(shù)g的3階導(dǎo)數(shù)，λ為正則化參數(shù).取λ=ε2(文獻[7]給出了正則化參數(shù)λ的選取方法)，文獻[6]已證明存在唯一的函數(shù)f*∈V={h|h∈C[0,1]且h(0)=y1,h(1)=yN}滿足

Φ(f*)≤Φ(g) ?g∈V,

且構(gòu)造了1個5次樣條函數(shù)f*：

f*=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3+ei(x-xi)4+fi(x-xi)5x∈[xi,xi+1]，

(8)

這里有6n個未知常數(shù)：ai,bi,ci,di,ei,fi,i=1,2,…,N-1.未知參數(shù)求解可參考文獻[6].

反問題算法總結(jié)如下:

Algorithm1利用最小二乘法反演參數(shù)

1) 整理原始數(shù)據(jù)，給出Y(t),K(t),H(t),L(t)和A(t);

4) 輸入n+g+δ，利用最小二乘法對α,β,sk,sh進行估計；

3 數(shù)值模擬與實證研究

3.1 數(shù)值模擬

為了驗證算法的有效性，本文在已知α,β,n+g+δ,sk和sh的情況下，給出k(t)和h(t)的時間序列數(shù)據(jù).然后利用這一數(shù)據(jù)，采用第2節(jié)設(shè)計的算法來估計α,β,n+g+δ,sk和sh.如果估算值和我們已知的數(shù)值相當接近，即可證明我們的算法是有效的.已知α,β,n+g+δ,sk和sh，利用Matlab中的ODE45(Runge-Kutta算法)，可以求出k(t)和h(t)的高精度近似值.本文采用Mankiw等在文獻[2]中對α,β,n+g+δ,sk和sh所估算的1組數(shù)據(jù)，這1組數(shù)據(jù)在原文中經(jīng)過了統(tǒng)計檢驗和經(jīng)濟含義分析，是有效的估算結(jié)果.我們將這1組數(shù)據(jù)作為真實值，進行數(shù)值模擬的結(jié)果如表1所示.其中：R2用來衡量回歸模型整體的擬合度，R2最大值為1，R2的值越接近1，說明擬合程度越好；反之，R2的值越小，說明回歸直線對觀測值的擬合程度越差；F是對回歸模型整體的方差檢驗；P是判斷F檢驗是否顯著的標準.

表1 回歸結(jié)果與參數(shù)估計

注： “—”表示此項無數(shù)據(jù)，下同.

從表1和圖1中可以看到，2組回歸估計的結(jié)果和真實值相當接近，這驗證了本文算法的有效性，能夠?qū)Ζ?β,sk,sh做出較為準確的估計.

圖1 2組回歸的殘差Fig.1 Two sets of residual errors

3.2 實證分析

3.2.1 數(shù)據(jù)來源

1) 國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)指按照市場價格計算的1個國家(或地區(qū))所有常住單位在一定時期內(nèi)生產(chǎn)活動的最終成果.該指標即為生產(chǎn)函數(shù)的右端項，用于檢驗估計得到的值是否有效，是否符合MRW模型的生產(chǎn)函數(shù).

2) 全社會固定資產(chǎn)投資是指以貨幣形式表現(xiàn)的在一定時期內(nèi)全社會建造和購置固定資產(chǎn)的工作量以及與此有關(guān)的費用的總稱.它可以用來反映固定資產(chǎn)投資規(guī)模、結(jié)構(gòu)和發(fā)展速度.本文利用這一指標來近似替代K(t)，即物質(zhì)資本存量.

3) 人力資本存量的估算在學(xué)界目前沒有被普遍認可的方法，常見的有“成本法”、“成本加權(quán)法”以及永續(xù)盤存法等.國內(nèi)有多名學(xué)者給出了我國不同時間段的人力資本存量的估算結(jié)果.本文考慮兩方面因素： 盡可能與其他指標相匹配的年份區(qū)間以及文獻中估算結(jié)果的合理性分析，最終采用了喬紅芳和沈利生[8]給出的1978—2011年我國人力資本存量的估算數(shù)據(jù).他們的估算方法將直接教育、醫(yī)療保健和文教娛樂消費作為人力資本投資的成本，并創(chuàng)新地引入了教育投資時滯的概念，更加客觀地描述不同年齡、不同學(xué)歷從業(yè)人員的真實教育成本.

4) 對于L(t)，選擇的是國家統(tǒng)計局給出的經(jīng)濟活動人口數(shù).該指標表示在16周歲及以上，有勞動能力，參加或被要求參加社會經(jīng)濟活動的人口.n采用的是經(jīng)濟活動人口增長率，根據(jù)L(t)的數(shù)據(jù)估計為0.008.

5) 對于綜合科技水平A(t)，沒有找到專門的文獻來對這一指標進行描述和提出估算方法.本文采取的做法是根據(jù)MRW模型中假設(shè)的A(t)以不變的速度增長，即

A(t)=A(0)egt

這一公式來進行估算.在文獻[9]中，肖庭延等利用數(shù)值穩(wěn)定的Marquardt算法，根據(jù)1990年全國全民所有制獨立核算出的工業(yè)企業(yè)的部分投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)估計出了當年的綜合科技水平A(0)，這一結(jié)果在文章經(jīng)過各項統(tǒng)計檢驗以及經(jīng)濟含義的分析后證明是基本合理的.前文已寫明增長速度g一般可以用人均收入的增長率來進行估算.利用國家統(tǒng)計局給出的城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員平均工資計算了我國人均收入的平均增長率，估算結(jié)果為0.135.在已知初始的綜合科技水平A(0)和增長速度g后，即可得到綜合科技水平的估算結(jié)果.

6) 資本折舊率根據(jù)文獻[10]的數(shù)據(jù)，對選定的年份區(qū)間的折舊率取平均值，結(jié)果為0.107.

7) 原始數(shù)據(jù)誤差水平并沒有準確的數(shù)據(jù)，本文假設(shè)為0.01.

由4)，5)和6)，可以得到n+g+δ的值為0.25.最終綜合所有可獲得的數(shù)據(jù)，選取共有的年份區(qū)間，得到1996—2011年回歸所需的基本數(shù)據(jù).

3.2.2 結(jié)果分析

對式(7)分別做回歸，可以得到兩組估計值.還有一種處理辦法，將式(7)中的兩個等式合并成一個式子：

(9)

對式(9)做線性回歸.但如果采用這種處理辦法將無法求出各自的估計值.針對這兩種方法本文都做了運算，希望比較一下3組回歸的效果，結(jié)果如表2和圖2所示.

表2 回歸結(jié)果與參數(shù)估計

圖2 3組回歸的殘差Fig.2 Three sets of residual errors

圖3 Y(t)的估計值與實際值對比Fig.3 The approximation solutions and the exact soution of Y(t)

對于回歸值和實際值之間的差異，一個可能的原因是原始數(shù)據(jù)沒有做無量綱化處理，我們選取的指標的數(shù)量級有所不同，從而影響了結(jié)果的精度.因此對算法進行改進，添加了無量綱化的步驟.標準化公式如下：

其中：

無量綱化處理過后的結(jié)果如表3和圖4所示，從中可以看出無量綱化的回歸結(jié)果與實際值更為接近，整體增長趨勢比較一致.而具體數(shù)值結(jié)果上，sk和sh的估計值仍然不理想.可能的原因是物質(zhì)資本存量指標選取的缺陷，它和人力資本存量一樣可以通過計量模型進行估算，除了固定資產(chǎn)投資以外還包含有其他項目，但是研究時未能獲得足夠長時間段的估算數(shù)據(jù)，從而利用全社會固定資產(chǎn)投資指標來近似替代.

表3 標準化后的回歸結(jié)果與參數(shù)估計

圖4 標準化后Y(t)的估計值與實際值Fig.4 The approximation solutions and the exact solution of Y(t) after normalization

標準化后3組回歸的結(jié)果非常接近.在未標準化時，合并兩式進行回歸的估計值作為結(jié)果是最為理想的，同時也驗證了我們的算法是有效的，存在的缺陷是一方面沒有辦法分別估算sk和sh的值.當式(7)中任意一個回歸出現(xiàn)較大的偏差，合并式(7)中的兩式后的回歸都會將它反映出來.如果式(7)中兩式的估計效果都較為滿意，可以取兩次估算值的均值來達到兼顧兩方數(shù)據(jù)的要求.

4 結(jié) 語

為了對非穩(wěn)定狀態(tài)下的資本產(chǎn)出彈性和資本儲蓄率進行估計，本文首先利用Tikhonov正則化的1階數(shù)值微分估算方法，然后采用最小二乘法的參數(shù)估計算法，經(jīng)由數(shù)值模擬實驗證明了該算法的可行性.并進一步利用1996—2011年我國的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行實證研究，擬合結(jié)果較好，給出的資本產(chǎn)出彈性估計值在經(jīng)濟含義上合理，進一步證明了該算法的合理性.