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(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所 北京 100076； 2.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

交通體系的發(fā)展在帶來便利的同時(shí)，也因振動(dòng)問題給周邊環(huán)境帶來不可忽略的影響.對(duì)此類振動(dòng)進(jìn)行研究和控制是交通實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵問題之一[1].這種由不平順激發(fā)的隨機(jī)振動(dòng)具有強(qiáng)烈的耦合和隨機(jī)特性，對(duì)整體模型進(jìn)行高效計(jì)算分析的研究尚不多見.文獻(xiàn)[2]用車-橋-地基建立動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算分析了車輛、軌道、橋梁、地面等部位的振動(dòng).文獻(xiàn)[3]用數(shù)值方法計(jì)算了地下軌道交通引起的振動(dòng)波在不同土層的傳播特性.文獻(xiàn) [4]通過汽車沖擊振動(dòng)試驗(yàn)和數(shù)值模擬方法，研究了振源特性與地面振動(dòng)的傳遞函數(shù)關(guān)系.文獻(xiàn) [5]采用數(shù)值和試驗(yàn)實(shí)測(cè)方法對(duì)交通引起的環(huán)境振動(dòng)問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，建立了車輛-結(jié)構(gòu)-周圍環(huán)境-建筑物系統(tǒng)分析模型.文獻(xiàn) [6]運(yùn)用有限元數(shù)值方法，從車輛-軌道動(dòng)力學(xué)理論角度討論了臨界速度附近土體的振動(dòng)與衰減.文獻(xiàn) [7]成功地將三維問題降為2.5維，解決了列車運(yùn)動(dòng)荷載作用下的三維動(dòng)力問題.文獻(xiàn)[8]采用解析法分析了鐵路引起的環(huán)境振動(dòng)問題，建立了基于虛擬激勵(lì)法和車輛-軌道-路基-地基耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)解析模型有效結(jié)合的算法.文獻(xiàn)[9]通過大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和數(shù)值分析總結(jié)了振動(dòng)波的傳播特性與規(guī)律.目前數(shù)值分析方面的研究面臨以下三個(gè)難題：一是建立合理的分析模型；二是振動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算效率與精度；三是復(fù)雜的隨機(jī)特性描述.這些難題的攻克要以先進(jìn)的隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算方法為前提，虛擬激勵(lì)法自20世紀(jì)80年代被提出來后，先后應(yīng)用到工程領(lǐng)域諸多隨機(jī)問題的數(shù)值分析實(shí)踐中，取得了公認(rèn)的成果[10].

本文研究了公路交通荷載耦合隨機(jī)振動(dòng)誘發(fā)的毗鄰建筑二次振動(dòng)響應(yīng).以垂向振動(dòng)為主，采用Kelvin地基上的縱向無限長Kirchhoff板模擬路面及基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，通過位移協(xié)調(diào)條件與移動(dòng)車輛構(gòu)建耦合關(guān)系，建筑與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)采用線性阻尼器進(jìn)行耦合，從而將環(huán)境振動(dòng)的三個(gè)子系統(tǒng)耦合為統(tǒng)一的振動(dòng)模型；考慮一個(gè)典型路面子結(jié)構(gòu)模型，證明鏈?zhǔn)阶咏Y(jié)構(gòu)的辛正交特性，基于辛數(shù)學(xué)方法[11]求解結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)；基于虛擬激勵(lì)法[12]建立車輛擬靜止而支撐路面移動(dòng)的二維移動(dòng)單元格式求解，有效地提高了計(jì)算效率.用數(shù)值算例對(duì)車輛、支撐路面及毗鄰建筑的隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行了分析，得到一些有意義的結(jié)論.

1 交通荷載模型及移動(dòng)單元格式

公路交通荷載耦合系統(tǒng)引起的鄰近建筑振動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示.以Kelvin地基上的縱向無限長Kirchhoff板模擬路面支撐體系；車輛采用對(duì)稱四自由度剛體模型，根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件與支撐體系耦合；以三層梁柱模型模擬鄰近受振建筑，以彈性連接與支撐結(jié)構(gòu)耦合，建筑與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)耦合模型如圖2所示.對(duì)于車輛-路面耦合隨機(jī)振動(dòng)模型，車輛以彈簧、質(zhì)量、阻尼組成的多剛體描述，路面以彈性半空間模擬，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程表示為

D22u+μu+ηδ(x-Vt)，

(1)

式中：u代表路面位移；抗彎剛度D=Eh3/12(1-υ)，其中h、E、υ分別為路面模型的厚度、彈性模量和泊松比；m為路面質(zhì)量密度；μ為地基反應(yīng)模量；η為地基阻尼；p為車輛荷載；V為移動(dòng)速度；2為拉氏算子.

圖1 交通荷載環(huán)境振動(dòng)模型Fig.1 The model of traffic load environment vibration

圖2 建筑與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)耦合模型Fig.2 The coupling model of building and foundation structure

圖3 離散后的路面移動(dòng)單元Fig.3 The moving unit of the discretized pavement

本文采用移動(dòng)單元法建立以速度V移動(dòng)的相對(duì)坐標(biāo)系.對(duì)路面進(jìn)行有限元離散后，假定其為以速度V移動(dòng)的單元，則在這個(gè)單元上車輛是靜止的，屬于平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng).離散后的路面移動(dòng)單元如圖3所示.

建立與荷載接觸的四邊形移動(dòng)單元，給出相對(duì)坐標(biāo)系參數(shù)為

X=x-Vt;Y=y.

(2)

在相對(duì)坐標(biāo)系下，單元的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

D22u+μu+ηδ(X).

(3)

對(duì)路面位移采用形函數(shù)離散， Kelvin地基上的Krichhoff板的形函數(shù)表示為

Nk=(1+ξ0)(1+ψ0)(2+ξ0+ψ0-ξ2-ψ2)/8,

(4)

Nxk=-bψk(1+ξ0)(1+ψ0)(1-ψ2)/8,

(5)

Nyk=-aξk(1+ξ0)(1+ψ0)(1-ξ2)/8.

(6)

則位移向量可以表示為u=Nue.

移動(dòng)荷載此時(shí)只與該單元接觸，故對(duì)于式(3)，其外力項(xiàng)除了移動(dòng)荷載接觸點(diǎn)外均為零，是一個(gè)0、1向量.采用弱積分形式可以獲得離散的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)方程，表示為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：u={u1，u2，…，un}為系統(tǒng)中各子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量.從單元?jiǎng)偠染仃嚭妥枘峋仃囍锌梢钥闯?，速度的影響被耦合進(jìn)去，從而使得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的右端荷載項(xiàng)不再隨時(shí)間變化，是線性非時(shí)變的，故屬于平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)，相對(duì)于非平穩(wěn)問題，求解更簡(jiǎn)單.

2 移動(dòng)單元法的虛擬激勵(lì)形式

對(duì)于耦合隨機(jī)振動(dòng)方程(11)，根據(jù)傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)理論，有

Sout(ω)=H*(ω)Sin(ω)HT(ω)，

(12)

式中：Sin(ω)代表輸入激勵(lì)；Sout(ω)代表輸出響應(yīng)；二者的變換由系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣H(ω)實(shí)現(xiàn)，*和T分別表示轉(zhuǎn)置與共軛.基于虛擬激勵(lì)法思想，路面不平順激勵(lì)可以用確定性的簡(jiǎn)諧激勵(lì)表達(dá).對(duì)于圖1問題，引入r(x)為路面不平順量，可以表示為

r(x)={r(x),r(x-lt)}T，

(13)

式中：lt為前后懸架的間距.設(shè)r(x)的功率譜Sr(Ω)已知，當(dāng)移動(dòng)單元以車輛速度向后勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)坐標(biāo)變換(2)式，功率譜可以表示為

Sr(ω)=Sr(Ω)/V;ω=ΩV，

(14)

式中：ω、Ω分別表示時(shí)域和空間域的圓頻率.將不平順激勵(lì)代入移動(dòng)單元格式的虛擬激勵(lì)，有

(15)

(16)

3 受力路面子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

真實(shí)路面支撐結(jié)構(gòu)是無限長延續(xù)的，若取大規(guī)模模型進(jìn)行計(jì)算會(huì)導(dǎo)致計(jì)算困難，若取部分模型進(jìn)行計(jì)算則會(huì)引起振動(dòng)傳遞截?cái)啵瑤碚`差，給數(shù)值分析造成精度問題.這里將路面支撐體系模型視為無限長周期性鏈?zhǔn)阶咏Y(jié)構(gòu)，如圖4所示.

圖4 路面周期子結(jié)構(gòu)模型Fig.4 The periodic model of pavement substructure

取長度為l的路面結(jié)構(gòu)作為一個(gè)子結(jié)構(gòu)，考慮圓頻率為ω的簡(jiǎn)諧波在路面結(jié)構(gòu)中的傳播.考慮系統(tǒng)的滯變阻尼，每一個(gè)子結(jié)構(gòu)都有邊界和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，為了區(qū)分方便，取下標(biāo)a表示左邊界節(jié)點(diǎn)，b代表右邊界節(jié)點(diǎn)，i代表內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，u和p代表位移和力向量.以矩形單元子結(jié)構(gòu)為例，有12*12個(gè)自由度，運(yùn)動(dòng)方程中質(zhì)量M和剛度矩陣K分別耦合路面結(jié)構(gòu)u和車輛d的部分.通常不受外力作用的子結(jié)構(gòu)可以內(nèi)部消去，得

(17)

表示成狀態(tài)空間向量的形式為

(18)

可以驗(yàn)證

S-T=JSJ-1或STJS=J，

(19)

J=[0In；-In0]，

(20)

式中：J是單位辛矩陣；In是n階單位陣，說明矩陣S(ω)滿足辛正交關(guān)系.假設(shè)S(ω)有2n個(gè)特征值，將其分成μ和 1/μ兩組，響應(yīng)的特征向量構(gòu)成如下矩陣：

1.2.1 術(shù)前準(zhǔn)備手術(shù)時(shí)間應(yīng)選擇在月經(jīng)干凈后3~7d,術(shù)前3d禁性生活,行血常規(guī)、凝血功能等常規(guī)化驗(yàn)檢查(如需靜脈復(fù)合麻醉應(yīng)行心電圖及胸片檢查)以排除手術(shù)禁忌證,麻醉可選擇宮頸旁阻滯麻醉,如估計(jì)手術(shù)切除范圍較廣或較深,可選擇靜脈復(fù)合麻醉或腰麻、硬外麻等。術(shù)時(shí)配備垂體后葉素或加壓素用于宮頸注射,可有效較少術(shù)中出血。

Φ=[φ1，φ2，…,φ2n]≡[XaXb；NaNb].

(21)

則ua、ub、pa、pb和pi可以由特征向量表示為

(22)

式中：λ、γ為待定系數(shù)向量；pa、pb為邊界出口剛度陣；邊界間的響應(yīng)簡(jiǎn)諧荷載向量為pae、pbe、pie.由此可以確定含有待定系數(shù)的子結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程為

(23)

根據(jù)振動(dòng)波子結(jié)構(gòu)雙向傳播的特性，任一個(gè)端面響應(yīng)可以根據(jù)確定的λ、γ求出，即

ukr=Xaμkγ；pkr=paukr,

(24)

式中：k的正、負(fù)表示外力左、右側(cè)的端面.對(duì)于圖1問題，雙軸與路面接觸，選取接觸位置的兩個(gè)子結(jié)構(gòu)單元

ξi)fi，i=1,2,

(25)

式中：ξi為輪子接觸點(diǎn)與子結(jié)構(gòu)左側(cè)距離；λi、γi代表第i個(gè)子結(jié)構(gòu)的位移向量，由式(23)可以求得第i個(gè)子結(jié)構(gòu)兩端的位移為ul,i和ur,i，它由兩個(gè)車輪接觸力單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)疊加而成，即

(26)

合并成一個(gè)方程，可得

(27)

4 算例分析

圖5為路面中軸位移響應(yīng),給出了圖1模型使用本文移動(dòng)單元法與經(jīng)典Newmark-β算法的驗(yàn)證結(jié)果，可以看出兩種算法結(jié)果吻合良好.圖6為公路路面地基板三維撓度響應(yīng).可以看出，當(dāng)車輛運(yùn)行時(shí)，對(duì)路面產(chǎn)生帶狀變形影響，路面板變形方向以沿車輛行進(jìn)方向?yàn)橹鳎葱熊嚨乐休S線橫向擴(kuò)展；由于鄰近建筑的存在，使得路面板一側(cè)剛度較大，沿剛度較大一側(cè)變形褶皺要強(qiáng)于另一側(cè).圖7給出了行駛車輛受路面不平順激勵(lì)產(chǎn)生的豎向加速度功率譜密度響應(yīng).可以發(fā)現(xiàn)，車輛在運(yùn)行過程中分別出現(xiàn)兩個(gè)振動(dòng)峰值1.3 Hz和6 Hz，這是因?yàn)榍昂筝嗛g隨機(jī)激勵(lì)間的相位差，也即行波效應(yīng).

圖8為建筑結(jié)構(gòu)中點(diǎn)加速度響應(yīng)，給出了建筑受交通荷載的影響.結(jié)果表明，毗鄰建筑受交通荷載的影響隨車輛行駛從遠(yuǎn)到近而逐漸加劇，振源距離對(duì)建筑的影響為主要作用；且由于低樓層具有較大剛度，其加速度響應(yīng)明顯高于高樓層.隨著荷載由近場(chǎng)駛向遠(yuǎn)場(chǎng)，振動(dòng)響應(yīng)趨于衰減，樓層之間的加速度響應(yīng)差異不再明顯，這是因?yàn)檎駝?dòng)波在建筑體內(nèi)遲滯傳遞的效果.

圖9為建筑結(jié)構(gòu)加速度功率譜密度響應(yīng)，計(jì)算了受振建筑各個(gè)樓層的加速度功率譜響應(yīng)的頻域特性及變化規(guī)律.結(jié)果表明，毗鄰建筑垂向加速度功率譜密度在20 Hz左右達(dá)到峰值，加速度功率譜密度隨樓層的升高而降低，但頻域特征保持一致.同時(shí)也計(jì)算了不同樓層受振的位移均值響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)，建筑結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)隨車輛的駛近而加劇，其峰值與加速度隨車輛位置的響應(yīng)保持一致，且隨著樓層的升高，位移響應(yīng)變化增大，這與加速度功率譜密度值的變化規(guī)律相反.

圖5 路面中軸位移響應(yīng)Fig.5 The deflection response of pavement axis line

圖6 地基板三維撓度響應(yīng)Fig.6 The 3D deflection response of the foundation plate

圖7 車輛豎向加速度功率譜密度響應(yīng)Fig.7 The vertical acceleration power spectral density response of vehicle

圖8 建筑結(jié)構(gòu)中點(diǎn)加速度響應(yīng)Fig.8 Mid-point acceleration response of building structures

圖9 建筑結(jié)構(gòu)加速度功率譜密度響應(yīng)Fig.9 The acceleration power spectral density response of building structure

5 結(jié)論

建立了振源子結(jié)構(gòu)-傳播路徑-受振建筑一體的交通荷載誘發(fā)環(huán)境振動(dòng)數(shù)值分析模型，采用鏈?zhǔn)阶咏Y(jié)構(gòu)的周期性特性，用辛數(shù)學(xué)方法建立子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解途徑，基于虛擬激勵(lì)法推導(dǎo)了移動(dòng)荷載耦合隨機(jī)振動(dòng)的二維移動(dòng)單元格式.通過計(jì)算分析得到以下結(jié)論：① 通過周期性鏈?zhǔn)阶咏Y(jié)構(gòu)的證明和應(yīng)用，說明對(duì)無限長路面或軌道結(jié)構(gòu)通過建立合理的子結(jié)構(gòu)鏈，可以有效地避免人工邊界條件的引入，減少數(shù)值計(jì)算產(chǎn)生的人為誤差.② 對(duì)非平穩(wěn)多點(diǎn)耦合隨機(jī)激勵(lì)系統(tǒng)，移動(dòng)單元格式使復(fù)雜的時(shí)變隨機(jī)分析轉(zhuǎn)化為非時(shí)變問題分析.③ 交通荷載引起的毗鄰建筑結(jié)構(gòu)的響應(yīng)隨車輛近場(chǎng)、遠(yuǎn)場(chǎng)關(guān)系影響明顯，其幅值變化較大，尤其在高頻部分，建筑體不同樓層之間的加速度和位移響應(yīng)變化規(guī)律不同步；建筑結(jié)構(gòu)的存在對(duì)路面動(dòng)力響應(yīng)影響不是很大.此外，由于本文的模型構(gòu)建和推導(dǎo)存在一些假設(shè)，且缺乏實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)和模型算例計(jì)算數(shù)據(jù)，因此其結(jié)果還需進(jìn)行與實(shí)測(cè)結(jié)果的驗(yàn)證.