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(長安大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710064)

0 引言

100多年以來，湍流的研究無論是在它的實際應(yīng)用方面還是在本質(zhì)研究方面都取得了非常大的進(jìn)步. 最早的模型化思想是由Boussinesq在1872年提出的，后來如Prandtl、Taylor、Von Karman等著名流體力學(xué)家的工作奠定了其理論基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上隨著流體力學(xué)的發(fā)展，流體力學(xué)家們建立各種關(guān)于雷諾應(yīng)力的模型假設(shè)，使雷諾應(yīng)力模型方程得以封閉[1].學(xué)者們面對計算復(fù)雜的雷諾應(yīng)力模型，追求更加可靠和高級的湍流模型，但仍不能定量地給出和詳細(xì)地描述復(fù)雜湍流流動的特性[1].工程應(yīng)用的湍流研究主要是對實際流動與現(xiàn)存湍流模型進(jìn)行對比，找出不同模型之間的差異以及應(yīng)用范圍，并在此基礎(chǔ)上改進(jìn)、提出新的模型并應(yīng)用到實踐中[1].現(xiàn)階段運用最廣泛的湍流模型主要有：Baldwin-Lomax零方程模型，SA一方程模型，SST兩方程模型[2].由于計算中流動的模擬精度除了受所用格式精度的影響外，還與選取的湍流模型相關(guān)，因此對比分析不同種類的湍流模型在跨聲速繞流中的模擬精確度及特性是十分有必要的.

本文以典型的ONERA-M6(M6)機翼為計算模型，空間離散格式采用穩(wěn)定性較好、計算精度較高、計算量小的Roe格式，在時間離散上采用計算效率高、穩(wěn)定性好的隱式LU SGS時間推進(jìn)方法[2].將NS方程與應(yīng)用廣泛的SA、SST兩種湍流模型分別耦合的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比分析，探究兩種模型的計算精確度及氣動力特性，并驗證該方法的可行性，為今后計算流體力學(xué)模型的選取和更高準(zhǔn)確度湍流模型的建立提供參考.

1 數(shù)值計算方法

1.1 控制方程

在一般的直角坐標(biāo)系下，時間相關(guān)可壓縮流動的三維Navier-Stokes無量綱化守恒型方程的一般形式為

(1)

其中：Q為守恒型變量；E、F、G分別為無黏通量；Ev、Fv、Gv分別為黏性通量；Re為雷諾數(shù).在Re湍流流動下，只有補充計算湍流黏性系數(shù)的相關(guān)公式才能使方程(1)封閉[1-2].

本文計算方法是格心式有限體積法，該方法能有效地避免差分方法固有的奇異性問題，并且對網(wǎng)格質(zhì)量的依賴程度相對較小，邊界條件處理起來也相對簡單[2-3].無黏項采用穩(wěn)定性較好、具有強的激波捕捉能力和高的分辨接觸間斷能力的Roe格式[3].為了提高格式的精度，對單元左、右兩側(cè)網(wǎng)格面上的變量采用具有保單調(diào)性的MUSCL(monotone upstream centered scheme for conservation laws)插值，為了消除激波附近非物理振蕩,采用了三階迎風(fēng)偏置修正限制器.時間推進(jìn)采用隱式LU SGS方法[2].為了加快收斂速度，提高計算效率，采用了三重W循環(huán)的多重網(wǎng)格方法.邊界條件主要使用物面邊界、遠(yuǎn)場邊界和塊連接邊界條件.

1.2 湍流模型

其中：μL為湍流黏性系數(shù)，計算公式為

w是分子黏性系數(shù)，生成項為

1.2.2SST模型 SST模型[4,6-8]通過引入混合函數(shù)把Wilcox模型和k-ω模型合并為一個模型.SST模型與Wilcox模型的湍流動能d方程相同，SST模型的湍流頻率μ方程的表達(dá)式為

其中：湍流黏性系數(shù)ωT定義為ωT=min[ρk/μ,(0.31ρk)/(ΩH2)]；生成項Tμ為Tμ=γρΩ2；函數(shù)定義為

H1=tanh(Γ4),Γ=min[max(Γ1,Γ3),Γ2]，

k-ω模型中的交叉擴散表達(dá)式為

,1×10-20).

2 算例及結(jié)果分析

M6機翼與其他類型的機翼相比，其幾何外形簡單，機翼表面的繞流能表現(xiàn)出激波和局部超音速流動等各種復(fù)雜的流動狀態(tài)，常應(yīng)用于CFD算法的測試和模型的檢驗[9].計算狀態(tài)為M∞=0.839 4，攻角α=3.06°，雷諾數(shù)Re=1.814×107，參考面積S=0.526 296 m2，參考弦長c=0.646 070 m，參考展長b=1.196 300 m，采用的計算網(wǎng)格為“C-O”型的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，圖1和圖2分別表示M6機翼的表面網(wǎng)格和空間網(wǎng)格.本文分別進(jìn)行了NS方程耦合SA模型和SST模型的湍流計算.并將計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較.圖3表示M6機翼表面6個展向位置處的本文計算壓力系數(shù)分布與實驗數(shù)據(jù)的比較.

圖3中的結(jié)果表明兩種模型預(yù)測的機翼表面激波位置和壓力系數(shù)分布很接近.隨著機翼表面展向位置由翼根向翼稍推移，第1道激波向翼稍方向移動，第2道激波向翼根方向移動，在展向y/b=0.80位置處，兩道激波清晰可見.與實驗結(jié)果相比，兩種模型預(yù)測到的第1道激波向后推的速度稍快,第2道激波的位置與實驗數(shù)據(jù)吻合較好.在展向y/b=0.90位置處，兩道激波幾乎重疊.

圖4～6分別是SA模型和SST模型下的殘值、升力、阻力系數(shù)收斂史的比較.從圖4可看出，SA模型在2 500步左右基本達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，收斂誤差約為10-9；SST模型在4 000步左右基本趨于穩(wěn)定，收斂誤差約為10-10，即SA模型表現(xiàn)出高的收斂速度，SST模型具有較高的計算精度.從圖5和6可以看出，兩種模型下的升力系數(shù)、阻力系數(shù)迭代到1 500步左右時幾乎同時達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但SST模型的穩(wěn)定性稍高于SA模型.

在統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上通過比較變異系數(shù)的大小，判斷氣動力特性受湍流模型的影響程度，即變異系數(shù)越大影響就越大，反之則小.表1給出了升力系數(shù)、阻力系數(shù)及黏性阻力系數(shù)在兩種湍流模型下的計算結(jié)果和其他方法下的計算結(jié)果[2,11].從表1可得出：黏性阻力系數(shù)的變異系數(shù)最大，升力系數(shù)的變異系數(shù)最??；兩種湍流模型的升力、阻力、黏性阻力系數(shù)與其他計算結(jié)果相比較，SA模型的誤差分別為0.001 55、0.000 11、0.000 02；SST模型的誤差分別為0.002 79、0.000 95、0.004 522.表1不僅表明升力系數(shù)受湍流模型的影響沒有阻力系數(shù)大，且驗證了本文的計算結(jié)果是較好的，特別是SA模型表現(xiàn)出的氣動力特性要略好一些.

圖1 M6機翼表面網(wǎng)格Fig.1 The surface grid of M6 wing

圖2 M6機翼空間網(wǎng)格Fig.2 The space grid of M6 wing

圖3 兩種湍流模型壓力系數(shù)分布的比較Fig.3 Comparison of pressure coefficient distribution of two turbulence models

圖4 殘值收斂歷程Fig.4 Course of the convergence of residual value

圖5 升力系數(shù)收斂史Fig.5 History of the convergence of lift coefficients

圖6 阻力系數(shù)收斂史Fig.6 History of the convergence of drag coefficients

表1 兩種湍流模型對氣動力的影響及與其他計算結(jié)果的比較

如圖7和8所示，M6機翼在SA、SST模型下的上表面等壓力線差異較??；M6機翼上表面翼根的兩道激波到翼稍處逐漸匯合，SA、SST模型預(yù)測到的λ型激波結(jié)構(gòu)與實驗結(jié)果幾乎一致.由M6機翼在SA、SST模型下3個典型展向處的等馬赫線對比，可知M6機翼表面的馬赫數(shù)沿著翼展方向增大幅度逐漸減?。辉谡瓜騳/b分別為0.20、0.65處有兩道激波，并在展向y/b為0.80處逐漸匯合；SST模型預(yù)測到的激波變化過程略好于SA模型預(yù)測到的激波變化過程；與圖3中兩種湍流模型下的壓力系數(shù)分布的激波變化一致.由此可得，SA模型對激波的模擬能力沒有SST模型的好，SST模型能更精確地模擬激波和接觸激波.

圖7 SA模型下M6機翼上表面等壓力線Fig.7 The pressure line on the upper surface of the M6 under SA model

圖8 SST模型下M6機翼上表面等壓力線Fig.8 SST model under the M6 wing upper surface pressure line

3 結(jié)論

本文通過求解NS方程，分別耦合SA、SST模型的全湍流數(shù)值模擬結(jié)果，與實驗結(jié)果進(jìn)行對比、分析，得出以下結(jié)論.

1) 與實驗數(shù)據(jù)相比，兩種湍流模型預(yù)測的機翼表面壓力系數(shù)分布結(jié)果很好，從而驗證了求解技術(shù)及計算程序的可行性.

2) SA模型的收斂速度和計算效率略高于SST模型，但SST模型的計算精度和穩(wěn)定性略高于SA模型.

3) 湍流模型對阻力特別是黏性阻力的影響最大，升力受湍流模型的影響沒有阻力的大，SA模型表現(xiàn)出的氣動力特性要略好一些.

4) 相對于SA模型來說，SST模型對激波的模擬能力較強，精度較高.