易清良

關(guān)鍵詞：多維度? 思維方法? 變式

人的智慧是以思維力為核心的智力整體結(jié)構(gòu)，而數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)又被稱為“內(nèi)心科學(xué)”。數(shù)學(xué)教學(xué)由傳授知識(shí)的單一性作用轉(zhuǎn)向教學(xué)功效的多元化作用，故而數(shù)學(xué)教學(xué)既是數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，更是數(shù)學(xué)思維方式的教學(xué)，在教會(huì)職高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更要讓他們知道知識(shí)是如何發(fā)生、獲取和應(yīng)用的。

為了讓更多的學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)并完成知識(shí)建構(gòu)，逐步理解數(shù)學(xué)思想方法，建立科學(xué)的思維方式，養(yǎng)成對(duì)事物進(jìn)行理性思考的習(xí)慣，從根本上提高學(xué)習(xí)能力，教師首先要從職高學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，營(yíng)造出一個(gè)高度和諧的課堂。其次要精心整合教學(xué)素材，打造高效低耗的課堂教學(xué)。這樣，既可以化解職高學(xué)生數(shù)學(xué)水平與教材內(nèi)容不匹配的矛盾，又能促進(jìn)學(xué)生思維的全面提升，讓師生通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)啟一段啟迪智慧之旅。

職高學(xué)生是職高教學(xué)的主體。教學(xué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)能否完成，要以學(xué)生認(rèn)識(shí)成效為依據(jù)。教必須落實(shí)到學(xué)上，要讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，有學(xué)習(xí)的自主權(quán)，使學(xué)生能夠主動(dòng)地、進(jìn)攻性地學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)，探索新知識(shí)，發(fā)展新見(jiàn)解，從而達(dá)到真正自主學(xué)習(xí)的目的。在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，受時(shí)間、進(jìn)度、精力所限，許多教師只顧自己講授，不理學(xué)生的接受;只講方法，不管原因;只講結(jié)論，不談過(guò)程，導(dǎo)致許多職高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一種恐懼心理和畏難情緒。為了營(yíng)造出一個(gè)高度和諧的課堂氛圍，必須從職高學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，去實(shí)實(shí)在在地了解他們知道些什么、知道得是否全面、還有哪些方面是模糊不清的。所以，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師要盡可能關(guān)注學(xué)生的動(dòng)態(tài)，通過(guò)心靈溝通去打動(dòng)和影響學(xué)生;盡量全面揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，將枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)有趣;努力創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉、擅長(zhǎng)的情境，重視知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，讓數(shù)學(xué)不再是神秘莫測(cè)的學(xué)科，而是可親可近的知識(shí)，更多地關(guān)注數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的熏陶以及學(xué)生素養(yǎng)的提高。

一旦教師掌握了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，就能變化出生動(dòng)的結(jié)論，數(shù)學(xué)就能顯示出其無(wú)窮的魅力。唯有這樣，學(xué)生才能“親其師，信其道，篤其行”。

一、維度一：重視方法起源，開(kāi)展投石問(wèn)路，加快思維進(jìn)度

作為人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界的重要工具之一的數(shù)學(xué)，它的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是重要的。從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中，教師可以設(shè)置幾個(gè)疑問(wèn)點(diǎn)：?jiǎn)栴}是怎樣提出的，概念是怎樣形成的，結(jié)論是怎樣探索和猜測(cè)到的，以及證明的思路和計(jì)算的想法是怎樣形成的。這樣，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，以學(xué)習(xí)主人的心態(tài)了解、參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程、思維的展開(kāi)過(guò)程，改變被動(dòng)學(xué)習(xí)、機(jī)械訓(xùn)練的狀況，發(fā)揮學(xué)生的主體性，以此來(lái)加快學(xué)生思維完善的進(jìn)度。

案例1：函數(shù)y=（x2+ax+1）1/2的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍。

第一次面對(duì)這樣的數(shù)學(xué)題，大部分職高學(xué)生無(wú)從下手。

臺(tái)階1：此時(shí)教師把問(wèn)題改成方程x2+ax+1=0，問(wèn)何時(shí)有兩解？何時(shí)有一解？何時(shí)無(wú)解？

學(xué)生：根據(jù)二次方程根的判別式：△>0時(shí)有兩解;△=0時(shí)有一解;△<0時(shí)無(wú)解。

臺(tái)階2：函數(shù)y=x2+ax+1整個(gè)圖像都在x軸的上方，試求a的取值范圍。

學(xué)生1：與x軸無(wú)交點(diǎn)。

學(xué)生2：△>0。

學(xué)生3：不對(duì)，應(yīng)該是△<0。

教師：△>0時(shí)圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？△<0時(shí)圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

臺(tái)階3：不等式x2+ax+1≥0的解集為R，試求a的取值范圍。

學(xué)生3：很簡(jiǎn)單，△≤0。

問(wèn)題：函數(shù)y=（x2+ax+1）1/2的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍。

學(xué)生1：不等式x2+ax+1≥0的解集為R，所以△≤0。

學(xué)生2：以上所有的問(wèn)題的關(guān)鍵是△，就叫判別式法吧。

評(píng)析：學(xué)生無(wú)法下手解決的問(wèn)題，大多數(shù)是因?yàn)樽x不懂題目，不明白題目所表達(dá)的意圖，那么，試探法無(wú)疑是撥開(kāi)云霧、理清思路的最有效辦法。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生去尋找判別式法的發(fā)源地，使學(xué)生身臨其境地體驗(yàn)它的誕生和應(yīng)用，為今后的靈活運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生在獲得知識(shí)的過(guò)程中，逐步形成科學(xué)的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真求實(shí)，追求效率的學(xué)習(xí)態(tài)度和習(xí)慣。這種（判別式法）來(lái)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)在課堂中很自然地得到體現(xiàn)。

二、維度二：依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)變式訓(xùn)練，把控思維梯度

在職高數(shù)學(xué)教學(xué)中，不一定要求教學(xué)內(nèi)容非常嚴(yán)謹(jǐn)，但是解題方法是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。課堂教學(xué)的本質(zhì)是提升學(xué)生思維的活躍度。在課堂教學(xué)中，教師適時(shí)變動(dòng)一些教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)一些變式練習(xí)，讓學(xué)生在變式中思辨：哪些問(wèn)題是形式在改變，而問(wèn)題的實(shí)質(zhì)沒(méi)有變;哪些問(wèn)題是問(wèn)題的形式?jīng)]有變化，而問(wèn)題的實(shí)質(zhì)發(fā)生了根本的變化。在變和不變中，引導(dǎo)學(xué)生思辨問(wèn)題的本質(zhì)，參透知識(shí)的關(guān)聯(lián)性。

當(dāng)然，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題時(shí)，必須依據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，把握思維的梯度，臺(tái)階不能太高，也不能太低。尤其是不能讓學(xué)生有跳躍感，要適度地提升問(wèn)題的難度，形成合理的知識(shí)遷移。有效地控制教學(xué)的思維梯度，從而拓展學(xué)生的思維深度。

案例2：在進(jìn)行交、并集的運(yùn)算講解時(shí)，教師首先采用簡(jiǎn)單數(shù)集的交并集的求法。如：A={1，2，3}，B={3，4，5}，求A∩B以及A∪B。學(xué)生們也深刻理解了交集與并集的概念。

為了提升思維的深度，教師安排了以下問(wèn)題：

變式1：集合A=（1，3），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

變式2：集合A=（1，+∞），B=（2，4），求A∩B以及A∪B;

變式3：集合A=（1，+∞），B=（2，+∞），求A∩B以及A∪B;

變式4：集合A=（1，+∞），B=（-∞，4），求A∩B以及A∪B。

評(píng)析：通過(guò)以上的變式，可以逐漸加深對(duì)概念的理解，問(wèn)題由淺入深地發(fā)生變化，但解決問(wèn)題的方法和思路沒(méi)變，這就強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。通過(guò)這類問(wèn)題的解答，可以幫助學(xué)生樹(shù)立信心，增強(qiáng)解題的勇氣，獲得成功的喜悅。

衡量一堂課的質(zhì)量高低，不僅僅是看教師的教學(xué)方法、教學(xué)形式和教學(xué)手段的展現(xiàn)，更主要的還要看課堂思維容量的大小，學(xué)生思維密度和強(qiáng)度如何。也就是說(shuō)，要看教師對(duì)課堂的是如何進(jìn)行精心設(shè)計(jì)和科學(xué)安排的;教師對(duì)于較難的問(wèn)題，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)是否有意識(shí)地將其分解，通過(guò)解題訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的自信心，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的快樂(lè)，然后再慢慢引申，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生尋找條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，展示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。實(shí)踐證明，通過(guò)這樣的教學(xué)，學(xué)生明白了知識(shí)的來(lái)龍去脈，就會(huì)記得牢，用得準(zhǔn)，就能實(shí)現(xiàn)由懂到會(huì)，由會(huì)到掌握，由掌握到靈活運(yùn)用的飛躍。

三、維度三：優(yōu)化教學(xué)手段，串聯(lián)相近知識(shí)，提升思維高度

波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里得方法提出來(lái)的數(shù)學(xué)看來(lái)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看來(lái)卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！本幙椫R(shí)網(wǎng)絡(luò)，尋找所學(xué)內(nèi)容主線，在主線的引導(dǎo)下，以全新的邏輯鏈和職高學(xué)生的思維鏈將原來(lái)知識(shí)重新梳理與整合，挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)中要做到串點(diǎn)為線，聚線為面，面中顯點(diǎn)，以點(diǎn)帶面。

教學(xué)方法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要合理地選用一些教學(xué)手段，把一些相互聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)串放在一起，這樣，既可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，還可以習(xí)得解決問(wèn)題的方法和形成解決此類問(wèn)題的思維模式。在知識(shí)的差異變化中，分辨自己存在的錯(cuò)誤。知識(shí)在思辨中形成，解決問(wèn)題的能力在思辨中提升。

案例3：在三角函數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)束后，為了串聯(lián)相近知識(shí)，根據(jù)職高學(xué)生的實(shí)際情況，教師編制如下問(wèn)題。求下列各式的值：

1.2sin15°cos15°? 2.cos15°cos15°

3.cos20°cos40°cos80°

4.sin15°+cos15°? ?5.sin15°+cos15°

這一組練習(xí)基本采用配湊法，通過(guò)乘一個(gè)數(shù)，除一個(gè)數(shù)，把三角里面的二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式、兩角和的余弦公式都串聯(lián)在一起，使學(xué)生有了對(duì)三角公式的充分理解。

評(píng)析：由于教學(xué)內(nèi)容在編排上有層次性，難度上有梯度性，同時(shí)教師在課堂教學(xué)中，留出大量的時(shí)間讓學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，讓他們動(dòng)手動(dòng)腦，主動(dòng)探索，自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律并歸納結(jié)論。這樣靈活多樣的教學(xué)方法，就能使教學(xué)效果令人滿意。所以，教師要注意把握教學(xué)的主線，做到?jīng)芪挤置?，注重知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立一個(gè)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如果說(shuō)，沒(méi)有系統(tǒng)的知識(shí)，好比一盤(pán)散落的珍珠，無(wú)從下手，那么良好結(jié)構(gòu)的知識(shí)就像一串精美的珍珠項(xiàng)鏈，排列有序，拿一顆就能戴起整串。

采用這種利用相近知識(shí)點(diǎn)來(lái)解答同一道習(xí)題的教學(xué)手段，不僅可以有效地鞏固學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化教學(xué)的強(qiáng)度，即在職高學(xué)生可以接受的程度上適當(dāng)?shù)靥岣呓虒W(xué)的強(qiáng)度，不僅能夠有效地提高學(xué)生的上課積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還可以使學(xué)生在這種強(qiáng)度較高的教學(xué)中提高自身的思維強(qiáng)度。

四、維度四：分析問(wèn)題本質(zhì)，更新解題方法，提升思維高度

職高學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常顯得反應(yīng)遲鈍或無(wú)助，很大一個(gè)原因是對(duì)解題方法理解得不夠到位，導(dǎo)致不能靈活運(yùn)用知識(shí)。其實(shí)，認(rèn)知是要有一個(gè)曲折的過(guò)程的，要尊重學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，發(fā)揚(yáng)民主，認(rèn)真傾聽(tīng)學(xué)生的觀點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生思維的火花，同時(shí)注意藝術(shù)性地引導(dǎo)啟發(fā)，適時(shí)介入學(xué)生的探究活動(dòng)，調(diào)整他們的思維方向，讓學(xué)生不斷加深對(duì)知識(shí)的理解程度，切實(shí)提高思維能力，提升思維高度。

案例4：方程x2sina+y2cosa=1。

試討論0°≤a≤360°方程所表示的曲線。

這樣的問(wèn)題呈現(xiàn)時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)停留在橢圓的層面上。

教師：a=210°時(shí)，sina=？cosa=？那么方程表示什么曲線。

學(xué)生：方程不表示任何圖形。

教師：那我們選一些特殊角來(lái)分析。

讓學(xué)生討論：根據(jù)0°≤a≤360°范圍可選哪些特殊角來(lái)代表？學(xué)生討論分析得出以下情況：

1.a=0°，sina=0、cosa=1，y=±1方程表示兩條直線;

2.a=30°，sina=、cosa=，方程表示橢圓;

3.a=90°，sina=1、cosa=0，x=±1方程表示兩條直線;

4.a=120°，sina=？、cosa=？，方程表示雙曲線;

……

評(píng)析：學(xué)生從第一象限到第四象限，從x軸的正半軸到y(tǒng)軸的負(fù)半軸，認(rèn)真分析、歸納。在此過(guò)程中知識(shí)從直線、橢圓到雙曲線，方法從特殊值法到一般法，思維從具體到抽象。通過(guò)這樣的辨析和反思，更新解題方法，使學(xué)生的思維得到很大的提高。

人們常說(shuō)，學(xué)一門手藝很重要，但換一種思維更重要。面對(duì)紛繁復(fù)雜的世界，我們應(yīng)當(dāng)敢于打破擋在自己面前的這扇門。能夠及時(shí)改變自己，用思辨的眼光去看問(wèn)題，提高自己對(duì)問(wèn)題的解決能力。在夯實(shí)職高學(xué)生基礎(chǔ)的同時(shí)，不斷刷新思維高度。這樣，數(shù)學(xué)教師也能成為學(xué)生心目中的建筑學(xué)家。

五、維度五：關(guān)注職高學(xué)生成果，提倡一題多解，拓展職高學(xué)生思維

注重思維多元化，提倡一題多解，對(duì)于同一題目，用不同的方法來(lái)解決。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生習(xí)得職高數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，更是習(xí)得了數(shù)學(xué)的一些方法。形成了自己架構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)所學(xué)知識(shí)起到了一個(gè)融會(huì)貫通的作用。提高了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，使知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完善。一題多解還可以提高學(xué)生自我驗(yàn)算的能力，一題多解從多角度思考分析，使用多種解法，殊途同歸，答案是相同的。學(xué)生可以用一題多解來(lái)判斷原來(lái)解法是否正確。另外一題多解還可以提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、靈活轉(zhuǎn)換角度來(lái)解題的能力，讓學(xué)生敞開(kāi)思維的翅膀，在知識(shí)的空間盡情地翱翔，這大大有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

案例5：有5名學(xué)生站在一起照相，甲、乙兩位同學(xué)不能站在一起，共有多少?gòu)埐煌恼掌?/p>

學(xué)生出現(xiàn)了以下兩種解法。

解法一：（插空法）由于甲乙不能站一起，先把其他三名學(xué)生排定，再把甲乙排在其他三人的中間。根據(jù)方法可得：3×2×1×4×3=72種。

解法二：（剔除法）5名學(xué)生，沒(méi)有任何要求的排法為：5×4×3×2×1=120種。甲乙兩人站在一起的排法種數(shù)為：2×4×3×2×1=48種?？偟呐欧p去不符合要求的排法：120-48=72種。

評(píng)析：教師對(duì)以上解法進(jìn)行較詳細(xì)評(píng)價(jià)，并提升總結(jié)此種類型題目的方法。讓學(xué)生能通過(guò)總結(jié)，達(dá)到用同一題目引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角、根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇的目的。一題多法的變式訓(xùn)練有助于學(xué)生掌握這種方法的特點(diǎn)，拓展他們?cè)诮鉀Q放縮問(wèn)題上的思維角度，將所學(xué)的知識(shí)縱向加深，橫向溝通，尋求不同解法，其靈活運(yùn)用知識(shí)能力體現(xiàn)得淋漓盡致。采用這種方法不僅有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)其思辨能力，提升其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，更為重要的是通過(guò)學(xué)生再研究的過(guò)程，可以使他們?cè)隗w驗(yàn)的過(guò)程中，提升自己，找到超越的快樂(lè)、發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)。

數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅停留于數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得和解題技巧的掌握上，更重要的是要注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升、數(shù)學(xué)思想的形成和健全人格的養(yǎng)成。所以，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要注重積極營(yíng)造寬松、和諧、民主的師生活動(dòng)氛圍，讓學(xué)生登山則情滿于山，觀海則情溢于海，還要注重內(nèi)容的活潑多樣，思維的層層深入。這就要求教師不能就題論題，而要善于變通，通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行詳盡的剖析、變式，多維度揭示問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，如此才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行充分理解和掌握運(yùn)用，進(jìn)而提升他們的解題思辨力。

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（作者單位：富陽(yáng)區(qū)職業(yè)教育中心）