呂漫妮

摘要：國(guó)內(nèi)的期權(quán)市場(chǎng)發(fā)展迅猛，目前不僅規(guī)模龐大、活躍度高，而且價(jià)格波動(dòng)較大，因此期權(quán)價(jià)格的預(yù)測(cè)對(duì)于投資者和市場(chǎng)的穩(wěn)定發(fā)展極其重要。本文利用Black- Scholes公式（最常用的期權(quán)定價(jià)公式）和時(shí)間序列模型相結(jié)合的方法對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，以50ETF的沽2018年6月2.90期權(quán)的實(shí)際數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果顯示該方法的短期預(yù)測(cè)效果非常好。

關(guān)鍵詞：期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)? 期權(quán)定價(jià)公式? 時(shí)間序列模型

一、前言

期權(quán)是一類重要的金融產(chǎn)品，其發(fā)展非常迅猛。以我國(guó)的50ETF期權(quán)為例，雖然它于2015年2月9日才上市，但截止到2018年末，期權(quán)投資者賬戶數(shù)已達(dá)30.78萬(wàn)戶，日均權(quán)利金成交已達(dá)7.40億元。目前中國(guó)的期權(quán)市場(chǎng)不僅規(guī)模龐大、非?；钴S，而且價(jià)格波動(dòng)很大。以2019年2月25日50ETF期權(quán)的價(jià)格為例，單日漲幅高達(dá)192倍，雖然該值屬于極端情況，但由此可見期權(quán)價(jià)格的預(yù)測(cè)對(duì)于投資者和市場(chǎng)的穩(wěn)定發(fā)展極其重要。

目前關(guān)于期權(quán)價(jià)格的研究大多數(shù)集中于其定價(jià)研究，即從理論上考慮期權(quán)價(jià)格如何描述為其原生資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)，如文[1、2]等。關(guān)于期權(quán)價(jià)格的預(yù)測(cè)研究相對(duì)不多，已有的結(jié)果主要是利用時(shí)間序列模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，如文[3]等。期權(quán)定價(jià)研究主要是從期權(quán)的內(nèi)在規(guī)律出發(fā)，推導(dǎo)其價(jià)格規(guī)律，并不注重期權(quán)價(jià)格的預(yù)測(cè);而時(shí)間序列模型主要從其自身數(shù)據(jù)出發(fā)，獲得一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不涉及期權(quán)定價(jià)的內(nèi)在規(guī)律，這兩者均有一定價(jià)值，也有一定的缺陷。本文嘗試將這兩種方法相結(jié)合，對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，并利用50ETF的沽2018年6月2.90期權(quán)的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行了實(shí)證驗(yàn)證，結(jié)果顯示該方法的短期預(yù)測(cè)效果非常好。

二、方法介紹

本預(yù)測(cè)方法具體分為如下的三步：

第一步：利用時(shí)間序列模型對(duì)原生資產(chǎn)的價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)。利用時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)原生資產(chǎn)的價(jià)格，而非直接預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格，這是因?yàn)樵Y產(chǎn)價(jià)格的影響因素更為復(fù)雜，原生資產(chǎn)價(jià)格更為隨機(jī)，而期權(quán)價(jià)格受原生資產(chǎn)價(jià)格的影響極大，基本上可以由期權(quán)價(jià)格所確定;而且期權(quán)價(jià)格波動(dòng)更大，其直接預(yù)測(cè)的誤差可能更大。

第二步：利用原生資產(chǎn)價(jià)格、期權(quán)價(jià)格的實(shí)際數(shù)據(jù)和Black- Scholes公式（最常用的期權(quán)定價(jià)公式）反推出隱含波動(dòng)率。其中歐式看跌期權(quán)的Black- Scholes公式（見書[4]中P83）為：

其中V是期權(quán)的價(jià)格，S是原生資產(chǎn)的價(jià)格，t是時(shí)間（以期權(quán)發(fā)行時(shí)刻為0時(shí)刻），T是期權(quán)存續(xù)期（到期日），K是敲定價(jià)格，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是波動(dòng)率，N（.）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。我們利用該公式和二分法進(jìn)行迭代，搜尋合適的波動(dòng)率使式子（1）中期權(quán)價(jià)格的計(jì)算值與實(shí)際值相同，將該波動(dòng)率作為后一期的隱含波動(dòng)率。

第三步：利用隱含波動(dòng)率、Black- Scholes公式（1）和第一步中得到的原生資產(chǎn)的預(yù)測(cè)價(jià)格計(jì)算出期權(quán)的預(yù)測(cè)價(jià)格。

三、實(shí)際數(shù)據(jù)處理過程

本節(jié)利用50ETF的沽2018年6月2.90期權(quán)（存續(xù)期T有6個(gè)月，敲定價(jià)格2.9元，原生資產(chǎn)資產(chǎn)為50ETF的歐式看跌看跌期權(quán)，數(shù)據(jù)來源于Choice金融終端）的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)以及原生資產(chǎn)50ETF的收盤指數(shù)數(shù)據(jù)，利用第2節(jié)中介紹的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。期權(quán)的整個(gè)存續(xù)期有141個(gè)數(shù)據(jù)，將前92個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后43個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率采用中債國(guó)債的同期收益率0.0205。本數(shù)據(jù)的處理主要基于軟件Eview7.0和Matlab2016b，其中時(shí)間序列模型的處理主要基于軟件Eview7.0，后續(xù)的計(jì)算處理主要基于Matlab2016b。

（一）建立50ETF指數(shù)的時(shí)間序列模型，預(yù)測(cè)50ETF指數(shù)

首先根據(jù)50ETF指數(shù)的前92個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)序圖，初步判定該數(shù)據(jù)沒有明顯的趨勢(shì)和周期性。隨后對(duì)它們進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果表明該數(shù)據(jù)平穩(wěn)。接著利用該數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行模型的識(shí)別和定階，經(jīng)過嘗試和對(duì)比，結(jié)果顯示采用ARMA（1，1）（自回歸移動(dòng)平均（1，1））模型最為合適。然后對(duì)該模型進(jìn)行擬合和模型檢驗(yàn)，結(jié)果顯示50ETF指數(shù)S（t）的時(shí)間序列模型為

檢驗(yàn)結(jié)果顯示模型的參數(shù)和模型均顯著。隨后對(duì)模型進(jìn)行了異方差檢驗(yàn)，結(jié)果顯示不存在異方差現(xiàn)象。因此采用該模型描述50ETF指數(shù)。最后利用該模型和50ETF指數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于時(shí)間序列模型只能對(duì)短期預(yù)測(cè)效果較好，所以本文只考慮一期到三期的預(yù)測(cè)結(jié)果。

（二）計(jì)算隱含波動(dòng)率

本小節(jié)利用歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式（1）、50ETF指數(shù)和期權(quán)價(jià)格的實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算隱含波動(dòng)率。由于期權(quán)價(jià)格對(duì)原生資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率相對(duì)敏感，所以本文更傾向于利用歷史數(shù)據(jù)和定價(jià)公式計(jì)算出隱含波動(dòng)率，而不是歷史波動(dòng)率，而且只是利用前一期推出的隱含波動(dòng)率的值作為當(dāng)期隱含波動(dòng)率的值。具體而言，假設(shè)波動(dòng)率位于區(qū)間[0，5]之間，利用二分法和50ETF指數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)，搜尋合適的使得的計(jì)算值與期權(quán)價(jià)格真實(shí)值相對(duì)誤差不超過1%，然后將該作為t+1期的隱含波動(dòng)率。利用Matlab2016b軟件編寫適當(dāng)?shù)某绦颍ㄟ^存續(xù)期的前140個(gè)數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算出相應(yīng)期數(shù)的隱含波動(dòng)率。第t+1期隱含波動(dòng)率的具體算法如下：

第一步：取定初始波動(dòng)率上界，初始波動(dòng)率上界，初始波動(dòng)率。

第二步：根據(jù)公式（1）計(jì)算。

第三步：如果計(jì)算值大于（其中為t時(shí)刻的真實(shí)值），則取波動(dòng)率上界，波動(dòng)率下界，波動(dòng)率;如果計(jì)算值小于，則取波動(dòng)率上界，波動(dòng)率下界，波動(dòng)率。

第四步： 如果計(jì)算值位于與之間，取隱含波動(dòng)率，并且退出循環(huán);否則再進(jìn)入第二步進(jìn)行循環(huán)。

（三）對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)

將第一步計(jì)算出的50ETF指數(shù)預(yù)測(cè)值和第二步計(jì)算出的隱含波動(dòng)率，代入Black- Scholes公式（1）中，計(jì)算出期權(quán)的預(yù)測(cè)價(jià)格。

四、結(jié)論

本文分別考慮了一期、二期和三期的預(yù)測(cè)（該期數(shù)指50ETF指數(shù)的預(yù)測(cè)期數(shù)）結(jié)果;并與其他兩種方法（直接用時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格;利用50ETF指數(shù)的預(yù)測(cè)值、歷史波動(dòng)率和Black- Scholes公式預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格）進(jìn)行對(duì)比。具體結(jié)果如下：

法一（直接用時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格）：一期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差（指測(cè)試集中43個(gè)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的相對(duì)誤差絕對(duì)值的平均值）為0.1026;二期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.1474;三期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.1609;

法二（利用50ETF指數(shù)的預(yù)測(cè)值、歷史波動(dòng)率和期權(quán)定價(jià)公式預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格）：一期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.0995;二期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.1311;三期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.1425;

法三（本文中的方法）：一期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.0875;二期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.1276;三期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為0.1401。

從上面數(shù)據(jù)中可以看出，本文提出的預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)效果在一期、二期和三期預(yù)測(cè)上均明顯優(yōu)于第一種和第二種方法，具有很好的效果。

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（作者單位：華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）