(上海航天電子技術(shù)研究所， 上海 201109)

0 引言

脈沖壓縮是現(xiàn)代雷達廣泛采用的技術(shù)之一。線性調(diào)頻(LFM)和相位編碼是較常用的脈壓信號形式，不過這些形式的信號有其固有的缺點，就是匹配濾波器輸出的距離旁瓣太高。實際應(yīng)用中為了壓低距離旁瓣，常在脈沖壓縮中進行加窗或其他預(yù)失真處理，但這引入了信噪比損失和主瓣展寬，將在一定程度上降低系統(tǒng)的靈敏度。而采用非線性調(diào)頻可得到較低的旁瓣電平，又可避免因加權(quán)所引起的失配損失，這項損失的消除可以在相同的發(fā)射功率下獲得更遠的探測距離，因而在發(fā)射功率和探測距離要求比較苛刻的應(yīng)用中具有重要的意義[1-3]。

1 窗函數(shù)法設(shè)計非線性調(diào)頻信號

非線性調(diào)頻信號的產(chǎn)生相比線性調(diào)頻信號復(fù)雜，其模型眾多，目前還不能通過精確的數(shù)學(xué)模型來設(shè)計非線性調(diào)頻信號，實際中都采用近似的方法。目前比較經(jīng)典的非線性調(diào)頻信號設(shè)計方法有以下兩種：一種是通過線性調(diào)頻信號和正弦調(diào)頻信號組合的方式形成S型調(diào)頻曲線，然后根據(jù)公式求出非線性調(diào)頻信號的群時延函數(shù)，再求群時延函數(shù)的反函數(shù)來得到非線性調(diào)頻信號的頻率調(diào)制函數(shù)；另一種更經(jīng)典和常用的方法是窗函數(shù)法，它根據(jù)信號的自相關(guān)函數(shù)，運用相位逗留原理來設(shè)計非線性調(diào)頻波形。衡量脈沖壓縮雷達波形好壞的一個非常重要指標是信號的自相關(guān)性能，其要求是距離旁瓣越低越好，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)設(shè)計波形就能保證這一點，而信號的功率譜和自相關(guān)函數(shù)存在一一對應(yīng)的關(guān)系，所以問題就轉(zhuǎn)化為根據(jù)信號的功率譜來設(shè)計非線性調(diào)頻信號。假設(shè)所設(shè)計的非線性調(diào)頻信號s(t)=a(t)[expjθ(t)]，S(f)是其頻譜函數(shù)，由匹配濾波理論知，經(jīng)過脈沖壓縮后輸出信號的頻譜為

So(f)=|S(f)|2

(1)

由相位逗留原理可知，信號頻譜和調(diào)頻斜率之間的關(guān)系如下：

(2)

(3)

式中，K為常系數(shù)。當要求非線性調(diào)頻信號帶寬為B，時寬為T時，有

(4)

因為T(f)為f(t)的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)定義得所設(shè)計的非線性調(diào)頻信號的頻率函數(shù)如下式：

f(t)=T-1(f)

(5)

根據(jù)信號瞬時頻率和相位的關(guān)系得所設(shè)計非線性調(diào)頻信號的相位函數(shù)為

(6)

根據(jù)以上相位函數(shù)便可以設(shè)計出脈壓后輸出信號頻譜為W(f)的非線性調(diào)頻信號。

下面以blackman窗函數(shù)為例詳細說明設(shè)計NLFM信號的具體步驟：

1) 選擇blackman窗作為非線性調(diào)頻信號脈壓輸出信號的頻譜函數(shù)，窗函數(shù)表達式如下：

W(f)=0.42+0.5cos(2πf/B)+

0.08cos(4πf/B)

-B/2≤f≤B/2

(7)

2) 根據(jù)相位逗留原理，對上述W(f)積分得

T(f)=0.42Kf+(0.25KB/π)sin(2πf/B)+

(0.02KB/π)sin(4πf/B)

-B/2≤f≤B/2

(8)

由T(f)|f=B/2=T/2得常數(shù)K=(T/B)/0.42,代入式(8)得

T(f)=(T/B)f+(0.595 2T/π)sin(2πf/B)+

(0.046 7T/π)sin(4πf/B)

-B/2≤f≤B/2

(9)

3) 頻率函數(shù)為群延時的反函數(shù)，求T(f)的反函數(shù)得到非線性調(diào)頻信號的頻率調(diào)制函數(shù)。

4) 求相位函數(shù)，對第3步求得的頻率函數(shù)積分即可得到非線性調(diào)頻信號的相位函數(shù)。

5) 完成非線性調(diào)頻信號波形設(shè)計，由第4步得到的非線性調(diào)頻信號相位函數(shù)可以直接得到所要設(shè)計的非線性調(diào)頻信號，其實部波形及頻譜如圖1所示。

圖1 非線性調(diào)頻信號實部及頻譜

該方法設(shè)計的非線性調(diào)頻信號雖然沒有因失配脈壓引起的損失，但其第一副瓣電平較LFM信號加窗高很多。例如仿真參數(shù)分別為：信號時寬50 μs，信號帶寬4 MHz，采樣率8 MHz。采用布萊克曼窗加權(quán)線性調(diào)頻信號的脈壓結(jié)果的旁瓣為 -47 dB左右，而同樣參數(shù)條件下，用布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計出的非線性調(diào)頻信號脈壓結(jié)果其距離旁瓣卻只有-37.76 dB，且在時帶積低的情況下峰值旁瓣電平更高。究其原因，相位逗留原理本身存在近似，而且其調(diào)頻函數(shù)很難得到顯示函數(shù)表達式，一般只能通過插值或數(shù)據(jù)擬合的辦法得到，通過數(shù)值方法解非線性方程和數(shù)值積分解求相位函數(shù)，這些過程都存在誤差，故得到的波形質(zhì)量不理想，有進一步提升的空間。

2 GASA優(yōu)化算法

文獻[4]提出了一種利用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計非線性調(diào)頻信號的方法，并與動態(tài)優(yōu)化算法進行了比較，其調(diào)頻函數(shù)的構(gòu)造方法仍然基于泰勒窗函數(shù)，其迭代次數(shù)由動態(tài)優(yōu)化算法的106數(shù)量級減少到102數(shù)量級，但其收斂性仍有較大的改進空間。

遺傳算法和模擬退火算法是針對多參數(shù)非線性優(yōu)化問題的有效方法。模擬退火算法因為是單點搜索，優(yōu)化過程不具備并行性，每時刻僅保留一個優(yōu)化結(jié)果，缺少歷史信息，收斂速度比較慢，而且優(yōu)化過程中容易因為溫度控制不理想而得不到優(yōu)良解。而遺傳算法存在著早熟的現(xiàn)象，很容易收斂到局部最優(yōu)解，或者在最優(yōu)解附近震蕩。針對上述遺傳算法和模擬退火算法各自的缺點，同時兼顧了遺傳算法并行搜索和模擬退火算法概率突變的優(yōu)點，將模擬退火的思想應(yīng)用于遺傳算法中，文獻[5]采用了改進的GASA算法，其流程框圖如圖2所示。

圖2 GASA算法流程圖

GASA優(yōu)化算法的大體步驟描述如下：

1) 在優(yōu)化參數(shù)初始化的時候選擇大體經(jīng)過優(yōu)化篩選了的初始種群，而不是簡單地隨機產(chǎn)生初始種群，先隨機產(chǎn)生大量個體，然后在其中挑選出一些適應(yīng)度較大的個體作為初始種群。不同于傳統(tǒng)的SA算法給出一較高的初始溫度，以使得最初的隨機搜索很充分，實際上進行了許多冗余的迭代，本算法按照下式確定優(yōu)化的初始溫度：

(10)

式中，fmin，fmax表示初始種群的最小和最大適應(yīng)度值，pr0表示最差的接受概率。

2) 針對SA算法在選擇復(fù)制操作過程中有可能丟失優(yōu)良個體的可能，引入了一種最優(yōu)保存機制，即把較優(yōu)的個體直接送入下一代參與競爭，這里較優(yōu)個體數(shù)為pk*popsize，其中popsize為種群總個數(shù)，通常取0.05≤pk≤0.2。

3) 針對遺傳算法存在的選擇壓力，將模擬退火思想引入到GA算法，加入小范圍擇優(yōu)競爭的機制。不同于遺傳算法的按概率進行交叉和變異操作，GASA算法對所有個體平等參與交叉和變異，并且把交叉和變異產(chǎn)生的子代和父代競爭，如果子代適應(yīng)度大于父代，則直接送入下一代隊列，否則按一隨機概率接收惡化解，進化初期的溫度較高，接受一定數(shù)量的劣質(zhì)解有助于保持優(yōu)化種群的多樣性，而且可以防止在局部收斂。隨著進化過程的進行，溫度可以逐漸降低以使接受劣質(zhì)解的概率下降，這樣有利于提高算法的收斂速度。

4) 在優(yōu)化過程中，加入過濾相同個體的步驟，傳統(tǒng)模擬退火算法在快接近最優(yōu)解時，進化速度放緩或停止進化容易導(dǎo)致過早收斂的問題，因此在進化過程中過濾掉相同的個體有助于快速收斂到全局最優(yōu)解。

5) 過濾掉相同個體后需要補充個體使種群總數(shù)保持不變，這里考慮從當代個體中較優(yōu)的pk*popsize個個體中隨機選擇個體經(jīng)過變異后，按照一定概率決定是否接受作為補充的新個體，直至個體數(shù)等于初始種群數(shù)，這樣解決了種群缺乏多樣性而陷入局部最優(yōu)解的問題。

3 GASA算法優(yōu)化設(shè)計NLFM信號

文獻[6]指出泰勒函數(shù)調(diào)頻曲線的特點，并將其推廣到一般S調(diào)頻函數(shù)，指出S調(diào)頻函數(shù)應(yīng)具有以下特點：它是以線性調(diào)頻為基準上下擺動，以中心頻率為原點的奇函數(shù)；此曲線的一階導(dǎo)數(shù)為正，而二階導(dǎo)數(shù)由負值向0再向正值單調(diào)連續(xù)增加；當接近脈沖的兩個邊界時，頻率變化顯著加快。

4 算法仿真

3) 計算種群中每個染色體的適應(yīng)度，按照從大到小排序，并選擇前pk*popsize個較優(yōu)個體直接進入下一代繼續(xù)進化，對剩下的則采取交叉競爭進入下一代，大致過程為：隨機選擇當前種群中兩個不同個體P1，P2，隨機產(chǎn)生隨機數(shù)2到29，執(zhí)行單點交叉操作，記產(chǎn)生的子代個體為S1,S2，F(xiàn)(p)和F(s)分別表示父代和子代適應(yīng)度的最大值，如果F(s)大于F(p)則直接將子代中適應(yīng)值大的個體送入下一代，否則按照概率： min(1,exp((F(s)-F(p))/T))>rand選擇父輩中適應(yīng)值較大的個體參與下一代進化。

4) 變異操作：對當前群體按變異概率pm=0.08變異(為了保證變異后仍然是滿碼集，變異操作在每個波形編碼內(nèi)部進行，即隨機選擇某個波形內(nèi)的兩個編碼交換位置即可)，變異后得到的個體按照概率min(1,exp((F(sm)-F(so))/T))>rand選擇變異后個體，其中F(sm)和F(so)分別表示變異后和變異前個體的適應(yīng)值。

5) 相同個體過濾刪除操作：找當前群體基因相同的個體并從種群中淘汰。補充個體：因為刪除操作，可能導(dǎo)致個體數(shù)小于初始群體數(shù)，按照上一步過濾的個體數(shù)自適應(yīng)地補充新個體，使個體數(shù)等于初始群體數(shù)，其中補充的個體來源于當前較優(yōu)個體通過變異得到，即對當前個體適應(yīng)值排序后選擇前J(J=pk*popsize=24)個較優(yōu)個體進行變異。判斷進化過程是否結(jié)束：若第g次迭代的溫度Tg<1或進化代數(shù)g=G，則迭代結(jié)束，否則g=g+1,Tg=αTg繼續(xù)進化過程。

圖3為GASA算法隨著迭代次數(shù)增加，每代不同個體適應(yīng)度函數(shù)的平均值和最優(yōu)值。

圖3 適應(yīng)度函數(shù)值收斂曲線

由圖3可見，迭代次數(shù)10次左右優(yōu)化的目標函數(shù)值已收斂，相比動態(tài)優(yōu)化算法和遺傳算法收斂速度有了明顯提高。圖4為通過優(yōu)化得到的調(diào)頻函數(shù)及其一、二階導(dǎo)數(shù)的曲線。

圖4 調(diào)頻函數(shù)及其一、二階導(dǎo)數(shù)的曲線

由圖4可知，經(jīng)GASA算法優(yōu)化得到的調(diào)頻函數(shù)及其一、二階導(dǎo)數(shù)滿足上文提到的S曲線調(diào)頻函數(shù)的特點。

在表1中當M=6時優(yōu)化得到的NLFM波形和利用布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計出的NLFM信號脈壓后主瓣寬度相當，但峰值旁瓣電平可達-44.6 dB，較布萊克曼窗函數(shù)得到的-37.76 dB降低了約7 dB。而且其3 dB寬度內(nèi)只存在3個采樣點，在距離分辨率要求不是很嚴的場合，仍然可以滿足要求。圖5為采用GASA算法和窗函數(shù)設(shè)計的NLFM脈壓波形對比。

表1 不同主瓣寬度下峰值旁瓣電平值

圖5 兩種方法設(shè)計的NLFM脈壓結(jié)果

由圖5可以看出，GASA算法設(shè)計的NLFM波形不但第一副瓣比傳統(tǒng)窗函數(shù)法低，而且主瓣寬度更窄。

圖6為經(jīng)GASA算法優(yōu)化設(shè)計的NLFM波形及其頻譜，其幅度譜和線性調(diào)頻信號加窗后頻譜相似，但沒有線性調(diào)頻信號脈壓時的加窗損失。

圖6 NLFM實部波形及頻譜

5 結(jié)束語

本文在討論傳統(tǒng)窗函數(shù)設(shè)計NLFM的基礎(chǔ)上，分析了可用于設(shè)計NLFM波形的調(diào)頻函數(shù)的特性，并用GASA算法優(yōu)化設(shè)計了NLFM波形，與窗函數(shù)法相比其得到的波形脈壓后峰值副瓣電平更低，與遺傳算法及動態(tài)優(yōu)化算法相比收斂速度更快。雖然設(shè)計的NLFM波形多普勒容忍性很低，但在跟蹤雷達中，可以利用目標速度的先驗信息，對被跟蹤目標的多普勒進行補償處理。